1 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 1 – Equation de propagation de B 1 – Equation de propagation de B 2 – Equation de propagation de E 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Chapitre 1 Bloc 2

2 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 1 équation pour E 1 équation pour B chaque équation relie les dérivées partielles par rapport aux coordonnées spatiales (x,y,z) aux dérivées partielles par rapport au temps (t)

3 1 - Equation de propagation de B 2 – Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide Méthode pour établir léquation de propagation : 1° - Exprimer les équations de Maxwell sur les rotationnels 2° - Exprimer rot(rot) à partir des propriétés des opérateurs 3° - Exprimer rot(rot) à partir des équations de Maxwell Pourquoi ?

4 équation de propagation du champ B 1 - Equation de propagation de B Pourquoi ? 3° - Exprimer rot(rot) à partir des équations de Maxwell

5 équation de propagation du champ 2 - Equation de propagation de E Même méthode

6 1 équation vectorielle3 équations scalaires En coordonnées cartésiennes :

7 Même équation de propagation dans le vide E et B se propagent de la même façon électromagnétique On parle de champ électromagnétique Types d OEM vérifiant cette équation : sphériques, planes,… 2 – Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide planes Etude des OEM planes Dans ce cours :

8 Rappeler lexpression du champ magnétique associé au champ E dont lexpression en coordonnées cartésiennes est : Etablir léquation de propagation et lexprimer en fonction de et. Exercice 1 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

9 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 1 - Définition dune onde plane 1 - Définition dune onde plane 2 - Onde plane progressive 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

10 3- Onde plane dans le vide Soit une onde caractérisée par le champ électromagnétique, se propageant dans la direction (0,z) Londe est plane si, à un instant donné t, en tous les points appartenant à un même plan P perpendiculaire à la direction de propagation, le champ électromagnétique a la même valeur 1 - Définition dune onde plane Le plan est appelé « plan donde » 0 z exex eyey ezez plan donde à linstant t plan donde 2 à linstant t Onde se propageant selon 0x

11 Conséquences : E est le même en tout point du plan donde à un instant donné 0 z exex eyey Plan déquation z = cste E ne dépend ni de x ni de y B ne dépend ni de x ni de y Idem pour E y, E z, B x, B y et B z 1 - Définition dune onde plane B est le même en tout point du plan donde à un instant donné

12 (dans le vide !) (onde plane se propageant selon z) Idem avec B transverses E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation (0z) : transverses E et B sont dans le plan donde, ne dépendent ni de x ni de y Ondes T.E.M. Dans le vide, les OP sont Transverses ElectroMagnétiques 1 - Définition dune onde plane E z = cste = 0 B z = cste = 0 E z ne dépend ni de x, ni de y, ni de z B z ne dépend ni de x, ni de y, ni de z Animation

13 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 1 - Définition dune onde plane 2 - Onde plane progressive 2 - Onde plane progressive 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

14 Cherchons une OP qui vérifie léquation de propagation des champs ? 2 - Onde plane progressive Résolution de léquation pour 2 composantes E x et E y (E z = 0) Mêmes équation pour B x et B y.

Onde plane progressive OP se propageant selon (0,z) E ne dépend ni de x ni de y Cherchons une solution générale de la forme : (z,t) = f(z-ct)+g(z+ct) Ou (z,t) = f(t-z/c)+g(t+z/c) Même équation pour E y, B x et B y.

Onde plane progressive : rappels Solution générale de la forme : (z,t) = f(z-ct)+g(z+ct) ou (z,t) = f(t-z/c)+g(t+z/c) f(z-ct)z croissants f(z-ct) est une onde progressive dans le sens des z croissants z z1z1 z2z2 À linstant t 1 le signal est en z 1 ; arrive en z 2 à linstant t 2 tel que f(z 1 -ct 1 )=f(z 2 -ct 2 ) z 1 -ct 1 = z 2 -ct 2 c(t 2 -t 1 ) = z 2 -z 1 t 1 -z 1 /c= t 2 -z 2 /c (t 1 -t 2 ) =(z 1 -z 2 )/c De la même façon : z 2 -z 1 est la distance parcourue par londe pendant lintervalle de temps (t 2 -t 1 ) La célérité est :

Onde plane progressive : rappels g(z+ct) g(z+ct) est une onde progressive dans le sens des z décroissants z z1z1 z2z2 À linstant t 1 : en z 1 et en z 2 à linstant t 2 tel que g(z 1 +ct 1 )=g(z 2 +ct 2 ) z 1 +ct 1 = z 2 +ct 2 z 1 -z 2 = c(t 2 -t 1 ) t 1 > t 2 z 2 > z 1 onde stationnaire onde progressiveonde progressive ; onde progressive bisonde progressive bis Onde progressive ou pas

18 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 4 - Onde plane progressive monochromatique 1 – Définition 1 – Définition 2 – Vitesse de phase 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

Onde Plane Progressive Monochromatique Cest une OPP de dépendance temporelle sinusoïdale Analyse de Fourier tout signal périodique peut être décomposé en une somme de composantes sinusoïdales de fréquence multiples (harmoniques de rang n) Linéarité des opérateurs, donc des équations de Maxwell détermination de la structure de toute OPP à partir de ses composantes sinusoïdales 1 - Définition dune OPPM Série de Fourier ?

20 Soit une OPP se propageant dans le vide dans le sens des z Transverse E z = B z = Définition dune OPPM E x,E y, B x, B y de la forme : E o.f(z-ct) ou E o.f(t-z/c) M OPPM E x = E mx.cos( t-z/c) - x ) E y, B x, B y de la même forme E y = E my.cos( (t-z/c) - y ) B x = B mx.cos( (t-z/c) - x ) B y = B my.cos( (t-z/c) - y ) Pourquoi ny a –t-il pas de terme en (t+z/c) ?

21 E x = E mx.cos( t-z/c) - x ) 1 - Définition dune OPPM : rappels Amplitude (V/m) pulsation (rad/s) Célérité de lOPPM dans le vide (m/s) Phase de E x à t = 0 et en z = 0 (rad) Phase de E x à linstant t et en z (rad) = c.T = c/f Longueur donde dans le vide (m)

Définition dune OPPM Longueur donde dans le vide (m) = c.T = c/f On définit le vecteur donde On définit le vecteur donde dans le vide : k o (rad/m) Orienté dans la direction et le sens de la propagation ( e z )

Définition dune OPPM E x = E mx.cos( (t-z/c) - x ) E x = E mx.cos( t - k o z - x ) E y = E my.cos( t - k o z - y ) Amplitude du champ E : Idem avec B

24 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 4 - Onde plane progressive monochromatique 1 – Définition 2 – Vitesse de phase 2 – Vitesse de phase 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

25 E x = E mx.cos( t-k o z - x ) 2 - Vitesse de phase (t, z) : Phase en z à linstant t Position des plans équiphases à linstant « t » ? 2 plans équiphases ont la même phase à un instant donné, quelque soit cet instant : (t, z) = Constante à t donné (z) = Cste z = Cste plans donde Distance entre 2 plans équiphases à linstant « t » : (t, z 1 ) = (t, z 2 ) t-k o z 1 = t-k o z 2 +2n k o (z z = 2n (z 2 - z 1 ) = 2n k o z 2 - z 1 = n o

26 E x = E mx.cos( t-k o z - x ) 2 - Vitesse de phase (t, z) : Phase en z à linstant t Vitesse de déplacement des plans équiphases : (t 1, z 1 ) = (t 2, z 2 ) (z) = Cste d = 0 dt-k o dz = 0 Vitesse de phase (m/s)

27 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 5 - Notation complexe des OEM 1 –Notation complexe des champs 1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

28 Soit une OPPM se propageant dans le vide selon la direction de k o et caractérisée par le champ électromagnétique (E, B) 5 - Notation complexe des OPPM 1 - Notation complexe des champs E M(x,y,z) koko Quel repère choisiriez-vous pour létude ?

29 Soit une OPPM se propageant dans le vide 1 - Notation complexe des champs E M(x,y,z) koko x y z 0 Un repère orthonormé direct situé sur les directions de E et k o Composantes de E dans ce repère ? Pourquoi E z = 0 ?

30 Soit une OPPM se propageant dans le vide 1 - Notation complexe des champs E M(x,y,z) koko x y z 0 Un repère orthonormé direct situé sur les directions de E et k o Composantes de E dans ce repère ? Pourquoi E y 0 ?

31 E M(x,y,z) koko x y z 0 Composantes du champ E au point M dans un repère quelconque (0x, 0y, 0z) : 1 - Notation complexe des champs

32 À E(M) on associe un champ E(M) complexe tel que : Partie réelle lamplitude complexe On définit lamplitude complexe telle que : ATTENTION AU SIGNE !!! 1 - Notation complexe des champs

33 Soit le champ magnétique ci-dessous : donner son expression en notation complexe, ainsi que son amplitude complexe. Quelle est sa direction de propagation ? Son sens ? Exercice 2

34 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 5 - Notation complexe des OEM 1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs 2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

Notation complexe des opérateurs 5 - Notation complexe des OPPM Dérivée par rapport au temps De façon générale

Notation complexe des opérateurs Gradient De la même façon :et De façon générale

Notation complexe des opérateurs Rotationnel

38 Laplacien vectoriel 2 - Notation complexe des opérateurs

39 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 5 - Notation complexe des OEM 1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell 3 – Notation complexe des équations de Maxwell 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

Notation complexe des équations de Maxwell dans le vide 5 - Notation complexe des OPPM

Notation complexe des équations de Maxwell dans le vide 5 - Notation complexe des OPPM Conséquences : Onde TEM Forme un trièdre direct

Notation complexe des équations de Maxwell 5 - Notation complexe des OPPM Forme un trièdre direct z koko E B k o et sont réels en phase B o = k o E o / = E o /c

43 Exercice 11 : Etablir léquation de propagation du champ électromagnétique en notation complexe Animation ?... Elle correspond à un cas particulier (polarisation rectiligne que nous étudierons plus tard) ; 1.Quelle propriété particulière des champs met-elle en évidence ? (non observée dans le cas général) 2.Les champs vibrent –ils en phase ou en quadrature de phase ? Visualiser lanimation suivante Aide ? Exprimer le champ et les équations de Maxwell en notation complexe. Utiliser la même méthode pour établir léquation de propagation que celle utilisée en notation réelle. Exercice 3

44 Rappeler lexpression complexe utilisée pour le champ B, ainsi que lexpression des équations de Maxwell en notation complexe. Etablir léquation de propagation du champ B en notation complexe, à partir des expressions ci-dessus. Aide ? Exercice 4 Utiliser la même méthode quen notation réelle.

45 A laide des équations de Maxwell sous forme complexe, donner lexpression complexe, puis lexpression réelle du champ électrique associé au champ magnétique B. Exercice 5 Vérification : indiquer la direction et le sens de propagation de B, puis sur un schéma, les vecteurs B, E et k o, et vérifier le trièdre direct.

46 Fin du bloc 2…. Quizz 2 Début du bloc 3…. Quizz…