Plan du cours sur le semestre Propagation 3MNT Plan du cours sur le semestre Propagation des OEM dans le vide Polarisation des OEM Propagation des OEM dans les milieux matériels Réflexion et réfraction des OEM Propagation guidée des OEM OEM : Ondes électromagnétiques

Propagation des OEM dans le vide Chapitre 1 Propagation des OEM dans le vide Bloc 1 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Introduction Généralités Caractéristiques des OEM : OEM : fin XIXème : Hertz, Maxwell, Michelson… Caractéristiques des OEM : Absence de support matériel pour la propagation Invariance de la vitesse de propagation (référentiel galiléen) Hypothèses des OEM étudiées dans ce chapitre 1 : Dans le vide Milieu illimité

Introduction Relation entre la longueur d’onde l et la fréquence f ? C : célérité des OEM dans le vide illimité C = 3,00 108 m.s-1

Spectre électromagnétique Visible 400 ; 800 nm

Propagation des OEM dans le vide Ch. 1 Propagation des OEM dans le vide Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1- Rappels sur les opérateurs 2- Expression des équations de Maxwell 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

1 – Equations de Maxwell dans le vide 1 - Rappels sur les opérateurs 4 opérateurs principaux : gradient divergence rotationnel laplacien

Opérateur gradient L ’opérateur s ’applique sur un scalaire est un vecteur Il traduit la variation d ’une grandeur dans l ’espace Il est orienté dans la direction et le sens de la plus forte variation croissante de cette grandeur Il est lié à la différentielle de f , quelque soit le système de coordonnées, par : Il est toujours orthogonal aux surfaces sur lesquelles f est constante

Exercice 1 Exprimer le champ électrique E au point M situé entre les armatures d’un condensateur plan en fonction de la différence de potentiel appliquée sur les armatures V1 V2 V1 > V2 . M

Voir corrigé : document démonstrations bloc 1 Exercice 1 Voir corrigé : document démonstrations bloc 1 V1 V2 V1 > V2 E Grad V x x1 x2

Opérateur gradient Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :

Opérateur gradient Ses composantes en coordonnées sphériques ?

Coordonnées sphériques ?... Coordonnées sphériques du point M (r, , ) Base vectorielle : y x z M    A  r = 0M r = 0A e er Tangent au méridien passant par M Animation 3D e Projection de M dans le plan équatorial

Opérateur gradient en coordonnées sphériques Cette expression n’est pas à savoir…

Exercice 2 En coordonnées sphériques, le vecteur A donné ci-dessous dérive-t-il d’un potentiel ? Si oui, l’exprimer sous la forme et déterminer la grandeur scalaire f . n et  sont positifs

Aide pour l’exercice 2 … La grandeur scalaire f existe-t-elle ? Si oui, de quelle(s) variable(s) dépend-t-elle ? Ecrire l’égalité vectorielle en coordonnées sphériques…. Et résoudre l’équation… A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

Produit scalaire de l’opérateur vectoriel gradient et du vecteur V Opérateur divergence Opérateur qui s ’applique sur un vecteur est un scalaire En coordonnées cartésiennes : Produit scalaire de l’opérateur vectoriel gradient et du vecteur V

Cette expression n’est pas à savoir… Opérateur divergence Son expression en coordonnées sphériques ? Cette expression n’est pas à savoir…

Coordonnées sphériques Exercice 3 En coordonnées sphériques, calculer div A y x z M    A  er a > 0 n > 1 Coordonnées sphériques A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

En savoir plus sur … l’opérateur divergence Opérateur dont l’existence est liée au flux par l’intermédiaire du théorème de Green-Ostrogradski Le flux du champ à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale triple de dans le volume délimité par S Flux de B à travers S

Théorème de Green-Ostrogradski Surface fermée ? Exemple : champ magnétique constant régnant dans un solénoïde B = 0 à l’extérieur du solénoïde Volume V du cylindre Surface S fermée : enveloppe du cylindre (paroi cylindrique+2 faces horizontales)

Coordonnées sphériques Exercice 4 Coordonnées sphériques y x z M    A  a > 0 n > 1 er Exprimer le flux de A à travers une sphère de rayon R, centrée en O. Calculer sa divergence dans le volume V de la sphère. Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Green – Ostrogradski A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

Opérateur rotationnel L ’opérateur s ’applique à un vecteur C ’est le produit vectoriel de l ’opérateur gradient avec le vecteur est un vecteur est toujours orthogonal au vecteur

Opérateur rotationnel Expression en coordonnées cartésiennes : Exprimer le produit vectoriel ….

Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées cartésiennes est :

Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées sphériques ? Cette expression n’est pas à savoir…

Coordonnées cylindriques x z M   A  er r=0A e Coordonnées cylindriques de M (r, , z) Base vectorielle : animation 3 D cyl... Ne pas confondre r et 

Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées cylindriques ? Cette expression n’est pas à savoir…

Exercice 5 Exprimer le rotationnel de B en coordonnées cylindriques. z M   A  er r=0A e Exprimer le rotationnel de B en coordonnées cylindriques. b > 0 n > 1 A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

En savoir plus sur … l’opérateur rotationnel Son existence est liée à la circulation du vecteur par l ’intermédiaire du théorème de Stokes La circulation du vecteur sur une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel à travers n ’importe quelle surface S s ’appuyant sur C Circulation du vecteur V le long de la courbe C Flux du rotationnel de V à travers S

Circonférence C entourant le disque de surface S Théorème de Stokes Circonférence C entourant le disque de surface S Disque de surface S

Coordonnées cylindriques Exercice 6 y x z M   A  Coordonnées cylindriques er r=0A e Déterminer la circulation de B sur un cercle de rayon R, d’axe (O,z). b > 0 n > 1 A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

Laplacien scalaire Il s ’applique sur un scalaire f Le laplacien de f (noté Df) est un scalaire Df est la divergence du gradient de f Expression en coordonnées cartésiennes :

Laplacien scalaire Expression en coordonnées sphériques Cette expression n’est pas à savoir…

Coordonnées sphériques Exercice 7 Calculer D (r n) Coordonnées sphériques y x z M    A  er A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

Laplacien vectoriel Il s’applique sur un vecteur Le laplacien vectoriel de (noté ) est un vecteur Ses composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de V

Laplacien vectoriel Expression en coordonnées cartésiennes :

Quelques relations importantes : Pour information : Document avec les principales relations sur dans les documents déposés sur la plateforme

Propagation des OEM dans le vide Chapitre 1 Propagation des OEM dans le vide Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1 – Rappels sur les opérateurs 2 – Expression des équations de Maxwell 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

1 – Equations de Maxwell dans le vide 2 - Expression des équations de Maxwell Dans le vide, le champ électromagnétique est décrit par le champ électrique et le champ magnétique Dans le vide, il n ’y a ni charges, ni courants Les constantes caractéristiques du vide sont : sa permittivité diélectrique sa perméabilité magnétique

1 – Equations de Maxwell dans le vide 2 - Expression des équations de Maxwell 4 équations postulées par Maxwell en 1864 2 équations dites « structurelles » définissent la structure du champ électromagnétique en reliant les champs 2 équations relient les champs aux sources de ces champs : leur expression dépend du milieu où règne le champ électromagnétique

2 équations structurelles : les 2 équations « structurelles » reliant les champs ont la même expression dans tous les milieux :

2 équations liant les champs aux sources Équation de Maxwell - Gauss : liant div E aux charges Équation de Maxwell - Ampère : liant rot B aux courants Dans le vide il n’y a pas de sources (ni charges, ni courants) : Équation de Maxwell - Gauss : Équation de Maxwell - Ampère :

1 – Equations de Maxwell dans le vide 2 - Expression des équations de Maxwell Equations locales Elles définissent le champ électromagnétique en un point M Vide : homogène, isotrope Équations valables en tout point du vide ou règne le champ

Théorème de Green-Ostrogradski Aller un peu plus loin…. Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à la relation : div = 0 Théorème de Green-Ostrogradski est un champ à flux conservatif Le flux algébrique total de B à travers la surface fermée S est nul : le flux entrant dans S compense le flux sortant

La surface étant la même, B est donc constant… Aller un peu plus loin…. S est la surface totale du cylindre, et n un vecteur unitaire, normal à S, orienté vers l ’extérieur de S Le flux radial de B à travers la paroi latérale cylindrique est nul (pourquoi ?....) Si B est parallèle à l ’axe du cylindre, le flux entrant par la face latérale gauche compense le flux sortant par la face droite La surface étant la même, B est donc constant…

Le champ électrique est à flux conservatif Aller un peu plus loin…. Le champ électrique est à flux conservatif dans le vide

Exercice 8 A l’aide de l’équation de Maxwell appropriée, déterminer l’expression du champ magnétique associé au champ E dont l’expression en coordonnées cartésiennes est : Représenter le champ électromagnétique en 0 et en un point M (x,y,z) quelconque au même instant. A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

Fin du 1er bloc.. ….Quizz …. Quizz1… Equations de Maxwell dans le vide