et les multipartis complets Solitaire Clobber 2… et les multipartis complets Dire que c est une invitation E. Duchêne, S. Gravier ERTé « Maths à modeler », Grenoble, FRANCE

Solitaire Clobber 2 2004: Demaine E., Demaine M., Fleischer « Solitaire Clobber », Theor. Comput. Sci. 313 2005: D., Gravier, Faria « Solitaire Clobber played on graphs», submitted in Theor. Comput. Sci. Des pierres noires et blanches sur les sommets d’un graphe (une par sommet) Un seul joueur Coup: choisir une pierre et « manger » une pierre adjacente de couleur différente Objectif: minimiser le nombre de pierres restantes. K=1 ? Comme au solitaire Valeur de réductibilité (d’une configuration) : nombre min. de pierres restantes. C est k-réductible : il existe une suite de coups qui laisse au plus k pierres.

Complexité du problème INSTANCE: Un graphe G avec une pierre (noire ou blanche) sur chaque sommet. Un entier positif k. QUESTION: Cette configuration est-elle k-réductible ? NP-complet en général Preuve: Réduction à Hamiltonian path pour k=1 We wonder whether we can reduce the configuration to at most k stones Hamiltonian path ? 1-reducible ?

Une famille plus « facile »: les bipartis Dire que les trucs 1-reductibles nous interessent PATHS TREES HYPERCUBES GRIDS

La Clé (sur les bipartis uniquement) Un invariant défini par Demaine et al. 8 7 6 δ = nombre de pierres + nombre de pierres « en opposition ». 4 (3+1) 5 3 δ (mod 3) est un invariant du jeu. Blanc Noir This result really helps us – redire que ça ne marche bien que sur les bipartis, est-ce qu’on peut dire des choses qd delata=1,2 Condition nécessaire pour qu’une configuration soit 1-réductible: δ mod 3 ≠ 0. Preuve: δ= 1 ou 2 à la fin.

Sur les grilles… En quoi est-ce que cette clé est utile ?

Une autre utilisation de la clé : SUR LES BIPARTIS COMPLETS REEXPLIQUER LA REGLE…dire qu’il y a bcp de chances que ce soit 1-reductible pcq bcp d aretes Result in 3 times

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. Cas 1: Km,m « bien coloré » m m m ≡ 1 (mod 3) δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. Ne pas s attarder, donner le resultat en jaune illico. Sorry for the next slides, which are not very exciting m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. Cas 1: Km,m « bien coloré » m m m ≡ 2 (mod 3) δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible m ≡ 2 (mod 3) : 1-réductible

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. Cas 1: Km,m « bien coloré » m m m ≡ 0 (mod 3) δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3. pas 1-réductible si m est un multiple de 3. m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible m ≡ 2 (mod 3) : 1-réductible m ≡ 0 (mod 3) : 2-réductible

δ = 2L1+3L2+4L3 ≡ 0 (mod 3) ssi L1 mod 3 = L3 mod 3 Cas 2: Km,m m m L1 L2 L3 δ = 2L1+3L2+4L3 ≡ 0 (mod 3) ssi L1 mod 3 = L3 mod 3 Dire qu apres le zigzag, on tombe dans un cas qu on sait faire si L1 mod 3 ≠ L3 mod 3, alors C est 1-réductible. si L1 mod 3 = L3 mod 3, alors C est 2-réductible.

Cas 3: Kn,m (n>m) n m 1 Ordonner le stable 1 avec des paires « blanc-noir » 2 Egaliser les tailles des stables (si possible) en jouant des paires « blanc-noir » 1 ou 2-réductible selon δ

3) Et s’il n’y a pas assez de paires « blanc-noir » ? m n m mb 4) Si L2<mb, alors 1 ou 2-réductible selon δ 5) Si L2 > mb-1… Dire qu’il faut que ce ne soit pas monochrome

Valeur de réductibilité = L2-mb+2 5) Si L2 > mb-1… L1 L2 m n m mb Valeur de réductibilité = L2-mb+2 Dire que c est le seul cas ou la v.r. peut etre tres grande. On a tjs cette difference entre l2 et mb, ce qui signifie qu on aura toujours ces pierres restantes qui ne disparaitront jms. La clé : f(C)= L2-mb ne décroit jamais au cours du jeu

Des bipartis… aux p-partis complets

Sur les p-partis complets (p>2) L’invariant δ n’est plus disponible… M1 M2 M3 M1, M2, M3…sont les stables de taille maximum.

Sur les p-partis complets (p>2) Théorème: s’il y a plusieurs stables de taille maximum, alors toute configuration de jeu est 1-réductible. L1 q Sinon… M1 m pierres Comment s’en sortir sans l’invariant ? et on raisonne comme sur les bipartis complets entre M1 et G\M1.

Conclusion Invariant général ? Sur les bipartis, on a des résultats (cycles, arbres, hypercubes…) Sur les non bipartis, les résultats sont rares… Invariant général ? Issu de la coloration…