21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet1 Cours de graphes Quelques graphes particuliers.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet2 Les grandes lignes du cours Définitions de base Définitions de base Connexité Connexité Les plus courts chemins Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres, graphes particuliers Arbres, graphes particuliers Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Coloriage de graphes, graphes planaires Couplage Couplage Chemins dEuler et de Hamilton Chemins dEuler et de Hamilton Problèmes NP-complets Problèmes NP-complets

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet3 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet4 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet5 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : –Les ordinateurs à mémoire partagée !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet6 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : –Les ordinateurs à mémoire partagée ! MEMOIRE PROC PROC PROC RESEAU

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet7 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : –Les ordinateurs à mémoire partagée ! –Les ordinateurs à mémoires distribuées !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet8 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : –Les ordinateurs à mémoire partagée ! –Les ordinateurs à mémoires distribuées ! PROC PROC RESEAU MEMOIRE MEMOIRE

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet9 Critères sur les graphes Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : –Les ordinateurs à mémoire partagée ! –Les ordinateurs à mémoires distribuées ! PROC PROC RESEAU MEMOIRE MEMOIRE

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet10 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet11 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet12 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE Un premier saut...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet13 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE Un premier saut... suivi dun second !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet14 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels !Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet15 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels !Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels ! PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet16 Critères sur les graphes Il y a plusieurs modes dacheminement des données !Il y a plusieurs modes dacheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels !Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels ! PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC MEMOIRE

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet17 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet18 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet19 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet20 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! –Le degré des nœuds – le nombre de voisins ! –La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet21 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! –Le degré des nœuds – le nombre de voisins ! –La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet22 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! –Le diamètre du graphe ! –La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à lautre ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet23 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! –Le diamètre du graphe ! –La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à lautre ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau ! La bissection vaut 3 ici !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet24 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau ! –Est-ce que la structure du graphe est régulière ? –Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ? –Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet25 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau ! –Est-ce que la structure du graphe est régulière ? Un anneau (cycle) est régulier !Un anneau (cycle) est régulier ! Un graphe en « ligne » ne lest pas à cause des extrémités !Un graphe en « ligne » ne lest pas à cause des extrémités !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet26 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau ! –Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ? Ce graphe contient un anneau

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet27 Critères sur les graphes Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion !Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau dinterconnexion ! Des critères au niveau dun nœud !Des critères au niveau dun nœud ! Des critères physiques sur lensemble du réseau !Des critères physiques sur lensemble du réseau ! Des critères logiques sur lensemble du réseau !Des critères logiques sur lensemble du réseau ! –Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ? Ce graphe contient deux plus courts chemins :

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet28 Critères sur les graphes Le graphe idéal vérifie, entre autres :Le graphe idéal vérifie, entre autres : –Le degré de chaque sommet est moyen ! –Le graphe est de degré régulier ! –Le diamètre est petit ! –La bissection est grande ! –La structure du graphe est régulière ! –Il comporte lanneau et dautres graphes usuels comme sous-graphes ! –Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet29 Critères sur les graphes Le graphe idéal vérifie, entre autres :Le graphe idéal vérifie, entre autres : –Le degré de chaque sommet est moyen ! –Le graphe est de degré régulier ! –Le diamètre est petit ! –La bissection est grande ! –La structure du graphe est régulière ! –Il comporte lanneau et dautres graphes usuels comme sous-graphes ! –Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet30 Numérotation des nœuds Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ?Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ?

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet31 Numérotation des nœuds Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ?Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ? On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire.On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet32 Numérotation des nœuds Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ?Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ? On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire.On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire. Les numéros de l expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !Les numéros de l expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet33 Numérotation des nœuds Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ?Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et darrivée ? On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire.On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre lexpéditeur et le destinataire. Les numéros de l expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !Les numéros de l expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin ! Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc.Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet34 Le graphe en ligne L E G R A P H E E N L I G N E

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet35 Le graphe en ligne

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet36 Le graphe en ligne n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet37 Le graphe en ligne n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand. Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet38 Le graphe en ligne n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand. Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet39 Le graphe en ligne n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand. Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds ! –Nous ne pouvons pas plonger danneau, il ny a pas de plus courts chemins alternatifs,... !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet40 Le graphe en ligne n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand. Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds ! –Nous ne pouvons pas plonger danneau, il ny a pas de plus courts chemins alternatifs,... ! Cest très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 !Cest très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet41 Le graphe en anneau L E G R A P H E E N A N N E A U

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet42 Le graphe en anneau

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet43 Le graphe en anneau n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet44 Le graphe en anneau n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet45 Le graphe en anneau n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet46 Le graphe en anneau n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds ! –Nous pouvons y plonger un anneau, mais il ny a pas de plus courts chemins alternatifs,... !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet47 Le graphe en anneau n–2n–1 Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ).Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds ! –Nous pouvons y plonger un anneau, mais il ny a pas de plus courts chemins alternatifs,... ! Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et lutilité de la notion danneau !Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et lutilité de la notion danneau !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet48 Le produit de graphes L E P R O D U I T D E G R A P H E S

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet49 Le produit de graphes Soient deux graphes G et G !Soient deux graphes G et G !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet50 Le produit de graphes Soient deux graphes G et G !Soient deux graphes G et G ! Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe : –qui est composé de sommets numérotés ( i, j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G,

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet51 Le produit de graphes Soient deux graphes G et G !Soient deux graphes G et G ! Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe : –qui est composé de sommets numérotés ( i, j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G, –qui comporte une arête entre ( i, j ) et ( k, l ) ssi : i = k et ( j, l ) est une arête de G,i = k et ( j, l ) est une arête de G, j = l et ( i, k ) est une arête de G.j = l et ( i, k ) est une arête de G.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet52 Le produit de graphes

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet53 Le produit de graphes En construction !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet54 Le produit de graphes Le voilà !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet55 Le produit de graphes

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet56 Le produit de graphes En construction !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet57 Le produit de graphes Le voilà !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet58 La grille 2 - D L A G R I L L E 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet59 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet60 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet61 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet62 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m et bissection min ( n, m ) pour n*m nœuds ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet63 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m et bissection min ( n, m ) pour n*m nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs,... ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet64 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage :Routage : –Les sommets sont indexés par un couple ( i, j ) ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet65 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage :Routage : –Les sommets sont indexés par un couple ( i, j ) ! –Nous routons dabord sur lun des axes, ensuite lautre. La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet66 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage :Routage : –Les sommets sont indexés par un couple ( i, j ) ! –Nous routons dabord sur lun des axes, ensuite lautre. –Cela sappelle une « distance de Manhattan » ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet67 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage :Routage : –Les sommets sont indexés par un couple ( i, j ) ! –Nous routons dabord sur lun des axes, ensuite lautre. –Cela sappelle une « distance de Manhattan » ! –Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet68 Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage :Routage : –Les sommets sont indexés par un couple ( i, j ) ! –Nous routons dabord sur lun des axes, ensuite lautre. –Cela sappelle une « distance de Manhattan » ! –Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints ! La grille 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet69 Le tore 2–D L E T O R E 2 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet70 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Le tore 2–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet71 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Le tore 2–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet72 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Le tore 2–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet73 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Le tore 2–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet74 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n, m ) pour n*m nœuds ! Le tore 2–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet75 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n, m ) pour n*m nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! Le tore 2–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet76 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n, m ) / 2 pour n*m nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! Le tore 2–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet77 Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !Cest le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Dans lespace :Dans lespace : Le tore 2–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet78 La grille 3 - D L A G R I L L E 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet79 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! La grille 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet80 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! La grille 3 - D En construction...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet81 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! La grille 3 - D Le voilà !...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet82 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! La grille 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet83 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m, l ) si n = min ( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! La grille 3 - D La bissection est un plan de section qui coupe le moins de liens.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet84 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m, l ) si n = min ( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! La grille 3 - D La bissection est un plan de section qui coupe le moins de liens.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet85 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m, l ) si n = min ( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs,... ! La grille 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet86 Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en ligne de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! –Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m, l ) si n = min ( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs,... ! La grille 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet87 Le tore 3–D L E T O R E 3 - D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet88 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Le tore 3–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet89 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Le tore 3–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet90 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Le tore 3–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet91 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m, l ) si n = min( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! Le tore 3–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet92 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe : –Graphe de degré régulier, de structure régulière ! –Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m, l ) si n = min( n, m, l ) pour n*m*l nœuds ! –Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! Le tore 3–D Cest une grille avec les liens de rebouclage ! ! !...

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet93 Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement !Cest le produit de trois graphes en anneau de n, m et l éléments respectivement ! Dans lespace :Dans lespace : Le tore 3–D

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet94 Lhypercube L E G R A P H E H Y P E R C U B E

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet95 Lhypercube Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions : ( k, k,..., k ) ( k, k,..., k ) 12n

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet96 Lhypercube Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions : ( k, k,..., k ) ( k, k,..., k ) Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds : ( 2, 2,..., 2 ) ( 2, 2,..., 2 ) 12n

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet97 Lhypercube Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions : ( k, k,..., k ) ( k, k,..., k ) Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds : ( 2, 2,..., 2 ) ( 2, 2,..., 2 ) Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en anneau » ont le même voisinage :Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en anneau » ont le même voisinage : 12n

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet98 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet99 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! ! Lhypercube de dimension 1 ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet100 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! ! Lhypercube de dimension 1 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 0 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet101 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! ! Lhypercube de dimension 1 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 0 ! Lhypercube de dimension 2 ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet102 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! ! Lhypercube de dimension 1 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 0 ! Lhypercube de dimension 2 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 1 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet103 Lhypercube Lhypercube de dimension 0 ! ! ! Lhypercube de dimension 1 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 0 ! Lhypercube de dimension 2 ! ! ! Lhypercube de dimension 3 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 1 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet104 Lhypercube

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet105 Lhypercube Dimension 4 – en construction !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet106 Lhypercube Dimension 4 – en construction !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet107 Lhypercube Dimension 4 – le voilà !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet108 Lhypercube L E S P R O P R I E T E S D E L H Y P E R C U B E

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet109 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, n

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet110 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, n

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet111 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, –a un diamètre n et une bissection de 2, n n–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet112 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, –a un diamètre n et une bissection de 2, –permet dy plonger un anneau, n n–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet113 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, –a un diamètre n et une bissection de 2, –permet dy plonger un anneau, –possède un routage simple et intuitif, n n–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet114 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, –a un diamètre n et une bissection de 2, –permet dy plonger un anneau, –possède un routage simple et intuitif, –possède n plus courts chemins arêtes-disjoints. n n–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet115 Lhypercube Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n : –comporte 2 nœuds, –est régulier en structure et en degré qui vaut n, –a un diamètre n et une bissection de 2, –permet dy plonger un anneau, –possède un routage simple et intuitif, –possède n plus courts chemins arêtes-disjoints. n n–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet116 Lhypercube

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet117 Lhypercube A ce moment, nous avons pour n nœuds :A ce moment, nous avons pour n nœuds : –une dimension en log ( n ), –un degré en log ( n ), –un diamètre en log ( n ), –log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints, –une bissection de n / 2 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet118 La numérotation dans lhypercube L A N U M E R O T A T I O N D A N S L H Y P E R C U B E

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet119 La numérotation dans lhypercube La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet120 La numérotation dans lhypercube La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement. Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2.Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet121 La numérotation dans lhypercube La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement. Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2.Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2. Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n : –nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1,

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet122 La numérotation dans lhypercube La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement. Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2.Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2. Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n : –nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1, –pour lun des cubes nous préfixons les nœuds dun 0, –pour lautre cube, nous préfixons les nœuds dun 1,

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet123 La numérotation dans lhypercube La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement.La numérotation adéquate de lhypercube est essentielle à son fonctionnement. Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2.Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2. Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n : –nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1, –pour lun des cubes nous préfixons les nœuds dun 0, –pour lautre cube, nous préfixons les nœuds dun 1, –nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre de poids fort ( dimension n ) !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet124 La numérotation dans lhypercube

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet125 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet126 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet127 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet128 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement ! En décimal !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet129 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet130 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet131 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet132 La numérotation dans lhypercube Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons dun 0 ou dun 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement ! 0 En décimal !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet133 La numérotation dans lhypercube Les liens de dimension 3 ! dim 3 Leurs écritures décimales diffèrent de 4.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet134 La numérotation dans lhypercube Les liens de dimension 2 ! dim 2 dim 3 Leurs écritures décimales diffèrent de 2.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet135 La numérotation dans lhypercube Les liens de dimension 1 ! dim 2 dim 3 Leurs écritures décimales diffèrent de 1. dim 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet136 Lanneau comme sous-graphe L A N N E A U C O M M E S O U S – G R A P H E

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet137 Lanneau comme sous-graphe Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet138 Lanneau comme sous-graphe Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube. Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire.Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet139 Lanneau comme sous-graphe Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube. Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire.Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire. Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet140 Lanneau comme sous-graphe Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube. Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire.Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire. Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois. Cest le code de Gray :Cest le code de Gray : –Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet141 Lanneau comme sous-graphe Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube. Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire.Les nœuds voisins dans lhypercube ne diffèrent que dans une position binaire. Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois. Cest le code de Gray :Cest le code de Gray : –Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1. –Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n, il faut : –le code de Gray de longueur n préfixé de 0, –le code de Gray de longueur n pris dans lordre inverse et préfixé de 1.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet142 Lanneau comme sous-graphe

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet143 Lanneau comme sous-graphe

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet144 Lanneau comme sous-graphe

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet145 Lanneau comme sous-graphe

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet146 Les chemins arêtes-disjoints L E S C H E M I N S A R E T E S - D I S J O I N T S

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet147 Les chemins arêtes-disjoints Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet148 Les chemins arêtes-disjoints Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 2

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet149 Les chemins arêtes-disjoints Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 3

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet150 Les chemins arêtes-disjoints Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 3

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet151 Les chemins arêtes-disjoints Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 3

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet152 La diffusion dans lhypercube C O M M E N T D I F F U S E R E F F I C A C E M E N T ? ?

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet153 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet154 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet155 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet156 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Au début un seul nœud connaît la valeur v ! v

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet157 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 1 ils sont 2 à connaître v ! v v

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet158 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 2 ils sont 4 à connaître v ! v v v v

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet159 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 3 tous connaissent la valeur v ! v v v v v v v v

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet160 La diffusion dans lhypercube La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles.La diffusion dinformation est une opération fréquente lors de calculs parallèles. Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces.Lhypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 3 tous connaissent la valeur v ! v Pour n nœuds le temps est en log ( n ). v v v v v v v

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet161 La diffusion dans lhypercube De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet162 La diffusion dans lhypercube De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! Au début chaque nœud possède une valeur !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet163 La diffusion dans lhypercube De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! Après échange et sommation en dimension 1 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet164 La diffusion dans lhypercube De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! Après échange et sommation en dimension 2 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet165 La diffusion dans lhypercube De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! Après échange et sommation en dimension 3 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet166 La diffusion dans lhypercube

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet167 Le graphe de De Bruijn L E G R A P H E D E D E B R U I J N

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet168 Le graphe de De Bruijn Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet169 Le graphe de De Bruijn Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b.Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b. ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } 1di

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet170 Le graphe de De Bruijn Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b.Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b. ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes :Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes : –Il possède b nœuds. 1di d

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet171 Le graphe de De Bruijn Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b.Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b. ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes :Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes : –Il possède b nœuds. –Son diamètre vaut d. 1di d

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet172 Le graphe de De Bruijn Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b.Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b. ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } ( x,..., x ) avec x { 0,..., b–1 } Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes :Le graphe DB ( b, d ) a les caractéristiques suivantes : –Il possède b nœuds. –Son diamètre vaut d. –Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs entrants et b arcs sortants. 1di d

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet173 Le graphe de De Bruijn Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet174 Le graphe de De Bruijn Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables. Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 !Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet175 Le graphe de De Bruijn Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables. Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 !Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est : DB ( 6, 12 ) DB ( 6, 12 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet176 Le graphe de De Bruijn Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables. Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 !Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est : DB ( 6, 12 ) DB ( 6, 12 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet177 Le graphe de De Bruijn Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables. Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 !Soit lhypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est : DB ( 6, 12 ) DB ( 6, 12 ) DB ( 4, 10 ) est un graphe de degré 8 et de diamètre 10 ! Le nombre de nœuds est 4^10 = 2^20 =

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet178 Le graphe de De Bruijn Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) vont vers les nœuds vont vers les nœuds ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } 1 2 d2 d

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet179 Le graphe de De Bruijn Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) vont vers les nœuds vont vers les nœuds ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } 1 2 d2 d

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet180 Le graphe de De Bruijn Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) vont vers les nœuds vont vers les nœuds ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } Et donc, les b arcs entrants du nœudEt donc, les b arcs entrants du nœud ( x,..., x, x ) ( x,..., x, x ) proviennent des nœuds proviennent des nœuds ( y, x,..., x ) avec y { 0,..., b–1 } ( y, x,..., x ) avec y { 0,..., b–1 } 1 2 d2 d 1dd–1 1d–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet181 Le graphe de De Bruijn Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) vont vers les nœuds vont vers les nœuds ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } ( x,..., x, y ) avec y { 0,..., b–1 } Et donc, les b arcs entrants du nœudEt donc, les b arcs entrants du nœud ( x,..., x, x ) ( x,..., x, x ) proviennent des nœuds proviennent des nœuds ( y, x,..., x ) avec y { 0,..., b–1 } ( y, x,..., x ) avec y { 0,..., b–1 } 1 2 d2 d 1dd–1 1d–1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet182 Le graphe de De Bruijn Q U E L Q U E S E X E M P L E S

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet183 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet184 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet185 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet186 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet187 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet188 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet189 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet190 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet191 Le graphe de De Bruijn DB ( 2, 1 ) DB ( 2, 2 ) DB ( 2, 3 )

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet192 Le graphe de De Bruijn DB ( 3, 1 ) 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet193 Le graphe de De Bruijn DB ( 3, 1 ) 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet194 Le graphe de De Bruijn DB ( 3, 1 ) 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet195 Le graphe de De Bruijn DB ( 3, 1 ) 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet196 Le graphe de De Bruijn DB ( 3, 1 ) 1

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet197 Synthèse Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet198 m E r C i e T b O n N e J o U r N é E ! ! ! N o U b L i E z P a S d E p R é P a R e R v O s T D ! ! !