28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet1 Cours de graphes Les arbres et arborescences. Les arbres de recouvrement. Les arbres de recouvrement minimaux. Applications.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet2 Les grandes lignes du cours Définitions de base Définitions de base Connexité Connexité Les plus courts chemins Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Problèmes de flots Coloriage de graphes Coloriage de graphes Couplage Couplage Chemins dEuler et de Hamilton Chemins dEuler et de Hamilton Problèmes NP-complets Problèmes NP-complets

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet3 Les arbres Un arbre (non orienté) !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet4 Les arbres Un arbre (non orienté) ! Une arborescence (orientée) !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet5 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet6 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet7 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,... –Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel quil existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet8 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,... –Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel quil existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. Dabord, il ny a quune seule racine !Dabord, il ny a quune seule racine !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet9 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,... –Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel quil existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. Dabord, il ny a quune seule racine !Dabord, il ny a quune seule racine ! On na pas de chemins multiples,On na pas de chemins multiples, ni de circuits ! ni de circuits !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet10 Les arbres Définitions :Définitions : –Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,...Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger,... –Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel quil existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. Dabord, il ny a quune seule racine !Dabord, il ny a quune seule racine ! On na pas de chemins multiples,On na pas de chemins multiples, ni de circuits ! ni de circuits !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet11 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet12 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. –Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet13 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. –Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : –Par absurde, sil y avait des cycles... u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet14 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. –Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : –Par absurde, sil y avait des cycles... il y aurait plusieurs chemins, ce qui est contraire à lhypothèse ! u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet15 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. –Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. Déf 1 => Déf 2 : OK !Déf 1 => Déf 2 : OK ! Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 : –Par absurde, sil y avait plusieurs chemins... u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet16 Les arbres Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés : –Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. –Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. Déf 1 => Déf 2 : OK !Déf 1 => Déf 2 : OK ! Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 : –Par absurde, sil y avait plusieurs chemins... il y aurait des cycles, ce qui est contraire à lhypothèse ! u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet17 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet18 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Des définitions équivalentes basées sur la connexité !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet19 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Des définitions équivalentes basées sur la connexité ! Des définitions équivalentes basées sur labsence de cycles !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet20 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet21 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet22 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Définition : Un graphe est connexe, minimal sil est connexe et na pas plus darêtes quaucun autre graphe connexe !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet23 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe, minimal => connexe, sans cycles :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet24 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe, minimal => connexe, sans cycles : Par absurde ! Sil y avait des cycles, nous pourrions enlever une arête sans casser la connexité. Ceci est contraire à lhypothèse que le graphe est minimal !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet25 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet26 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet27 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => > Les implications que nous allons prouver !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet28 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Connexe, minimal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet29 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Connexe, minimal Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet30 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Connexe, minimal Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet31 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Connexe, minimal Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! - Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | - 1 autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes. autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet32 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Connexe, minimal Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! - Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | - 1 autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes. autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes. - Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet33 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet34 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet35 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques impliquent la connexité !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet36 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques impliquent la connexité ! - Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! ! pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet37 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques impliquent la connexité ! - Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! ! pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! ! - Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête ! Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins ! et a un sommet et une arête en moins !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet38 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes => => >

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet39 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet40 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet41 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet42 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Définition : Un graphe est sans cycles, maximal sil est sans cycles et na pas moins darêtes quaucun autre graphe sans cycles !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet43 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet44 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles : Par absurde ! Sil y était non connexe, nous pourrions ajouter une arête sans créer de cycle. Ceci est contraire à lhypothèse que le graphe est maximal !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet45 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet46 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet47 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => > Les implications que nous allons prouver !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet48 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Sans cycles, maximal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet49 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Sans cycles, maximal Prouvons que pour être sans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus ! | V | - 1 arêtes au plus !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet50 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Sans cycles, maximal Prouvons que pour être sans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus ! | V | - 1 arêtes au plus ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet51 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Sans cycles, maximal Prouvons que pour être sans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus ! | V | - 1 arêtes au plus ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet ! - Soit « u » un sommet de degré 1.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet52 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Sans cycles, maximal Prouvons que pour être sans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus ! | V | - 1 arêtes au plus ! Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet ! - Soit « u » un sommet de degré 1. - Les | V | - 1 autres sommets comportent au plus | V | - 2 arêtes.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet53 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => =>

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet54 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet55 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques interdisent les cycles ! interdisent les cycles !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet56 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques interdisent les cycles ! interdisent les cycles ! - Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! sommet « u » de degré 1 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet57 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques interdisent les cycles ! interdisent les cycles ! - Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! sommet « u » de degré 1 ! - Enlevez ce sommet et son arête !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet58 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes - Les chemins uniques interdisent les cycles ! interdisent les cycles ! - Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! sommet « u » de degré 1 ! - Enlevez ce sommet et son arête ! - Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins ! uniques et a un sommet et une arête en moins !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet59 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => => >

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet60 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet61 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Nous navons pas la connexité avec moins de | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet62 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Nous navons pas la connexité avec moins de | V | - 1 arêtes Nous navons pas labsence de cycles avec plus de | V | - 1 arêtes

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet63 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Nous navons pas la connexité avec moins de | V | - 1 arêtes... mais nous pouvons avoir des cycles ! avoir des cycles ! Nous navons pas labsence de cycles avec plus de | V | - 1 arêtes... mais nous pouvons ne pas avoir la connexité ! ne pas avoir la connexité !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet64 Les arbres Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes Sans cycles, maximal Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Nous navons pas la connexité avec moins de | V | - 1 arêtes... mais nous pouvons avoir des cycles ! avoir des cycles ! Nous navons pas labsence de cycles avec plus de | V | - 1 arêtes... mais nous pouvons ne pas avoir la connexité ! ne pas avoir la connexité !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet65 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet66 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet67 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet68 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet69 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! –Nous enlevons « u » et lunique arc ( x, u ) qui latteint !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet70 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! –Nous enlevons « u » et lunique arc ( x, u ) qui latteint ! –Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés ! u

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet71 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! –Nous enlevons « u » et lunique arc ( x, u ) qui latteint ! –Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés ! –Il en sera de même pour tout le graphe.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet72 Les arborescences Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit. –Elle possède | V | - 1 arcs. –Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. –Un sommet a un degré entrant nul. Preuve :Preuve : –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! –Nous enlevons « u » et larc ( x, u ) qui latteint ! –Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés ! –Il en sera de même pour tout le graphe.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet73 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet74 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet75 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet76 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine ! –Trivial sil ny a quun seul sommet !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet77 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine ! –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u, v ) en arc.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet78 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine ! –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u, v ) en arc. –Sans le lien ( u, v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet79 Les arborescences Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre ! –Il suffit de changer les arcs en arêtes. –Nous aurons | V | - 1 arêtes. –La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine ! –Trivial sil ny a quun seul sommet ! –Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u, v ) en arc. –Sans le lien ( u, v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet80 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet81 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre. –Nous préservons la connexité ! –Nous navons pas de cycles ! –Nous avons un nombre minimal darêtes ! –Larbre de recouvrement nest pas unique en général !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet82 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre. –Nous préservons la connexité ! –Nous navons pas de cycles ! –Nous avons un nombre minimal darêtes ! –Larbre de recouvrement nest pas unique en général !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet83 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre. –Nous préservons la connexité ! –Nous navons pas de cycles ! –Nous avons un nombre minimal darêtes ! –Larbre de recouvrement nest pas unique en général ! Un arbre de recouvrement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet84 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre. –Nous préservons la connexité ! –Nous navons pas de cycles ! –Nous avons un nombre minimal darêtes ! –Larbre de recouvrement nest pas unique en général ! Un arbre de recouvrement ! Un autre arbre de recouvrement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet85 Les arbres de recouvrement Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre.Un arbre de recouvrement dun graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété dêtre un arbre. –Nous préservons la connexité ! –Nous navons pas de cycles ! –Nous avons un nombre minimal darêtes ! –Larbre de recouvrement nest pas unique en général ! Un arbre de recouvrement ! Un autre arbre de recouvrement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet86 Les arbres de recouvrement Un arbre est connexe sans cycles ! Doù lalgorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! Doù lalgorithme : –Tant que le graphe contient un cycle : –Enlever une des arêtes du cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet87 Les arbres de recouvrement Un arbre est connexe sans cycles ! Doù lalgorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! Doù lalgorithme : –Tant que le graphe contient un cycle : –Enlever une des arêtes du cycle ! Complexité :Complexité : –Il faut enlever jusquà O ( | E | ) arêtes ! –Trouver un cycle est en O ( | E | ) ! –Doù O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) ! –Cest beaucoup ! ! !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet88 Les arbres de recouvrement Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet89 Les arbres de recouvrement Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles : –Choisir une arête ( u, v ) à supprimer !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet90 Les arbres de recouvrement Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles : –Choisir une arête ( u, v ) à supprimer ! –Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) : nous continuons avec le graphe sans ( u, v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u, v ) !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet91 Les arbres de recouvrement Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles : –Choisir une arête ( u, v ) à supprimer ! –Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) : nous continuons avec le graphe sans ( u, v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u, v ) ! –Si la suppression de ( u, v ) casse la connexité entre « u » et « v », alors : nous calculons les AR des composantes connexes de « u » et de « v »nous calculons les AR des composantes connexes de « u » et de « v » et nous réintroduisons larête ( u, v ) à la fin !et nous réintroduisons larête ( u, v ) à la fin !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet92 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet93 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet94 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v CC ( u ) CC ( v ) u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet95 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v CC ( u ) CC ( v ) Arbres de recouvrement ! u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet96 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v CC ( u ) CC ( v ) Arbre de recouvrement global ! u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet97 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v CC ( u ) CC ( v ) Arbre de recouvrement global ! u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet98 Les arbres de recouvrement La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité :La suppression de ( u, v ) ne casse pas la connexité : La suppression de ( u, v ) casse la connexité :La suppression de ( u, v ) casse la connexité : u v CC ( u ) CC ( v ) Arbre de recouvrement global ! u v Nous cassons un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet99 Y A - T - I L M I E U X ? ? ? Les arbres de recouvrement

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet100 Y A - T - I L M I E U X ? ? ? Les arbres de recouvrement

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet101 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet102 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». S V \ S

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet103 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». S V \ S A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet104 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : S V \ S A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet105 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : –nous en choisissons une, par exemple ( u, v ), et S V \ S uv A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet106 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : –nous en choisissons une, par exemple ( u, v ), et S V \ S uv A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet107 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : –nous en choisissons une, par exemple ( u, v ), et A < - A v { ( u, v ) } et S < - S v { v } A < - A v { ( u, v ) } et S < - S v { v } S V \ S uv A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet108 Les arbres de recouvrement A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons :A un moment du déroulement de lalgorithme, nous avons : –un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités –et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : –nous en choisissons une, par exemple ( u, v ), et A < - A v { ( u, v ) } et S < - S v { v } A < - A v { ( u, v ) } et S < - S v { v } S V \ S uv A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet109 Les arbres de recouvrement Linitialisation :Linitialisation : –Nous choisissons un sommet « u » au hasard : S < - { u } et A < - { } S < - { u } et A < - { }

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet110 Les arbres de recouvrement Linitialisation :Linitialisation : –Nous choisissons un sommet « u » au hasard : S < - { u } et A < - { } S < - { u } et A < - { } Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête : –Comme nous garantissons la connexité, cest un arbre !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet111 Les arbres de recouvrement Linitialisation :Linitialisation : –Nous choisissons un sommet « u » au hasard : S < - { u } et A < - { } S < - { u } et A < - { } Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête : –Comme nous garantissons la connexité, cest un arbre ! Lorsque S = E, nous avons notre arbre de recouvrement !Lorsque S = E, nous avons notre arbre de recouvrement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet112 Les arbres de recouvrement Linitialisation :Linitialisation : –Nous choisissons un sommet « u » au hasard : S < - { u } et A < - { } S < - { u } et A < - { } Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête : –Comme nous garantissons la connexité, cest un arbre ! Lorsque S = E, nous avons notre arbre de recouvrement !Lorsque S = E, nous avons notre arbre de recouvrement ! La complexité est en ( | V | ), car nous devons choisir | V | - 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons !La complexité est en ( | V | ), car nous devons choisir | V | - 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet113 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet114 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet115 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal Un arbre de recouvrement de poids 53 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet116 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal Un arbre de recouvrement de poids 53 ! Un arbre de recouvrement de poids 35 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet117 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal. Lalgorithme de Prim !Lalgorithme de Prim ! Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! Un arbre de recouvrement de poids 53 ! Un arbre de recouvrement de poids 35 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet118 Arbres de recouvrement minimaux Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal. Lalgorithme de Prim !Lalgorithme de Prim ! Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! Un arbre de recouvrement de poids 53 ! Un arbre de recouvrement de poids 35 ! Larbre de recouvrement minimal sera abrégé en ARM !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet119 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { }

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet120 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { } Le cas général :Le cas général : –Les sommets de « S » sont traités et admettent lARM « A » ! S V \ S

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet121 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { } Le cas général :Le cas général : –Les sommets de « S » sont traités et admettent lARM « A » ! LARM : A S V \ S

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet122 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { } Le cas général :Le cas général : –Les sommets de « S » sont traités et admettent lARM « A » ! Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S :Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S : S V \ S LARM : A

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet123 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { } Le cas général :Le cas général : –Les sommets de « S » sont traités et admettent lARM « A » ! Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S :Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S : –Trouvez larête ( u, v ) de poids minimal et S V \ S LARM : A u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet124 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Prim :Lalgorithme de Prim : –Nous choisissons un sommet « u » : S < - { u } et A < - { } Le cas général :Le cas général : –Les sommets de « S » sont traités et admettent lARM « A » ! Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S :Parmi les arêtes ( x, y ) avec x dans S et y dans V \ S : –Trouvez larête ( u, v ) de poids minimal et S < - S v { v } et A < - A v { ( u, v ) } S < - S v { v } et A < - A v { ( u, v ) } S V \ S LARM : A u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet125 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet126 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet127 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet128 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet129 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet130 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet131 Arbres de recouvrement minimaux Un exemple :Un exemple :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet132 Arbres de recouvrement minimaux Complexité :Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet133 Arbres de recouvrement minimaux Complexité :Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) Il y a | V | - 1 arêtes à choisir !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet134 Arbres de recouvrement minimaux Complexité :Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) Il y a | V | - 1 arêtes à choisir ! Lorsque nous traitons « v », il peut y avoir jusquà D ( v ) nouvelles arêtes avec une extrémité dans « S » et lautre dans « V \ S » !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet135 Arbres de recouvrement minimaux Complexité :Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) Il y a | V | - 1 arêtes à choisir ! Lorsque nous traitons « v », il peut y avoir jusquà D ( v ) nouvelles arêtes avec une extrémité dans « S » et lautre dans « V \ S » ! Recherche par dichotomie, etc, parmi | V | * D ( G ) éléments !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet136 Arbres de recouvrement minimaux Complexité :Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) Il y a | V | - 1 arêtes à choisir ! Lorsque nous traitons « v », il peut y avoir jusquà D ( v ) nouvelles arêtes avec une extrémité dans « S » et lautre dans « V \ S » ! Recherche par dichotomie, etc, parmi | V | * D ( G ) éléments ! Nous pouvons préciser en : O ( | E | * log ( | E | ) )

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet137 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet138 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet139 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! u v

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet140 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! –Il doit y avoir dans lARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x, y ) qui est au moins aussi lourde que ( u, v ) ! u v x y

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet141 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! –Il doit y avoir dans lARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x, y ) qui est au moins aussi lourde que ( u, v ) ! –Nous pouvons enlever ( x, y ) et la remplacer par ( u, v ) ! u v x y

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet142 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! –Il doit y avoir dans lARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x, y ) qui est au moins aussi lourde que ( u, v ) ! –Nous pouvons enlever ( x, y ) et la remplacer par ( u, v ) ! Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse.Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet143 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! –Il doit y avoir dans lARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x, y ) qui est au moins aussi lourde que ( u, v ) ! –Nous pouvons enlever ( x, y ) et la remplacer par ( u, v ) ! Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse.Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse. Si les arêtes ( u, v ) et ( x, y ) ont le même poids, le choix de ( u, v ) à la place de ( x, y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !Si les arêtes ( u, v ) et ( x, y ) ont le même poids, le choix de ( u, v ) à la place de ( x, y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet144 Arbres de recouvrement minimaux Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde : –Supposons que le choix de larête minimale ( u, v ) ne soit pas le bon choix, mais quil aurait fallu choisir une autre arête ! –LARM ne comporte pas ( u, v ) ! ! ! –Il doit y avoir dans lARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x, y ) qui est au moins aussi lourde que ( u, v ) ! –Nous pouvons enlever ( x, y ) et la remplacer par ( u, v ) ! Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse.Si le poids de ( u, v ) est strictement plus petit que celui de ( x, y ), nous avons une contradiction avec le fait lARM est minimal par hypothèse. Si les arêtes ( u, v ) et ( x, y ) ont le même poids, le choix de ( u, v ) à la place de ( x, y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !Si les arêtes ( u, v ) et ( x, y ) ont le même poids, le choix de ( u, v ) à la place de ( x, y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet145 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet146 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet147 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes,

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet148 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première )

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet149 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet150 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet151 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 –

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet152 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 5 }, { 6 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 0

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet153 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2 }, { 3 }, { 4 }, { 5 }, { 6 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 5

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet154 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4 }, { 3 }, { 5 }, { 6 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 12

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet155 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4 }, { 3 }, { 5 }, { 6 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 12

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet156 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4 }, { 3, 5 }, { 6 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 24

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet157 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4, 6 }, { 3, 5 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 39

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet158 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4, 6, 3, 5 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 56

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet159 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4, 6, 3, 5 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 56

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet160 Arbres de recouvrement minimaux Lalgorithme de Kruskal !Lalgorithme de Kruskal ! –Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! –Nous choisissons | V | - 1 arêtes, –en commençant par larête la plus légère ( la première ) –... à moins que ceci ne crée un cycle ! Les composantes connexes : { 1, 2, 4, 6, 3, 5 } 27 1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 Poids : 56

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet161 Arbres de recouvrement minimaux Synthèse :Synthèse : –Larbre de recouvrement en ( | V | ) ! –Larbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | E | ) ) !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet162 Arbres de recouvrement minimaux Synthèse :Synthèse : –Larbre de recouvrement en ( | V | ) ! –Larbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | E | ) ) ! Pour les graphes orientés :Pour les graphes orientés : –... en travaux dirigés !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet163 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet164 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet165 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Leslignes envisagées !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet166 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Leslignes envisagées ! Les devis !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet167 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Leslignes envisagées ! Les devis !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet168 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Nice Toulouse Leslignes envisagées ! Les devis ! LARM coûte 670 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet169 Applications Réalisation dun réseau de communication :Réalisation dun réseau de communication : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Nice Toulouse Leslignes envisagées ! Les devis !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet170 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet171 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet172 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet173 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Lesparcours envisagés !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet174 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet175 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Les distances ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 670 !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet176 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1340 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet177 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1340 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet178 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1260 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet179 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1260 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet180 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1190 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet181 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1190 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet182 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1130 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet183 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1150 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet184 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 1090 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet185 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 980 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet186 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Lesparcours envisagés ! Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 980 ! Les distances !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet187 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 980 ! 180 Le circuit retenu !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet188 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 980 ! 180 Le circuit retenu !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet189 Applications Réalisation dun circuit de voyageur de commerce :Réalisation dun circuit de voyageur de commerce : Paris Rennes Bordeaux Nancy Lyon Marseille Nice Toulouse Coût 980 ! 180 Le circuit retenu !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet190 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet191 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement !

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet192 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement ! Goulot : 8

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet193 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement ! Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible ! Goulot : 8

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet194 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement ! Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible ! Goulot : 8 Le goulot le plus large : 10

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet195 Variantes darbres de recouvrement Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement :Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme larbre de recouvrement goulot détranglement : –Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons ! –Larête la plus légère est le goulot détranglement ! Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !Nous pouvons maximiser sur lensemble des AR-GE et chercher larbre pour lequel le goulot est aussi large que possible ! Goulot : 8 Le goulot le plus large : 10

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet196 Synthèse Les arbres et arborescences. Les arbres de recouvrement. Les arbres de recouvrement minimaux. Applications.

28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet197 m E r C i e T O n N e J o U r N é E ! ! ! O n N e J o U r N é E ! ! ! o U b L i E z P a S d E o U b L i E z P a S d E p R é P a R e R v O s T D ! ! !