Le calcul différentiel et intégral

Sommaire Introduction: L’analyse mathématique Histoire du calcul infinitésimal Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du calcul infinitésimal Application dans la vie quotidienne Bibliographie

L’invention de l’analyse mathématique - le résultat des recherches antérieures sur des problèmes apparemment disparats, mais ayant une unité cachée. Par exemple: Le calcul de la vitesse instantanée d’un objet en mouvement; La tangente à la courbe et la longueur de la courbe; La valeur maximale et minimale d’une fonction; Calculer la surface d’une figure plane et le volume d’un corps tridimensionnel.

Certaines idée et exemples importants ont été énoncés par Fermat et Descartes et aussi par un anglais, moins connu, Isaac Barrow, mais ces méthodes étaient valables seulement pour des problèmes particuliers. On avait besoin d’un méthode général.

1.Le calcul différentiel 2.Le calcul intégral L’analyse mathématique a deux branches principales: 1.Le calcul différentiel 2.Le calcul intégral

Historique La création du calcul infinitésimal est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Néanmoins, son histoire est très vaste, d'Archimède à Barrow en passant par Fermat. Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Pierre de Fermat France 17.08.1601 – 12.01.1665 64 ans France Un avocat, fonctionnaire et mathématicien français Calcul de probabilités - pionnier, avec Blaise Pascal Calcul différentiel - précurseur, avec ses travaux sur le calcul infinitésimal méthode, dite de maximis et minimis Géométrie analytique - fondateur, comme Descartes Créateur de la méthode des coordonnées qui permet de situer un point sur une surface. Conception des courbes comme lieux géométriques (c'est-à-dire comme ensemble de points qui vérifient une équation). Premier à donner une méthode générale pour la détermination des tangentes à une courbe plane. Unifie les deux domaines de l’algèbre et de la géométrie. 3. En combien de coups peut-on espérer obtenir un double six avec deux dés ?

Pierre de Fermat France Théorie des nombres – créateur 17.08.1601 – 12.01.1665 64 ans France Théorie des nombres – créateur Études arithmétiques approfondies Fermat laisse de nombreux théorèmes non démontrés; Euler en démontrera un bon nombre Aucune publication, mais correspondance privée avec d'autres savants: Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne. Théorème de Fermat- Wiles xn + yn = zn , n’a pas de solution pour n>2

Mathématicien, physicien, astronome. NEWTON Sir Isaac 4.01.1642 – 31.03.1727 85 ans Angleterre Mathématicien, physicien, astronome. Un des plus grands scientifiques de l'Histoire. L’ inventeur du calcul infinitésimal à côté de Leibniz Travaux sur la lumière et l'optique. Trois lois sur le mouvement et loi de la gravitation universelle.

- Leibniz publie sa description de l’analyse en 1684. NEWTON Sir Isaac 17.08.1601 – 12.01.1665 85 ans Angleterre Théorie du calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz (1646-1716) inventait le calcul différentiel. - Leibniz publie sa description de l’analyse en 1684. - Les mathématiciens d'Eudoxe à Fermat ont découvert des techniques de dérivation et d’intégration avant Newton et Leibniz. - Mais ils n’avaient pas vu la relation entre les deux. - Newton et Leibniz, travaillant séparément, établissent les règles générales pour toutes les fonctions. - Ce sont les pères du calcul infinitésimal : l’analyse. - Concept moderne de dérivée qui encore écrite en utilisant le symbole de Newton x', et, plus généralement le symbole dy/dx, introduit par Leibniz.

Théorème de la série du binôme: NEWTON Sir Isaac 17.08.1601 – 12.01.1665 85 ans Angleterre Théorème de la série du binôme:       - développement de (a+b)n , - utilisation en combinatoire:  Cpn = n! / ( p! (n-p)! ) Ondes lumineuses en optique, dispersion par le prisme. « Principes mathématiques de philosophie naturelle »: - forces, inertie, gravité, action/ réaction. Gravitation universelle explique le mouvement des planètes et la pesanteur: - la pomme de Newton.

Fondateur, en 1700, de l'Académie des sciences de Berlin. LEIBNIZ Gottfried Wilhelm 1.07.1646- 14.11.1716 70 ans Allemagne Éminent philosophe, savant, juriste et diplomate à l'époque de Louis XIV Fondateur, en 1700, de l'Académie des sciences de Berlin. Dans l’histoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l’art de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées.

Mathematician suisse, physicien, ingénieur et philosophe. EULER Leonhard 15.04.1707- 18.09.1783 76 ans Suisse Mathematician suisse, physicien, ingénieur et philosophe. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie les sciences physiques les mathématiques, dans toutes ses branches, de l'arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie. La première étude des surfaces abordée en termes de géométrie différentielle : La difficile étude des surfaces est entreprise par Euler grâce á l'apport du calcul différentiel et intégral. Au 19è siècle Gauss et Riemann (tout particulièrement) se pencheront sur cette théorie, aussi. l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes) les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière, mécanique des solides...)

Joseph-Louis Lagrange 25.01.1736- 10.04.1813 77 ans Italie- Allemagne- France Un mathématicien, mécanicien et astronome. Son nom apparaît presque partout en mathématiques.  Lagrange est considéré comme le fondateur du calcul des variations (Euler simultanément) et la théorie des formes quadratiques. Dans les équations différentielles sur le terrain, la théorie de Lagrange développé des solutions simples et la méthode de variation constante. En physique, énonçant le principe de moindre action et en utilisant le calcul des variations, il a trouvé la fonction qui satisfait les équations de Lagrange, en fonction de ce qui porte son nom. Il a développé la mécanique analytique, en introduisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange (1788). Il a fait des recherches approfondies sur le problème des trois corps, l'un de ses résultats mettent en évidence les points d'oscillation  («points de Lagrange») en 1772. Un des plus célèbre théorème qui est attribué est le théorème de Lagrange. 2. En mathématiques,

Sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. Augustin Louis Cauchy 21.08.1789 – 23.05.1857 68 ans France, Paris Mathématicien Membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, quoique devancé par Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; Sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques. Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXe siècle. Catholique fervent

Augustin Louis, baron Cauchy Augustin Louis Cauchy 21.08.1789 – 23.05.1857 68 ans France, Paris Sous l’influence de Laplace, il présente dans le mémoire Sur les intégrales définies (1814) la première écriture des équations de Cauchy-Riemann comme condition d'analyticité pour une fonction d'une variable complexe. Dans Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825), il donne la première définition d'intégrale curviligne, démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et énonce précisément le théorème des résidus pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales. Augustin Louis, baron Cauchy Dans cet article, il s’intéresse à l’intégration d’une fonction analytique d’une variable complexe sur le contour d’un rectangle, donne la définition de résidu, et fournit un premier calcul de résidu.

Allemagne Karl Weierstrass 31.10.1815- 19.02.1897 82 ans Karl Weierstrass est souvent cité comme le « père» de l‘analyse moderne.  Il fut nommé à Breslau l'année suivante en remplacement de Kummer et élu à l'Académie des sciences de Berlin en 1856. Son brillant traité sur les intégrales elliptiques (Réflexions sur l'intégration des équations différentielles hyper elliptiques) le mènent à une chaire de mathématiques à l'université de Berlin en 1864. Il en fut le recteur en 1873.

Leçons de géométrie intrinsèque écrites en 1894 Ernesto Cesàro 12.03.1859- 12.09.1906 47 ans Italie Un mathématicien italien, connu pour ses contributions à la géométrie différentielle et à la théorie des séries infinie Leçons de géométrie intrinsèque écrites en 1894 Par la suite, Cesàro étudia également la "courbe à flocon de neige" de Koch, continue mais non différentiable dans tous ses points La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°). 2.expliquent notamment la construction d'une courbe fractale

Ernesto Cesàro 12.03.1859- 12.09.1906 47 ans Italie Parmi ses autres œuvres marquantes, on trouve Introduction à la théorie mathématique de calculs infinitésimaux (1893), Analyse algébrique (1894), Éléments de calcul infinitésimal (1897). Il propose une définition possible de la limite d'une suite divergente, connue aujourd'hui comme "Somme de Cesàro", donnée par la limite de la moyenne des sommes des termes partiels de la succession.

Henri-Léon Lebesgue 28.06.1875- 26.07.1941 66 ans France Un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l'université de Nancy en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du xxe siècle. Henri Léon Lebesgue a révolutionné et généralisé le calcul intégral. Sa théorie de l'intégration (1902-1904) est extrêmement commode d'emploi, et répond aux besoins des physiciens

Des applications du calcul différentiel et intégral Ecuaţiile diferenţiale, inventate de Newton şi perfecţionate de urmaşii săi din secolele XVIII şi XIX, stau în multe privinţe la baza societăţii în care trăim astăzi.

Le pont suspendu de Clifton - une parabole L’une des première application du calcul différentiel et intégral utilisées pour comprendre les phénomènes naturels a été liée au problème concernant la forme d’une chaîne accroché à deux pilons. Le pont suspendu de Clifton - une parabole

Y=k(ex+e-x), où k est une constante. Les câbles des ponts suspendus sont paraboliques. La différence se produit parce que ces câbles supportent en même temps le poids du pont et leur propre poids. Cela aussi peut être démontré en utilisant le calcul différentiel.

À quoi nous aide l’analyse mathématique ? Les équations différentielles sont omniprésents dans la science: elles sont de loin le moyen le plus répandu de modeler les systèmes naturels. On les utilise, par exemple, pour calculer les trajectoires des sondes spatiales Mission Cassini, qui explore Saturne et ses satellites, est un autre exemple.  Bien sûr, le calcul n'est pas la seule technique utilisée pour les missions spatiales -, mais sans celui-ci, la navette n'aurait jamais été lancée.

Robot Spirit Mars D'un point de vue pratique, tout avion qui vole, tout véhicule à moteur qui parcourt une route, tout pont de suspendu et toute construction résistante aux tremblements de terre doit partiellement sa conception au calcul différentiel. Même les plages numériques décrivant la manière dont les populations animales varient, dérive des équations différentielles. Le même est vrai pour la propagation des épidémies, où des modèles analytiques sont utilisés pour planifier la façon la plus efficace d'intervenir et de prévenir la propagation désastreuses. Un modèle récent pour la propagation de l'épidémie de fièvre aphteuse au Royaume-Uni a montré que la stratégie adoptée n’était pas la meilleure.

Les plus importantes inventions du progrès technologique, telles que le radio, la télévision et les avions , dépendent d'une certaine façon des mathématiques des équations différentielles. L’ équation des ondes est directement liée à la radio et la télévision. Maxwell a reformulé les théories de Faraday sous forme d'équations mathématiques de l'électromagnétisme. Ce sont des équations aux dérivées partielles impliquant des champs électriques et magnétiques. A partir des équations de Maxwell, en résulte immédiatement l'équation des ondes. La télévision et le radar sont basés sur les ondes électromagnétiques, la navigation GPS aussi, les téléphones mobiles et les communications informatiques sans fil.

L'analyse est utilisée en biologie pour étudier la croissance des populations d'organismes. Un exemple simple est la logistique du module Verhulst -Peale. Cette variation de la population x en fonction du temps t est modelée par une équation différentielle où la constante M est la capacité de support de la plus grande population que l'environnement peut supporter. Les méthodes standard de l’analyse donnent une solution explicite ce qu’on appelle la courbe logistique.

Le temps qu’il fera La prévision météorologique ou climatique n’est pas une mince affaire. Elle implique la modélisation de nombreux phénomènes de nature différente et l’intervention de plusieurs sciences, des mathématiques à la biologie, en passant par l’informatique, la physique ou la chimie. Une prévision météorologique, avec un rendement élevé de réalisation, ne peut pas être effectuée que grâce à la collaboration des centres météorologiques régionaux et l’utilisation des modèles mathématiques de la performance atmosphérique.

Bibliographie “Îmblânzirea infinitului- povestea matematicii”, Ian Stewart, Humanitas La brochure “L’explosion des mathématiques” www.wikipedia.org http://www.astrofiles.net http://www.cosmovisions.com/calculdifferentiel.htm http://villemin.gerard.free.fr