Projet effectué en collaboration avec Domtar, Windsor Détermination de la taille des lots : cas d’une production cyclique et d’une demande dynamique Projet effectué en collaboration avec Domtar, Windsor Équipe de projet : Hanen Bouchriha, post-doctorat en génie industriel Annie Larochelle, baccalauréat en génie mécanique Mustapha Ouhimmou, doctorant en Génie Industriel Dirigée par : Pr. Sophie D’Amours, Directrice de la recherche et de l’administration

Mise en situation

Le procédé de fabrication du papier

Le procédé de fabrication du papier Finition La machine à papier Entrepôt automatisé Coupeuse

Présentation générale du problème

Présentation du problème Doit-on produire tous les produits à tous les cycles ? Quelle quantité à produire de chaque produit à chaque cycle ? P1 Set-up P1 -P2 P2 Set-up P2 –P3 P3 Set-up P3 –P1 P1 Set-up P1 -P2 P2 Set-up P2 –P3 P3 … Set-up P3 –P1 Un cycle … Quelle est la longueur du cycle ?

Description du problème L’usine produit le papier sur 2 machines différentes, Une seule machine est considérée avec la possibilité d’avoir des stocks en aval. La machine fabrique trois types de papier (P1, P2 et P3). Les coûts et les temps de set-up dépendent de la séquence de production.

Les données sur les set-up La séquence normalement utilisée est P1-P2-P3 Nous connaissons les coûts de set-up seulement pour cette séquence P1 – P2 Coût : 30 tonnes P2 – P3 Coût : 20 tonnes P3 – P1 Coût : 20 tonnes  Calcul des temps de set-up pour chaque produit fonction de la cadence de production Calcul des coûts de set-up pour chaque produit et pour la séquence fixée au préalable fonction du coût de production unitaire

Description du problème La demande est dynamique et déterministe, La demande est regroupée par produit et par période (jour, semaine, mois, année), Les données sur la demande correspondent à celles des livraisons directes aux clients (les livraisons vers les entrepôts ne sont pas disponibles), La machine ne doit jamais s’arrêter (sauf pour les arrêts planifiés).

Les pratiques actuelles Exemple de la production sur près d’un mois P1 P2 P3 La séquence de production et la taille des lots semblerait suivre cette allure. Annie Larochelle à collecté les données qui correspondent aux dossiers de productions relatives à un mois de travail. Comme on peut le constater, la séquence n’est pas toujours respectée (( saut de P2, ou encore P1). De plus on remarque que des set-up sont faits pour produire des lots de petites tailles. Ceci devrait avoir un impact sur les coûts.

Objectif de l’étude Trouver la taille des lots et la durée du cycle optimum minimisant les coûts de set-up et d’entreposage.

Revue de la littérature

Caractérisation du problème Plusieurs produits, Un seul échelon, Demande dynamique et déterministe, Capacité finie. Single level, Capacitated, Multi-item lot Sizing Problem CLSP

Modélisation mathématique du CLSP  Complexité (NP complet [Florian et al., 80] [Trigeiro et al., 89])

Méthodes de résolution (Eppen et Martin, 87)(Barany et al., 84) (Eisenhut, 75)(Maes and Wassenhove, 88) (Dixon et Silver, 81)(Dogramaci et al., 81) (Kirca et Kökten, 94) (Thizy et Wassenhove, 85) (Trigeiro et al., 89) (Gelders et al., 86) (Dogramaci et al., 81)(Karni et Roll, 82) (Manne, 58) (Dzielinski et Gomory, 65) (Lasdon et Terjung, 71)

Exemple d’heuristique period by period [Eisenhut, 75] Définir la taille des lots en considérant une période à la fois de 1 à T, et ceci en se basant sur la satisfaction d’un critère de minimisation des coûts. Pour une période donnée, la demande future des produits est produite jusqu’à ce qu’il ne soit pas possible de réaliser des économies supplémentaires des coûts ou que la capacité de la période est totalement épuisée. Deux règles : Le choix des produits est effectué sur la base d’un indice de priorité qui dépend de l’heuristique proposée [Silver et Meal, 73] [Kirca et Kökten, 94]. La fabrication de la demande d’une période ne peut être fractionnée

Exemple d’heuristique Item by item [Kirca et Kökten, 94]

Lot sizing and scheduling with sequence dependent set-up problem

L’approche de Hasse et Kimms, 1996 Déterminer les séquences efficientes en se ramenant à un problème de voyageur de commerce Utiliser un programme linéaire mixte pour définir : Quelle séquence efficiente à utiliser pour chaque période ? La quantité de chaque produit à fabriquer ? Les niveaux de stock en fin de période ?

Limites des approches existantes Absence d’approche globale qui tient compte Caractère très variable dans le temps de la demande. Contrainte sur la séquence Séquence pré-etablie P 1 2 3 ...

Une première modélisation du problème

Approche proposée Étape 1 : Déterminer la longueur du cycle Hypothèses : Demande constante (moyenne annuelle) Étape 2 : Détermination du plan de production Demande dynamique Le cycle est fixe Étape 3 : Évaluation du plan de production Le cycle n’est pas fixe Borne supérieure sur les coûts Borne inférieure sur les coûts First, we determine the ideal cycle length by considering a stable and constant demand. Then, given the cycle length obtained at the first stage we consider one elementary period which corresponds to a production cycle in order to determine the size of batches to produce by considering the dynamic nature of the demand. At the second step, and by imposing a constraint on the production cycle, this will generate a solution with an upper bound on cost because we have to produce each product at each period even when there is no demand. At the third step, the constraint on cycle will be ignored and we we will generate the optimal sequences and batch sizes when there is no need to have a fixed order for the production of the various items and determine the optimal production planning. That will corresponds to the lower bound on costs. The gap between these two bounds will give indications on the quality of the planning obtained at step 2.

Source : Cours ‘’Systèmes Manufacturiers’’, M Fayez Boctor, 2003 Étape 1 Hypothèse : Demande continue, stable et connue. Objectif : Déterminer la durée d’un cycle moyen. Le coût total (Hax et Candea, 1984) Source : Cours ‘’Systèmes Manufacturiers’’, M Fayez Boctor, 2003

Impact de la variation des coûts d’entreposage 1 cycle / 2 semaines 1 cycle / semaine 1 cycle / 2 jours 1 cycle / jour Le cycle idéal est de 2 semaines pour des coûts d’entreposage réels et pour des coûts d’entreposage multipliés par 2 et par 4

Impact de la diminution des coûts de set-up Le cycle idéal est toujours de 2 semaines, sauf dans le cas d’une diminution de 75% des coûts de set-up.

Étape 2 Variables de décision : Fonction objectif : Horizon de planification : une année Cycle : 2 semaines/1 semaine Xi,t, Zi,t ? Ii,t-1 ? Ii,t ? Di,t Fonction objectif : Coût de production Coût de possession des stocks Coût de set-up

Contraintes : Sur le cycle Conservation du flux Respect des capacités de production " t État des stocks en fin de période " t,i Stock initial " i Quantités à produire " t,i Variables de décision " t,i

Détermination du plan de production Cycle de 2 semaines Avec Qmin = 10 rouleaux, cout d’inventaire = 4, et des stocks de début multipliés par 10

Ce gain représente 0.96 $ en coût total par tonne produite Comparaison des coûts Période de 2 semaines Avec Qmin = 10 rouleaux, cout d’inventaire = 4, et des stocks de début multipliés par 10 La suppression de la contrainte sur le cycle permet d’aboutir à un gain de 2.14% par rapport au coût de set-up et d’entreposage ( 261,305.00 $ par an ). Ce gain représente 0.96 $ en coût total par tonne produite

Comparaison des coûts Le gain potentiel en supprimant le cycle est de 5.49% en coût de set-up et de stockage (249,875.00 $), 0.85 $ en coût total par tonne produite

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les coûts 14.83% Avec les données rèels et des Qmin = 10 rouleaux et des st au debut de période qui correspondent à la demande moyenne pour chaque produit 7.52%

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les temps de set-up 28.66% Avec les données rèels et des Qmin = 10 rouleaux et des st au debut de période qui correspondent à la demande moyenne pour chaque produit 23.08%

Effet de la variation des coûts d’entreposage sur les coûts Période de 2 semaines

Effet de la variation de la quantité minimale à produire : Impact sur la taille des lots Période de 2 semaines Cas où le cycle est fixé à deux semaines

Leçons tirées Le cycle idéal est de 2 semaines La considération d’un cycle de 1 semaine entraîne un surcoût de 22.16% par rapport à un cycle de 2 semaines. Des économies (en coût et en temps) sont possibles en supprimant la contrainte sur le cycle 14.83% en coût de set-up et d’entreposage Le montant du gain est sensible à la précision sur les données relatives au coût des inventaires, au coût de set-up et à la taille minimale à produire. Plus les coûts d’entreposage sont importants, plus on a tendance à faire des set-up Faible écart entre les deux stratégies.

Une modélisation plus simple du problème

Une autre approche pour modéliser le problème

Les horizons de planification pour les produits intermédiaires et produits finis

Modélisation La notion de demande effective ` Calcul de la capacité nette par période

Le nouveau modèle

Perspectives Risques : Si le cycle obtenu est très grand impossibilité de satisfaire la demande à temps (la demande est livrée à la fin du cycle) Ne pas considérer la contrainte sur le cycle tout en maintenant une séquence fixe. Étendre l’étude dans le cas de plusieurs machines, tout en synchronisant les flux de production et les flux de transport (Projet de doctorat For@c de Nafee Rizk). Because of demand variability and if the cycle is too long we may be unable to satisfy demand when it occurs…With our mathematical model and according to the flow conservation constraint, total demand will be satisfied at the end of the cycle so we should investigate in the future to consider more precisely the variability of demand over a one cycle period and not to consider constraint on cycle but maintain a fixed sequence. Furtehermore, the same context is also studied in the Doctoral Project of Nafee Rizk where simultaneous planning of the production and distribution of several products is studied. Different transportation modes where considered between the company and its distribution centers. The different transportation modes may have different transportation lead times from the plant to its clients and their cost structure reflect economies of scale which may have may have a major impact on inventory planning and replenishment strategies at both the plant and its clients.