L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances Expérience « biberons » Lancer d’un dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves Prolongements et conclusion Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Inspiration Nadine et Guy Brousseau, Ginger Warfield Classe de CM2 1973-1974 Fil rouge sur l’année scolaire Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Description de l’expérience Expérience « biberons » Description de l’expérience Composition Groupes Manipulations autorisées Consignes Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Rôle du professeur Consignes d’écriture Motivation Comparaison Productions Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Motivation Donner du sens à « 3 chances sur 5 » Approche « fréquentiste » Prise de risque Accès à une partie des représentations des élèves Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Copie 4 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Copie 8 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Copie 13 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Copie 1 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Copie 9 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Comparaison de procédures Expérience « biberons » Comparaison de procédures Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Cadre théorique Pour 5 tirages : nombre de boules noires tirées 1 2 3 4 5 probabilités 1% 8% 23% 35% 26% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 probabilités 1% 7% 18% 25% 24% 15% 2% 0,43% 0,05% 0,003% Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Cadre théorique Pour 20 tirages : nombre de boules noires 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 probabilité 1% 4% 7% 12% 16% 18% 17% 3% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Probabilité 1% 4% 11% 20% 25% 21% 12% 5% Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Cadre théorique Pour 50 tirages : 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 1% 2% 3% 4% 6% 8% 10% 11% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 5 6 7 8 9 10 probabilité 2% 8% 19% 30% 28% 12% Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Cadre théorique Pour 100 tirages : 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 6 7 8 9 10 probabilité 0,1% 1% 8% 32% 59% Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Cadre théorique 1000tirages de 10 s_ries de 5.xls Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Synthèse Expérience « biberons » Après 5 tirages Fréquence de boules noires Après 10 tirages Après 20 tirages Après 50 tirages G1 3B 2N 4B 6N 8B 12N 22B 28N G2 21B 29N G3 2B 3N 5B 5N G4 7B 3N 10B 10N G5 1B 4N 1B 9N 2B 18N 10B 40N G6 2B 3N 5B 5N 17B 33N G7 7B 13N G8 10B 10N 20B 30N G9 4B 6N 6B 14N G10 3B 8N G11 9B 11N 24B 26N G12 3B 7N 5B 15N 16B 34N G13 G14 4B 1N 8B 2N 11B 9N Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Synthèse Expérience « biberons » Finalement Fréquence d’apparition de N G1 69B 96N G2 86B 104N G3 48B 64N G4 50B 59N G5 35B 90N G6 32B 68N G7 36B 62N G8 31B 44N G9 29B 36N G10 44B 56N G11 46B 59N G12 30B 50N G13 62B 90N G14 39B 57N Total 634B 927N Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « biberons » Synthèse simulation biberon_.xls Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « lancer d’un dé » 1 2 3 4 5 6 Totaux LM 7 8 11 9 50 KG 10 LC 12 IP OE EH VLN 16 CM MH ML PM MW 14 CE 13 LB MN QM GN SL JS BB MA LK MT CGS QB OS NF 213 221 244 224 235 1350 Fréquences Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Expérience « lancer d’un dé » Simulation Simulation_un_d_.xls Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Cours Regard « fréquentiste » sur une expérience Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL Effectifs 8 13 7 10 50 Fréquences 0,16 0,26 0,14 0,04 0,20 Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL Effectifs 213 221 244 224 235 1350 Fréquences 0,158 0,164 0,181 0,166 0,174 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Cours Regard « probabiliste » et synthèse Regard « probabiliste » sur la même expérience   Le dé a 6 faces et chaque face a autant de chances de sortir que les autres : chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. On dit que la probabilité d’obtenir chaque face est égale à 1/6 Synthèse Plus le nombre de lancers augmente, plus il y a de chances que la fréquence d’apparition de chaque face se rapproche de 1/6 soit environ 16,7% Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Cours Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve Lancer d’un dé équilibré  Il y a 6 issues possibles. Les six issues sont équiprobables. On a 1 chance sur 6 d’obtenir « 1 » La probabilité d’obtenir « 1 » est 1/6 La somme des probabilités est égale à 1 : Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Cours Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve On tire une boule au hasard dans ce sac conteant 3 boules noires et deux boules blanches (comme le biberon) Il y a deux issues possibles : « B » et « N ». Elles ne sont pas équiprobables On a 3 chances sur 5 d’obtenir « N» La probabilité d’obtenir « N » est 3/5. La somme des probabilités est égale à 1: Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Première expérience Donner les issues possibles. Expérience à deux épreuves Première expérience Donner les issues possibles. Sont-elles équiprobables ? Pourquoi ? Observer une simulation de cette expérience. Que peut on conjecturer pour les probabilités de chaque issue ? Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Simulation Boulepi_ce.xls Confiance Comparaison de VF et VP Expérience à deux épreuves Simulation Boulepi_ce.xls Confiance Comparaison de VF et VP Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Représentations possibles Expérience à deux épreuves Représentation Représentations possibles Interprétations La représentation ci-contre permet de montrer qu’il y a 10 « chemins » possibles. On a colorié en gras les « chemins » conduisant à « VF ». Il y en a 3. La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à ou 0,3. Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Articulation avec le cours Expérience à deux épreuves Articulation avec le cours V F P 1/2 3/5 2/5 R Pour un grand nombre d’expériences : En moyenne, 3/5 d’entre elles donneront « Vert » pour le « tirage » de boules. Parmi ces dernières, en moyenne, la moitié d’entre elles donneront « Face » pour le lancer de pièce. Par conséquent, en moyenne, la moitié des 3/5 des expériences donneront « VF ». La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à : Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Expérience à deux épreuves Limites On lance une pièce parfaitement équilibrée. On note le motif de la face supérieure (P ou F) Si la pièce tombe sur Pile, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et deux boules rouges. Si la pièce tombe sur Face, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et une boule rouge. Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Autre représentation Expérience à deux épreuves Patron du dé d’Alice Patron du dé de Bertrand Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Autre représentation Expérience à deux épreuves Alice Bertrand 1 2 4 6 3 5 Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Prolongements et questions Fil rouge Exercices Evaluation Lycée Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège Bibliographie Guy Brousseau, Nadine Brousseau et Ginger Warfield (2002) :Une expérience de premier enseignement des statistiques et des probabilités. Joël Briand (2005) : Une expérience statistique et une première approche des lois du hasard au lycée par une confrontation avec une machine simple. Recherches en didactique des mathématiques, Volume 25, n°2   Arthur Engel(1975) : L’enseignement des probabilités et de la statistique. Editions Cedic. Comission Inter-IREM Statistiques et probabilités(2008) : Autour de la modélisation en probabilités. Presses universitaires de Franche-Comté Documents d’accompagnement des programmes(2008) : probabilités Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège