Transformations discrètes et relation discret - continu Lyon, Juin 2006 Eric ANDRES Laboratoire SIC Signal – Image - Communications Université de Poitiers

Applications Quasi-Affines et relation discret-continu Les travaux présentés ce matin sont en grande partie ceux de Philippe Nehlig, Marie-Andrée DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour les transformations discret-continues). - Applications Quasi-Affines : transformations peu connues liées aux pavages, à des dynamiques intéressantes, à la compréhension de certains phénomènes calculatoires. - Transformation discret-continue : définir des opérations en utilisant les deux espaces discret et continu. - Mettre en place un cadre plus théorique pour parler des fondements de la géométrie discrète (changements déchelles, analyse non standard, aspect effectif des algorithmes) dans lidée daborder de définitions dopérations (par ex. les rotations par aqa) et détudier les propriétés.

Le discret : un monde bien étrange

Avec une intersection vide 2 droites discrètes orthogonales Le discret : un monde bien étrange

Relations Continu - Discret Il existe une relation « paramétrable » entre les deux

Relations Continu - Discret Taille des voxels diminue plus vite que lépaisseur de la droite naugmente

Relations Continu - Discret A la limite on obtient une droite continue

Relations Continu - Discret Continu Discret Objet A avec propriété 1,2,3, … Objet A 1 Avec prop 1,3,15, … Objet A k Avec prop k 1, k 2, k 3, …

Relations Continu - Discret Discrétisation et Reconstruction Classe déquivalence

Droite analytique discrète Equation analytique : Représentation en compréhension a,b entiers, a/b pente de la droite, épaisseur arithmétique, c constante de translation. J.-P. Reveillès (1991)

Propriétés x – 7y < < sup(|a|,|b|) droite non connexe des 1-tunnels 7 = sup(|a|,|b|) = 7 droite 8-connexe des 0-tunnels = |a|+|b| = 12 droite 4-connexe Plus de tunnels

Propriétés de la droite Prenons a/b = 5/17 et la suite y(x i ) = {ax i / b} xixi y(x i ) {ax i / b}

Propriétés de la droite c c c d c c d c c c d c c d c c d A tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L 1 …L b à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre L i vaut c si r(i)<r(i+1) et d sinon. Comme les deux dernières lettres valent tjs dc on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L 1 … L b-2 On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète. 5 / 17

Propriétés de la droite Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de = a/b avec 0< <1. Soit = [s,s 1, …, s n ] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots n, C n, d n

Propriétés de la droite Avec On a donc s=3, s 1 =2, s 2 =2 et n=2. Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c avec =c 2, c 1 =c 2 d, d 1 =c 3 d 1 =c 1 =c 2 d, c 2 =c 1 d 1 =c 2 dc 3 d, d 2 =c 1 2 d 1 =c 2 dc 2 dc 3 d 2 =c 2 =c 2 dc 3 d.

Propriétés de la droite Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c avec =c 2, c 1 =c 2 d, 1 =c 2 d, 2 =c 2 =c 2 dc 3 d. Soit au final Ch(5/17) = c 2 d.c 2 dc 3 d.c 2 d.c 2 Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c 3 d par L et c 2 d par C On retrouve un condensé du mot et surtout : L C L C C 5 / 17

Propriétés de la droite

Applications Quasi-Affines [Reveilles 1991] Definition : En général Avec la matriceet le vecteur

Application Quasi-Affine DiDi D' j F (i,j) F(x,y) =

Dynamique Si pour toutes les droites D m : ax+by [m,(m+1) [ et D n :cx+dy [n,(n+1) [ ont une intersection alors tous les arbres de lAQA ne sont pas bornés (chaque point à un antécédent). Les feuilles correspondent à des couples (n,m) de droites qui ne sintersectent pas.

Pavages Le pavé P 0,0 est égal à lintersection entre D 0 et D 0 A(2,2) appartient à lintersection de D 0 et D 1. Limage de A par lAQA est par conséquent (0,1). Def. Pavé P i,j = D i D j = F -1 (i,j)

Pavages Définition : 2 pavés sont arithmétiquement identiques si leurs premiers restes sont égaux pour chaque point des pavés. Propriété : des pavés arithmétiquement égaux sont géométriquement égaux (la réciproque est fausse).

Cas plus général : Nombre de pavés Le nombre de pavés différent à lordre 1 est égal à : Avec = ad-bc. Si = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent points.