Analyse structurelle de la localisation et de la classification de capteurs Do Hieu TRINH Gipsa – lab / Département d’Automatique Jury de thèse: Grenoble, 27/10/2008 Examinateurs: M. András SEBÖ M. Marcel STAROSWIECKI Directeur de Recherche CNRS, G-Scop Professeur, Université Lille 1, Satie Rapporteurs: M. Taha BOUKHOBZA M. Jean-Jacques LOISEAU Maître de Conférences, Université Henri Poincaré, CRAN Directeur de Recherche CNRS, IRCCyN Co-directeurs: M. Jean-Michel DION M. Christian COMMAULT Directeur de Recherche CNRS, Gipsa-lab Professeur, Grenoble INP, Gipsa-lab

Contenu de la présentation Introduction Formulation des problèmes Systèmes linéaires structurés L’observabilité des systèmes linéaires structurés Rejet de perturbation par retour de mesure des systèmes linéaires structurés Conclusions / Perspectives

Introduction Capteur: dispositif transformant une grandeur physique mesurée en une autre grandeur physique utilisable par l’homme ou par la machine. Capteur: rôle important dans la commande des systèmes automatisés: pour des performances ou des propriétés souhaitées. Les systèmes automatisés de plus en plus complexes, les capteurs de plus en plus nombreux Les capteurs sont couteux, leur emplacement limité, leur maintenance difficile,… Objectif: Utilisation optimale des capteurs d’un système pour atteindre des performances données.

Formulation du problème (i) Système dynamique Σ Propriété P si P vraie avec Y sinon P(Y)= capteurs Y={y1, y2, …yp } Propriété P vérifiée (vraie) pour Σ avec l’ensemble Y (e.x. L’observabilité, Rejet de perturbation par retour de mesure, …)

Formulation du problème (ii) si P vraie avec Y sinon Propriété P: P(Y)= Problème 1: Localisation des capteurs Si P(Y) = 0, comment rendre P vraie avec un ensemble de capteurs supplémentaires Z: P ( Y ∪ Z)= 1 Problème 2: Classification des capteurs Si P(Y) = 1, comment classer les capteurs Y par rapport à leur importance pour la propriété P

Classification des capteurs Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1 Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1 Y Inutiles Classification: y* est inutile : si pour toute solution VY contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution y* est utile : s’il n’est pas inutile y* est essentiel si y* appartient à toute solution Utiles Essentiels Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008

Classification des capteurs Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1 Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1 Y Inutiles Classification: y* est inutile : si pour toute solution VY contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution y* est utile : s’il n’est pas inutile y* est essentiel si y* appartient à toute solution Essentiels Utiles Solution Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008

Classification des capteurs Y Autre définition: (Staroswiecki et al. 2004) Ensemble minimal de capteurs (MSS): une solution telle que aucun de ses sous-ensembles propres n’est une solution Solution MSS Alors: Capteurs inutiles: n’appartiennent à aucun MSS Capteurs essentiels: appartiennent à tous les MSS Référence: M. Staroswiecki, G. Hoblos and A. Aitouche. Sensor network design for fault tolerance estimation. Int. J. Adapt. Control Signal Processing, 2004

Exemple: Localisation des capteurs Système linéaire Σ Propriété P : L’observabilité de Σ Non observable Ajout d’un capteur supplémentaire: z = x1 Observable

Exemple: Classification des capteurs Système linéaire Σ Les solutions VY pour P: V0={y1, y2, y3, y4}; V3={y2, y3, y4} V1={y1, y2, y3}; V4={y1, y3} V2={y1, y3, y4}; V5={y2, y3} P : L’observabilité du Σ Solutions contenant y4: V0; V2; V3 V0 \ { y4} = V1 V2 \ { y4} = V4 V3 \ { y4} = V5 y4 est inutile y1, y2,y3 sont utiles Solutions contenant y3: Σ Observable y3 est essentiel

Systèmes linéaires structurés Références: C.T. Lin. Structural controllability. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 19, Issue 3, 1974 : p 201-208 J.M. Dion, C. Commault and van der Woude. Generic properties and control of linear systems : A survey. Automatica, Vol 39, Issue 7, 2003: p 1125-1144 T. Boukhobza and F. Hamelin. Observability analysis for structured bilinear system: A graph-theoretic approach. Automatica, Vol 43, Issue 11, 2007: p 1968-1974

Systèmes linéaires structurés Modèle d’une colonne à distiller Exemple +) Commandes: L, V +) Etats: Concentrations sur les plateaux, Gen. Vapeur, Condenseur +) Sorties: Produits XD, XB +) Perturbations: LF, XF

Modèle linéarisé

Systèmes linéaires structurés L'information sur la structure du système. Propriétés qui dépendent essentiellement de la structure du système. Temps de calcul, traitement de systèmes de grande taille. Représentation visuelle de la structure du système.

Systèmes linéaires structurés Définition: Le système Σ Λ est appelé système linéaire structuré si les éléments de (AΛ,BΛ,CΛ) sont soit fixés à zéro soit des paramètres libres Propriétés génériques: propriétés qui sont vraies pour presque toutes les valeurs des paramètres. Outil d’analyse: Théorie des graphes

Graphe associé G(Σ Λ ) x1 y2 x2 y1 x3

Observabilité générique Observable pour presque toutes les valeurs des paramètres.

Conditions de l'observabilité Théorème (Lin, 74) Le système est génériquement observable si et seulement si: 1. Tous les sommets d’état sont reliés à la sortie 2. Il n’existe pas de contraction dans le graphe associé Contraction: V1 V2 d(V1)> d(V2)

Le système est connecté à la sortie Il ne contient pas de contraction Exemple Le système est connecté à la sortie Il ne contient pas de contraction x1 y2 → Le système est observable x2 y1 Le système est connecté à la sortie Une contraction : non observable x3

Connexion à la sortie => Non connecté à la sortie Pré-Infimales Infimales => Non connecté à la sortie z1 => Avec capteurs supplémentaires z2 Décomposer en composantes fortement connexes Ordonner ces composantes pour trouver les composantes infimales / pré-infimales Système connecté à la sortie SSI toutes les composantes infimales sont des sommets de sortie

Graphe de connexion C(Σ Λ ) Construit à partir de G(Σ Λ ) et contient toute l’information sur la connexion à la sortie de G(Σ Λ ) Correspond aux relations entre les Pré-infimales et les Infimales sur G(Σ Λ ) G(Σ Λ) est connecté à la sortie  C(Σ Λ) est connexe

Graphe de connexion C(Σ Λ ) Pré-Infimales Infimales y1 y2 y3 y4 y5 y6 y1 x1 z v2 v1 v3 v4 x3 y2 x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 y6 G(Σ Λ ) C(Σ Λ )

Préservation de la connexion à la sortie y1 y2 y3 y4 y5 y6 z v2 v1 v3 v4 S1 S2 C(Σ Λ ) Outil: Séparateurs Irréductibles

Préservation de la connexion à la sortie y1 y2 y3 y4 y5 y6 v2 v1 v3 v4 z S1 S2 Capteurs inutiles Capteurs essentiels Résultat: C(Σ Λ )

Préservation de la connexion à la sortie y1 y1 x1 y2 v2 v1 v3 v4 x3 y2 S1 z x2 y3 y3 y4 S2 x6 y4 x5 x4 inutiles y5 y6 x7 y6 y5 G(Σ Λ ) C(Σ Λ ) Perdre y4 ? => Perdre la connexion à la sortie Quand y4 est garantie

Caractérisation des contractions (i) Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ) Graphe biparti B(Σ Λ ) Couplage Maximum DM-Décomposition Caractérisation des contractions

Caractérisation des contractions (ii) B0 représente la contraction DM Décomposition x+1 u1 x1 x2 x3 y1 y2 y3 B0 y1 x+2 u1 x-1 B1 x-2 x+3 y2 B∞ y3 x-3 G(Σ Λ) Absence de contraction sur G(Σ Λ )  Couplage maximum du graphe B(Σ Λ ) de dimension n  Pas de partie B0 sur la DM-Décomposition

Résultat de la DM-Décomposition B1 y1 x5+ y4 x3 x1 y2 x6+ B2 x3- x2 y3 x7+ B3 y6 x6 y4 y5 x5 x4+ x2- x4 y5 x5- x3+ x1- B∞ x7 y6 x2+ y2 y3 G(Σ Λ) x1+ y1 x4- x6- x7- B(Σ Λ )

Absence de contraction x5+ Capteurs inutiles Capteurs essentiels y4 x6+ B2 x3- x7+ B3 y6 Résultat: y5 x4+ x2- x5- x3+ x1- B∞ x2+ y2 y3 x1+ y1 x4- x6- x7- B(Σ Λ )

Absence de contraction G(Σ Λ) y1 y2 y3 y4 y5 y6 x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x1- x2- x3- x4- x5- x6- x7- B1 B2 B3 B∞ y1 x3 x1 y2 x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 y6 B(Σ Λ ) Perdre y4 ?

Absence de contraction G(Σ Λ) y1 y2 y3 y5 y6 x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x1- x2- x3- x4- x5- x6- x7- B1 B2 B∞ B(Σ Λ ) =>Contraction<= B0 y1 x3 x1 y2 x2 y3 x6 x5 x4 y5 x7 y6 Perdre y4 ?

Absence de contraction G(Σ Λ) y1 y2 y3 y4 y5 y6 x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x1- x2- x3- x4- x5- x6- x7- B1 B2 B3 B∞ y1 x3 x1 y2 x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 y6 Perdre y6 ? B(Σ Λ )

Absence de contraction G(Σ Λ) =>Contraction<= y1 y2 y3 y4 y5 x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x7+ x6+ x1- x2- x3- x4- x5- x6- x7- B0 B1 B∞ B(Σ Λ ) y1 x3 x1 y2 x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 Perdre y6 ?

Absence de contraction G(Σ Λ) y1 y2 y3 y4 y5 y6 x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x1- x2- x3- x4- x5- x6- x7- B1 B2 B3 B∞ y1 x3 x1 y2 x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 y6 B(Σ Λ ) Perdre y5 ?

Préservation de l'observabilité Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ) Graphe de connexion Graphe biparti C(Σ Λ ) B(Σ Λ ) Séparateurs irréductibles Couplage Maximum et DM-Décomposition Classification des capteurs Classification des capteurs Pour l’observabilité

Préservation de l'observabilité Théorème: Capteurs inutiles : Inutiles pour la connexion à la sortie ET l’absence de contraction Capteurs essentiels : Essentiels pour la connexion à la sortie OU l’absence de contraction

Pour l’absence de contraction Exemple illustratif y1 x1 x3 y2 G(Σ Λ) x2 y3 x6 y4 x5 x4 y5 x7 y6 Pour la connexion à la sortie Pour l’absence de contraction Pour l’Observabilité

Conclusions (1): Observabilité Analyse de la préservation de l’observabilité en présence de défauts de capteurs pour les systèmes linéaires structurés. Classification des capteurs par rapport à leur nature critique concernant l’observabilité du système. La classification peut s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.

Rejet de perturbation par retour de mesure

Problème RPRM Matrice de transfert: u=F(s)z et F(s) tel que:

Exemple: Procédé thermique Perturbation: d=T0 T 4 3 2 1 5 F + w z Sortie mesurée: z=T2 Commande: u=w Sortie à réguler: y=T5 Système: Non Commandable Non Observable Objectif : Pas d’effet de la perturbation d=T0 sur la sortie à réguler y=T5

RPRM: Les approches Approche géométrique : Schumacher, J.M. (1980). Willems, J.C. and C. Commault (1981). Approche graphique: Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque (1997). van der Woude, J.W. (1993).

RPRM: Approche graphique

RPRM: Approche graphique T 4 3 2 1 5 F + w z d u y z x 1 5 4 3 2

RPRM: Approche graphique J * I* ⊆ X : En fonction de U, X, Y J * ⊆ X : En fonction de D, X, Z Référence: van der Woude. Disturbance decoupling by measurement feedback for structured system: A graph theoretic approach. In Proc. 2nd Europ. Cont. Conf. ECC’93

RPRM: Approche graphique J * X

RPRM: Approche graphique Théorème: (Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque (1997); van der Woude, J.M. (1993)). Problème RPRM soluble SSI: I * J * X I * ∪ J * = X d u y z x 1 5 4 3 2 Exemple du procédé thermique: I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5} → Problème RPRM soluble

Un ensemble de capteurs inutiles Théorème: Les capteurs qui mesurent uniquement des sommets d’état en dehors de I * sont inutiles pour la solubilité du problème RPRM X I * J * z1 z2 inutiles

Un ensemble de capteurs inutiles Exemple I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8}; J *={x1, x2 , x3, x6 , x9} → Problème RPRM soluble {z2, z9} sont inutiles Sans {z2, z9} I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8}; J *={x1, x2 , x3, x6 , x9} → Problème RPRM soluble

Cas perturbation unique: Solubilité F(I *): (Frontière de I * ): Sommets d’état dans I * qui ont au moins un successeur en dehors de I * . d Dd F(I *) I * xi xj Dd: (Disque autour de la perturbation d): Sommets d’état dans le rayon du point d’impact à la frontière F(I *)

Cas perturbation unique: Solubilité Théorème: Cas perturbation unique d, problème RPRM est soluble SSI: La perturbation d agit dans I *. Il existe une mesure pour un sommet d’état appartenant à Dd. F(I *) d Dd xi zj I *

Cas perturbation unique: Solubilité F(I *) Exemple: Perturbation unique d: Dd I *={x2, x3, x4} F(I *)={x2, x4} zj Dd ={x2, x3} 1ère cas : Mesure de x4: J *= ∅ I * ∪ J * ≠ X => Pas de solution 2ème cas : Mesure de x3: J *= {x1, x4 } I * ∪ J * = X => Problème soluble I *

Cas perturbation unique: Classification des capteurs Théorème: Perturbation unique d, problème RPRM soluble: Capteur inutile: Mesure en dehors de Dd. Capteur utile: Mesure au moins un sommet appartenant à Dd. Capteur essentiel: S’il est l’unique capteur utile.

Cas perturbation unique: Classification des capteurs y z x 1 5 4 3 2 I *={x1, x2}; F(I *)={x1, x2}; Dd={x1, x2}; z1 1ère cas: mesurer tout xi : I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5} → Problème RPRM soluble {z3, z4 , z5} sont inutiles z3 z4 z5 3ème cas: mesurer seulement x2: I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5} → Problème RPRM soluble {z } est essentiel 2ème cas: mesurer x2 ET x1: I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5} → Problème RPRM soluble {z1, z } sont utiles

Cas perturbation unique: Illustration Régulateur:

Simulation : Sans retour de mesure Commande Sortie Perturbation Mesure

Simulation : Avec retour de mesure Commande Sortie Perturbation Mesure

Cas général: Plusieurs perturbations Certains résultats peuvent être obtenus en généralisant le cas perturbation unique (disques Dd disjoints) Des observations sur les capteurs inutiles, essentiels dans des cas particuliers

Conclusions (2): RPRM On a revisité le problème de rejet de perturbation par retour de mesure pour les systèmes linéaires structurés. Une classe de capteurs inutiles pour le problème RPRM Une classification complète des capteurs en fonction de leur importance pour le problème RPRM en cas de perturbation unique. Les classifications peuvent s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.

Conclusions générales Deux problèmes abordés: Localisation des capteurs Classification des capteurs pour des propriétés différentes Application sur deux propriétés dans le cadre des systèmes linéaires structurés: L’observabilité Le rejet de perturbation par retour de mesure Les résultats obtenus

Conclusions générales Les résultats obtenus L’observabilité: Bornes sur le nombre de capteurs supplémentaires / Localisation Classification complète par des algorithmes en temps polynomial. Le rejet de perturbation par retour de mesure Une classe de capteurs inutiles L’analyse sur un système réduit Classification complète dans le cas où la perturbation est unique Certaines observations dans le cas général

Perspectives Classification complète dans le cas général pour le problème RPRM Une classification plus fine pour les capteurs utiles Solution moins couteuse en temps de calcul pour certains problèmes (connexion à la sortie) Solution à coût minimal pour le problème de localisation de capteurs Ouvert pour d’autres propriétés du système

Merci pour votre attention!

RPRM: Approche graphique J * X I* : Ensemble des sommets d’état tels que s’il y a une perturbation qui arrive dessus, elle peut être rejetée par un retour d’état sans mesure de la perturbation. J * : Ensemble des sommets d’état que l’on peut estimer à partir des mesures par un observateur indépendamment des perturbations.