Du signal continu au numérique Échantillonnage , reconstruction et quantification Alain Rakotomamonjy - Automne 2001

Introduction Recrudescence du traitement numérique. TV numérique, Enregistrement audio, video téléphonie mobile. ... Processeurs de signaux. flexibilité. Rapidité. Il est nécessaire de comprendre comment se fait le passage du monde analogique à celui du numérique. Dans ce cours, on se placera dans le contexte de signaux réels

Pourquoi numériser? Interprète s(t) Systèmes continus Interprète Calculateur s(t) - support continu - données discrètes - amplitude continu - codage en mot binaire Interprète Opérateur d'échantillonnage et de quantification Échantillonnage : prélèvement sur le signal continu des valeurs de s(t) à des instants tn données. Généralement, les tn sont régulièrement espacés. Ce sera le cas étudié ici Quantification : transformation des valeurs s(tn) en des mots "compréhensibles" par le calculateur.

Échantillonnage idéal Période d'échantillonnage Te Signal numérique xe(t)={x(nTe)} Signal original x(t) Échantillonneur Échantillonnage idéal : prélèvement pendant un temps infiniment court des valeurs de x(t) à t=nTe Modélisation mathématique On a la propriété x(t) x t t xe(t) t

TF du signal échantillonné Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage idéal? Or d'après le théorème de Plancherel, on a Et donc Comme le produit de convolution est distributif, et que Le spectre de Xe (f) est donc celui de X(f) "périodisé" avec une période fréquentielle Fe.

Interprétation du spectre de xe(t) |X(f)| Soit x(t) un signal réel à spectre borné -Fmax Fmax f Question : que devient le spectre Xe(f) en fonction de Fe? Si |Xe(f)| Fe n= -1 n=0 n=1 Les motifs élémentaires du signal périodiques sont disjoints -Fe -Fmax Fmax Fe f Si (version zoomée) |Xe(f)| Les motifs élémentaires du signal périodiques se recouvrent Fe Repliement de spectres -Fe -Fmax Fmax Fe f

Théorème de Shannon Question : quelle est la condition sur Fe pour que, à partir du signal échantillonné xe(t), on puisse reconstruire intégralement x(t)? Si Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), et comme les autres motifs sont disjoints, grâce à un filtre passe-bas idéal,il est possible d'isoler ce motif et donc de retrouver x(t). Si Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), mais, il est pollué par le recouvrement d'autres motifs. Il est impossible de retrouver le spectre de x(t). Énoncé du théorème Pour échantillonner un signal sans perte d'information, il faut que la fréquence d'échantillonnage Fe soit supérieure au double de la fréquence maximale du signal. Plus précisément, si on note Fmax la fréquence maximale du signal, il faut :

Exemples Exemple 1 : Exemple 1 : Fe= ????; t= 0:1/Fe:2; Te= 0.2 s Te= 0.65 s Exemple 1 : On échantillonne un "La" à une fréquence Fe donnée Fe= ????; t= 0:1/Fe:2; x=sin(2*pi*440*t); sound(x,Fe);

Échantillonnage réel En pratique, l'échantillonnage ne se fait pas sur un temps infiniment court, et en fait l'échantillon x(nTe) s'écrit : x(t) h(t-nTe) On moyenne la valeur de x(t) pondérée par h(t-nTe) sur l'intervalle DT nTe t DT On peut également écrire Expression du signal échantillonné réel t x(t) nTe h(t-nTe) (n+1)Te Exemple Échantillonnage réel par moyennage simple On prend h(t) comme q

TF d'un signal échantillonné Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage réel? L'expression du signal échantillonnée réellement est : On peut également l'écrire Donc, d'après les propriétés des TF, on a D'où Car H(-f)=H*(f) Interprétation - l'expression de Xhe(f) est identique à Xe(f) à un terme de pondération près. - le terme de pondération n'influe pas sur la condition de Shannon - le terme H*(f) introduit une distorsion sur le spectre par rapport au cas idéal. Cette distorsion est d'autant plus faible que H(f) est constant dans la bande [-Fe/2, Fe/2].

Exemple d'échantillonnage réel Soit x(t) un signal dont le spectre est On réalise un échantillonnage réel par moyennage simple donc D'après le résultat précédent, on a Xhe(f) en fonction de q Xhe(f) X (f) |H(f)| q=0.5 q=0.1 q=0.01 Fe=20 Hz

Cas des signaux à support fréquentiel non borné Dans le cas des signaux à support fréquentiel infini, il est impossible de définir une notion de fréquence maximale. Si on l'échantillonne à une cadence Fe , il y a toujours repliement de spectre. Solution On va numériser un signal x1(t), qui sera le résultat d'un filtrage passe-bas idéal du signal x(t) à support fréquentiel infini. |X(f)| Fe/2 f -Fe/2 On peut montrer que x1(t) est le signal, ayant un support fréquentiel entre [-Fe/2, Fe/2] qui se rapproche le mieux de x(t) au sens des moindres carrées. D'une manière général, afin de garantir la condition de Shannon, il faut utiliser un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure inférieure à Fe/2.

La reconstruction 1/4 Question : Interpolation de Shannon |Xe(f)| f On a échantillonné un signal x(t) en respectant le théorème de Shannon, comment fait on pour reconstruire x(t) à partir des échantillons? Interpolation de Shannon Si on respecte la condition de Shannon, pour reconstruire le signal, il suffit de prendre la TF inverse du motif de base de Xe(f). |Xe(f)| Fe n=0 n=1 Et donc Fmax f -Fmax donc Ce qui donne en utilisant les propriétés appropriées Soit - La connaissance de tout les échantillons est nécessaire pour reconstruire le signal  mathématique possible, mais physiquement irréalisable. - cet interpolation est non causale.

La reconstruction 2/4 Extrapolateur d'ordre 0 On se propose ici d'étudier une méthode de reconstruction causale Extrapolateur d'ordre 0 L'idée est simplement de maintenir l'échantillon x(nTe) jusqu'à l'apparition de l'échantillon x(nTe+Te). Le résultat obtenu est On cherche à caractériser les différences en étudiant la TF de xo(t) On peut réécrire soit Interprétation ?

La reconstruction 3/4 Interprétation de l'extrapolateur d'ordre 0 La TF du signal reconstruit par l'extrapolateur d'ordre 0 s'écrit Xo(f) = spectre du signal échantillonnée pondérée par la TF du signal porte de reconstruction 1- déformation de la bande centrale entre [-Fe/2, Fe/2] 2- présence de composantes hautes fréquences Atténuation de distorsions 1- augmentation de Fe 2- filtre passe-bas de fc < Fe/2

La reconstruction 4/4 D'une manière générale, on peut reconstruire le signal à partir des échantillons en utilisant l'équation générale Cela revient à chercher un système dont la réponse impulsionnelle est h(t) , car Le problème consiste à trouver un filtre dont la réponse fréquentielle soit : - la plus constante possible dans la bande [-fmax,fmax] - la plus faible possible au delà de la bande [-Fe/2, Fe/2]

La quantification Role Principe Approximer chaque valeur du signal échantillonné xe(t) en un multiple entier d'une quantité élémentaire q appelée "pas de quantification" ou quantum. Si q est constant, on parle de quantification uniforme. Principe Il existe principalement deux modes de quantification - par arrondi : si Alors à xe(t) on associe le code N ou la valeur Nq - par troncature : si Alors à xe(t) on associe le code N ou la valeur Nq La quantification introduit une erreur modélisable mathématiquement, et que l'on peut considérer comme une variable aléatoire.

Conclusions La condition de Shannon garantit la non perte d'information, dans le cas idéal! Dans le cas pratique, il y a des distorsions dans le signal échantillonné - échantillonnage réel - reconstruction par extrapolation Des précautions sont à prendre afin que le signal échantillonné et le signal reconstruit à partir des échantillons soient le plus fidèle possible au signal original.

Bibliographie - Bellanger M, Traitement numérique du signal, Dunod, 1998. - Picinbono B, Theorie des signaux et des systèmes, Dunod, 1993 - Truchetet F, Traitement linéaire du siganl numérique, Hermes, 1998