unité #4 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione

Matrice symétrique définie positive Hermitienne : AH = A Symétrique : AT = A Définie positive : Exemple :

Matrice symétrique définie positive Hermitienne : AH = A Symétrique : AT = A Définie positive : Exemple :

Matrice symétrique définie positive Hermitienne : AH = A Symétrique : AT = A Définie positive :

Matrice symétrique définie positive Hermitienne : AH = A Symétrique : AT = A Définie positive :

Propriétés des matrices définies positives A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière aii > 0 pour i = 1, … , n Théorème :

Propriétés des matrices définies positives A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière aii > 0 pour i = 1, … , n Théorème :

Propriétés des matrices définies positives Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i k = k Les n sous-matrices k sont définies positives et donc inversibles. Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

Propriétés des matrices définies positives Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n hermitienne strictement définie positive Alors : ses valeurs propres sont réelles et positives et ses vecteurs propres sont orthogonales

Élimination symétrique de Gauss

Élimination symétrique de Gauss

Factorisation de Cholesky Si A est une matrice hermitienne définie positive, il existe une unique factorisation de Cholesky.

Factorisation de Cholesky

Stabilité de la factorisation de Cholesky The factors R can never grow large. In the 2-norm, e.g., The stability is achieved without the need for any pivoting. Intuitively, it is related to the fact that most of the weight of a hermitian positive definite matrix is on the diagonal.

Factorisation de Cholesky (à partir de Doolittle) première colonne de B i-ème colonne de B

Solution de A x = b The solution of hermitian positive definite systems A x = b via Cholesky factorization is backward stable :

Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) v Pv null(P) range(P) Pv-v direction de projection

Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) range(I-P) v Pv null(P) range(P) Pv-v null(I-P)

Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) range(I-P) v Pv null(P) range(P) Pv-v null(I-P)

Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) range(I-P) v Pv null(P) range(P) Pv-v null(I-P) P is the projector onto S1 along S2

Projecteurs orthogonaux S1 et S2 sont orthogonaux Un projecteur P est orthogonal ssi P = PH v range(P) Pv Pv-v

Projecteurs orthogonaux S1 et S2 sont orthogonaux Un projecteur P est orthogonal ssi P = PH PQ = q1 … qn

Projecteurs orthogonaux m

Projecteurs orthogonaux m

Projection avec une base arbitraire

= Factorisation QR Espaces colonnes … rnn   r22 r11 r12 r1n q1 q2 qn … rnn   r22 r11 r12 r1n q1 q2 qn a1 a2 an reduced QR factorization orthonormalisation de Gram-Schmidt

= Factorisation QR a1 … a2 an r11 r12 … r1n q1 q2 … qn qm … r22 …   r22 …    = … rnn … reduced QR factorization full QR factorization orthonormalisation de Householder orthonormalisation de Gram-Schmidt

Solution de A x = b par factorisation QR Il est si facile de résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement »  inversible et R triangulaire 1. Compute a QR factorization A = Q R 2. Compute y = QH b 3. Solve R x = y for x

Othogonal triangularization (Householder) Alston Householder

Othogonal triangularization (Householder) The matrix Qk is chosen to introduce zeros below the diagonal in the kth column while preserving all the zeros previously introduced. It operates on rows 1, … , m.

Othogonal triangularization (Householder) k-ème ligne x k-ème colonne

Othogonal triangularization (Householder) F x

Othogonal triangularization (Householder) x v hyperplane

Othogonal triangularization (Householder) x v

Othogonal triangularization (Householder) real case x cancellation error H -

Factorisation QR de Householder

Factorisation QR de Householder four times the volume

Factorisation QR de Householder

Stabilité de la factorisation de Householder twenty digits of accuracy have been lost ! accurate to a full fifteen digits ! The errors in Q2 and R2 are forward errors. In general, a large forward error can be the result of an ill-conditioned problem or an unstable algorithm (here the former). As a rule, the sequence of column spaces of a random triangular matrix are exceedingly ill-conditioned as a function of the entries of the matrix. The error in Q2 R2 is the backward error or residual.

Stabilité de la factorisation de Householder La factorisation QR de Householder est backward stable

Stabilité de la solution QR de A x = b 1. Compute a QR factorization A = Q R BS 2. Compute y = QH b BS 3. Solve R x = y for x BS BS

Stabilité de la solution QR de A x = b BS

Stabilité de la solution QR de A x = b accuracy BS

FINE