Évolution de la charge d’un condensateur sous tension constante Étude qualitative Étude expérimentale Exploitation des mesures Étude de la tension aux bornes du condensateur Étude de l’intensité du courant électrique Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C Étude graphique de la constante de temps du circuit Mise en équation du système Lancer le diaporama F5

ETUDE QUALITATIVE •

Le condensateur C est branché en série avec une résistance R. + - C 18 V 12 V 1 9 V 3 V La brillance de la lampe permet d’évaluer qualitativement l’intensité du courant avec le temps • Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •

Le condensateur C est branché en série avec une résistance R. + - C 18 V 12 V 1 9 V 3 V Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •

La lampe brille de moins en moins avec le temps . + - C 18 V 12 V 1 9 V 3 V L’intensité du courant électrique diminue progressivement •

La lampe s’éteint au bout de quelques secondes. R + - C 18 V 12 V 1 9 V 3 V L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle • Sommaire

ETUDE EXPERIMENTALE •

La lampe est retirée, elle est remplacée par un ampèremètre. 0.00 i (t) R A + - C 18 V 12 V 1 9 V 3 V L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •

Un voltmètre est placé aux bornes de l’alimentation stabilisée. 0.00 R A + - 5.00 C 18 V V 12 V U 1 9 V 3 V Le voltmètre mesure U, la tension aux bornes de la source de tension, constante et égale à 5 volts •

Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur. 0.00 R A 0.00 + - 5.00 C V 18 V V 12 V uc (t) 1 9 V 3 V Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •

Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance. 0.00 uR (t) V 0.00 R A 0.00 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •

Un chronomètre donne le temps entre deux mesures. 0.00 00:00 V min:sec 0.00 R A 0.00 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V L’évolution des grandeurs i (t), U, uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •

L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ». 0.00 00:00 V min:sec 0.00 R A 0.00 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.

00:00 R U = 5 V C Pour t = 0 s uR (t) = 5 V 5.00 i (t) = 0,22 mA 0.22 min:sec 0.22 R A uC (t) = 0 V U = 5 V 0.00 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

00:10 R U = 5 V C Pour t = 10 s uR (t) = 4,17 V 4.17 i (t) = 0,19 mA min:sec 0.19 R A uC (t) = 0,83 V U = 5 V 0.83 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

00:20 R U = 5 V C Pour t = 20 s uR (t) = 3,48 V 3.48 i (t) = 0,16 mA min:sec 0.16 R A uC (t) = 1,52 V U = 5 V 1.52 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

01:00 R U = 5 V C Pour t = 60 s uR (t) = 1,68 V 1.68 i (t) = 0,08 mA min:sec 0.08 R A uC (t) = 3,32 V U = 5 V 3.32 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

02:00 R U = 5 V C Pour t = 120 s uR (t) = 0,56 V 0.56 i (t) = 0,03 mA min:sec 0.03 R A uC (t) = 4,44 V U = 5 V 4.44 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

03:00 R U = 5 V C Pour t = 180 s uR (t) = 0,19 V 0.19 i (t) = 5 mA min:sec 0.005 R A uC (t) = 4,81 V U = 5 V 4.81 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

04:00 R U = 5 V C Pour t = 240 s uR (t) = 0,06 V 0.06 i (t) = 3 mA min:sec 0.003 R A uC (t) = 4,94 V U = 5 V 4.94 + - 5.00 C V 18 V V 12 V 1 9 V 3 V Tension aux bornes de l’alimentation Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes du condensateur Tension aux bornes de la résistance

L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau t [s] uc (t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 i (t) [mA] 0,22 0,19 0,16 0,13 0,11 0,09 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,005 0,003 uR (t) [V] 5 4,17 3,48 2,9 2,42 2,01 1,68 1,4 1,17 0,97 0,56 0,33 0,19 0,11 0,06 Sommaire

EXPLOITATION DES MESURES •

EXPLOITATION DES MESURES • ETUDE N ° 1 • Évolution de la tension aux bornes du condensateur uC (t) = f (t)

sont consignées dans un tableau Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateur sont consignées dans un tableau t [s] uc (t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps uc(t) [V] t [s] uc(t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps uc(t) [V] t [s] uc(t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps uc(t) [V] t [s] uc(t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps uc(t) [V] t [s] uc(t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps uc(t) [V] t [s] uc(t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.

La courbe de la charge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante t [s] 1 2 3 4 50 100 150 200 250 uc(t) [V] 5 uc (t) = f (t) Sommaire

EXPLOITATION DES MESURES • ETUDE N ° 2 • Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électrique i (t) = f (t)

Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électrique sont consignées dans un tableau t [s] i (t) [mA] 0,22 10 0,19 20 0,16 30 0,13 40 0,11 50 0,09 60 0,08 70 0,06 80 0,05 90 0,04 120 0,03 150 0,02 180 0,01 210 0,005 240 0,003 Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps i(t) [mA] t [s] i(t) [mA] 0,22 10 0,19 20 0,16 30 0,13 40 0,11 50 0,09 60 0,08 70 0,06 80 0,05 90 0,04 120 0,03 150 0,02 180 0,01 210 0,005 240 0,003 0,225 0,180 0,135 0,090 0,045 10 t [s] 50 100 150 200 250 L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.

La courbe de l’intensité du courant dans un circuit capacitif soumis à un échelon de tension est la suivante i (t) [mA] 0,225 0,180 0,135 0,090 0,045 50 100 150 200 250 t [s] i (t) = f (t) Sommaire

EXPLOITATION DES MESURES • ETUDE N ° 3 • Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composants uC (t) + uR (t)

sont consignées dans un même tableau Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance sont consignées dans un même tableau t [s] uc (t) [V] 10 0,83 20 1,52 30 2,1 40 2,58 50 2,99 60 3,32 70 3,6 80 3,83 90 4,03 120 4,44 150 4,67 180 4,81 210 4,89 240 4,94 uR (t) [V] 5 4,17 3,48 2,9 2,42 2,01 1,68 1,4 1,17 0,97 0,56 0,33 0,19 0,11 0,06

Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en concordance des temps

Prenons un point quelconque sur la courbe de uc (t) Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Prenons un point quelconque sur la courbe de uc (t)

Prenons le point correspondant sur la courbe de uR (t) Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Prenons le point correspondant sur la courbe de uR (t)

Repérons les deux valeurs sur l’axe des tensions. Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Repérons les deux valeurs sur l’axe des tensions.

Faisons la somme des deux valeurs obtenues. Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Faisons la somme des deux valeurs obtenues.

La somme des deux tensions est égale à la tension d’alimentation U. Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 La somme des deux tensions est égale à la tension d’alimentation U.

Cette propriété reste vraie à n’importe quel instant. Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uc(t) [V] 5 4 3 2 1 uR(t) [V] 10 t [s] 50 100 150 200 250 Cette propriété reste vraie à n’importe quel instant.

La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance uR (t) i (t) R + C uC (t) - 18 V 12 V 1 U 9 V 3 V Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions U = uC (t) + uR (t) Sommaire

EXPLOITATION DES MESURES • ETUDE N ° 4 • Détermination graphique de la constante de temps du circuit t = R.C

EXPLOITATION DES MESURES • Détermination graphique de la constante de temps du circuit PREMIERE METHODE Tangente à l’origine t = R.C

La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de la courbe uC (t) uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Tracer la tangente à l’origine de la courbe uC (t).

Il est nécessaire de tracer la droite d’équation U égale à la tension d’alimentation constante. uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Repérer le point d’intersection de cette tangente avec la droite caractérisant la tension d’alimentation.

La constante de temps du circuit s’obtient par projection. uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Ce point d’intersection permet de déterminer la constante de temps du circuit.

La constante de temps du circuit s’obtient par projection sur l’axe des temps. uc(t) [V] 5 4 3 La constante de temps du circuit est notée t. Elle est égale au produit t = R.C 2 1 0,5 10 t t [s] 50 100 150 200 250 Seconde méthode : Clic

EXPLOITATION DES MESURES • Détermination graphique de la constante de temps du circuit DEUXIEME METHODE Pourcentage de la tension finale t = R.C

La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de deux droites uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250

La première droite est celle qui correspond à la tension finale de uc (t) uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Tracer l’asymptote à la courbe uC (t) lorsque t tend vers l’infini.

Cette droite donne la tension finale de uc (t) uc(t) [V] 5 Valeur finale de la tension uc (t) 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 la valeur de la tension finale de uc (t) est égale à la valeur de l’alimentation.

La seconde droite correspond à 95 %la tension finale de uc (t) uc(t) [V] 5 100 % de la valeur finale 95 % de la valeur finale 4 3 2 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Calculer la valeur égale à 95 % de la valeur de l’alimentation.

Cette droite coupe la courbe uc (t) à un instant particulier correspondant à 3.t uc(t) [V] 5 95 % de la valeur finale 4 3 2 1 0,5 10 3.t t [s] 50 100 150 200 250 L’instant t permet de déterminer la valeur du triple de la constante de temps.

t La grandeur t peut donc être déterminée avec cette seconde méthode 5 uc(t) [V] 5 4 3 2 1 0,5 10 t t [s] 50 100 150 200 250 Un simple calcul permet de déterminer la valeur de la constante de temps.

L’instant 3.t permet de différentier deux modes de fonctionnement Sommaire L’instant 3.t permet de différentier deux modes de fonctionnement uc(t) [V] Régime transitoire Régime établi 5 4 3 2 3.t 1 0,5 10 t [s] 50 100 150 200 250 Les deux régimes, transitoire et permanent, sont déterminés graphiquement.

ETUDE MATHEMATIQUE •

Le montage à étudier est le suivant uR (t) uR (t) i (t) R i (t) R q (t) U C uC (t) + C uC (t) - 18 V 12 V 1 U 9 V 3 V Le montage réel Le montage équivalent électrique Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes

Quelques définitions : Les éléments du circuit électrique R La valeur de la résistance en ohms [W] C La capacité du condensateur en farads [F] Dans l’étude expérimentale : R = 22 kW C = 2 5OO mF

Quelques définitions : La source de tension du circuit électrique U La valeur de la tension d’alimentation en volts [V] Avant l’instant initial : La tension U est nulle A l’instant t = O La tension prend instantanément la valeur constante E Dans l’étude expérimentale : La tension E est égale à 5 volts

Quelques définitions : L’intensité du courant dans le circuit électrique i (t) La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A] Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.

Quelques définitions : Les tensions aux bornes des composants R et C uC (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V] uR (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]

Quelques définitions : La charge instantanée dans le condensateur C q (t) La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C] Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se charge Il accumule des charges positives et négatives sur ses différentes plaques La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.

Appliquons la loi des mailles sur ce circuit uR (t) i (t) R q (t) U C uC (t) U - uR (t) - uC (t) = O Suivant le sens de parcours donné : Nous obtenons donc la relation : U = uR (t) + uC (t)

Quelques relations utiles : uR (t) i (t) R q (t) U C uC (t) La loi d’Ohm aux bornes de la résistance : uR (t) = R.i (t)

Quelques relations utiles : uR (t) i (t) R q (t) U C uC (t) La charge du condensateur : q (t) = C.uC (t)

Quelques relations utiles : uR (t) i (t) R q (t) U C uC (t) L’intensité du courant électrique : i (t) =

U = uR (t) + uC (t) = + uC (t) i (t) U = uR (t) + uC (t) uR (t) = R.i (t) q (t) q (t) = C.uC (t) i (t) = = U = uR (t) + uC (t) = + uC (t) A t = O, la tension U prend la valeur E, l’équation différentielle devient : uC (t) + = E

1ère étape Rappel mathématique dy L’équation est de la forme : = a.y + b La solution s’écrit donc : y = K.e - Pour K, a et b Ici : La tension uc (t) s’écrit donc : dt a.t dt (t) du c = uC (t) + uC (t) = K.e + E

2ème étape Étude des conditions initiales La tension aux bornes du condensateur est nulle à l’instant initial donc uC (O) = O donc A + E = O Nous en déduisons la valeur de A = - E uC (t) = E.( 1 – e )

Étude de l’intensité du courant i (t) dt (t) du c i (t) = = C. uC (t) est de la forme uC (t) = E.(1 – e ) est donc de la forme = .e ) dt (t) du c dt (t) du c i (t) = e Sommaire