Contribution à l’analyse et à la commande de systèmes non linéaires à commande échantillonnée Laurent Burlion Directrice de thèse : Madame F. Lamnabhi-Lagarrigue Co-encadrant : Monsieur T. Ahmed-Ali

Introduction

Plan de l’exposé Introduction Commande par retour d’état statique et échantillonnage Convergence GAS Convergence SPA Application aux Systèmes sous la forme strict-feedback Application aux systèmes sous la forme strict-feedforward Commande par retour d’état dynamique / Commande adaptative et échantillonnage Idées d’extension aux systèmes sous la forme strict-feedback Futurs travaux et application Conclusion

Commande d’un hélicoptère Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz

1-Retour d’état statique et échantillonnage

Classe de systèmes Entre deux instants d’échantillonnage : Notion de discrétisé exact :

Types de convergences étudiées Définition : (Stabilité Semi-globale, Pratique et Asymptotique (SPA)) Caractérisation : Définition : (Stabilité Globale Asymptotique (GAS))

1.1- Convergence GAS et échantillonnage

Théorème (Herrmann, Spurgeon et Edwards 99) émulation Théorème (Herrmann, Spurgeon et Edwards 99) Lorsque la commande est émulée le système reste GAS pour toute période d’échantillonnage suffisamment faible

1.2- Convergence SPA et échantillonnage

« Redesign » de la commande continue Commande d’ordre r : Hypothèses sur la commande continue : La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières. (en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)

La commande d’ordre r est « meilleure » que la commande d’ordre r-1 ssi si (sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).

« redesign » par des grands gains: Si de plus : En choisissant : Rapport entre l’ordre de la commande et l’ordre de la précision :

« Fonctions saturation d’ordre r »

Exemple : Avec une commande d’ordre 0 : Avec une commande d’ordre 1 :

augmentation du gain de la commande continue

augmentation du gain de la commande continue

1.2.1- Application aux systèmes de la forme strict-feedback

« Algorithme de Backstepping classique robuste » Pseudo-commande :

« Algorithme de Backstepping modifié et récursif pour r>2 » Pseudo-commande : Commande :

« Trois nouveaux résultats » - un résultat général (publié à IJC 05) sous des hypothèses fortes mais qui ne donne pas une méthode constructive de la commande - un algorithme constructif pour gagner en précision quand l’ordre de la commande augmente et en vitesse de convergence si on le rend plus robuste par des grands gains - un algorithme constructif pour gagner en précision et en vitesse de convergence et garantissant que la commande est d’autant meilleure que l’ordre augmente

Exemple « Contrôleur Backstepping continu GAS Contrôleur « SPA » de Teel-Nesic construit à partir du schéma d’Euler Notre Contrôleur « SPA » basé sur l’approximation à l’ordre 2 :

Contrôleur de Teel/Nesic Notre contrôleur Pour plusieurs conditions initiales, nous avons constaté que notre contrôleur (qui utilise plus d’informations sur le discrétisé exact) est plus rapide, donne moins de dépassement et nécessite moins d’énergie

1.2.2- Application aux systèmes de la forme strict-feedforward

Commande : Changement de coordonnées :

2-Retour d’état dynamique / commande adaptative et échantillonnage

Classe de systèmes T>0 Commande dynamique : Commande adaptative :

2.1- Convergence GAS et échantillonnage

Théorème (Burlion, Ahmed-Ali et Lamnabhi-Lagarrigue 04) « émulation dynamique » Théorème (Burlion, Ahmed-Ali et Lamnabhi-Lagarrigue 04) Lorsque la partie commande est émulée le système reste GAS pour toute période d’échantillonnage suffisamment faible Dans la preuve, nous utilisons notamment le concept de fonction de Lyapunov étendu aux systèmes hybrides impulsionnels.

2.2- Convergence SPA et échantillonnage

« Redesign » de la commande adaptative continue Commande d’ordre r : Sur-paramétrisation

Hypothèses sur la commande continue : La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières. (en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)

La commande d’ordre r est dite « meilleure » que la commande d’ordre r-1 si (sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).

Nous choisissons la loi d’adaptation suivante : si sinon Nous utilisons : Nous obtenons lorsque

Exemple de dimension 1 En continu : A l’ordre 1 : Si

2.2.1- Idées d’extension aux systèmes de la forme strict-feedback

Exemple En continu : A l’ordre 1 :

Commande continue : A l’ordre 0 : A l’ordre 1 :

Ordre d’idée de la complexité : calculs réalisés par le logiciel Maple

Simulation numérique en partant par exemple de (1,1) à 20Hz

3- Futurs travaux et application

Commande d’un hélicoptère soumis à des rafales de vent Le système s’écrit sous la forme strict-feedback à multi-entrées et possède des paramètres inconnus. L’implémentation des commandes a lieu à une fréquence de 25Hz Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz

Problèmes ouverts et thèmes de recherche futurs éliminer la sur-paramétrisation en commande adaptative synthétiser des commandes échantillonnées d’ordre supérieur par retour de sortie relaxer les hypothèses permettant d’assurer la convergence GAS et donner une meilleure borne supérieure de la période d’échantillonnage qui garantit la stabilité GAS

Conclusion

Publications L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stability of a Class of NonLinear Hybrid Systems, in Proc. of NOLCOS 04, Stuttgart, 2004. T. Ahmed-Ali, L. Burlion et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stabilization of sampled-data systems by using higher order approximations of the exact discretized systems, in Proc. of IMACS World Congress, Juillet, 2005. L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stabilization of Sampled-Data Nonlinear Systems by using Backstepping on the higher order approximate models, International Journal of Control, vol. 79,no.9, Septembre, pp.1087-1095, 2006. L. Burlion, T. Ahmed-Ali, F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stability of a class of nonlinear hybrid systems, Journal of Nonlinear Analysis, Décembre, 2006. L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the adaptive control of Nonlinear Sampled-Data Systems, accepté à la conférence ECC 2007. L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, Adaptive control redesign for some Nonlinear Sampled-Data Systems, soumis à la conférence NOLCOS 2007.