Université Montpellier II Matériaux. _____ René Motro Université Montpellier II

Galilée : traction sur des fils métalliques Introduction Galilée : traction sur des fils métalliques Hooke : élasticité linéaire Young : module de déformation longitudinale « E » Poisson module transversal « n » Cauchy contraintes « s » et déformations relatives « e » n normale à dS au point P dF effort supporté par dS au point P dS Figure 1

Cas d’un essai de traction: 1 Caractérisation des matériaux Figure 2 Cas d’un essai de traction: déplacement déformation absolue Dl déformation relative e = Dl/lo (lo distance initiale entre A et B) Valeurs acceptables 3,5 pour mille (béton) 10 pour mille (acier pour béton armé) DEFORMATION

1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1Composition Matériaux homogènes : même composition en tous points. Problème d’échelle et de modélisation (voir le béton) Matériaux hétérogènes : plusieurs composants différents (béton + acier pour le béton armé) Matériaux composites : matrice + renfort (ferro ciment = pâte de ciment + paillettes d’acier)

Matériaux composites Figure 3 1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1 Composition Matériaux composites Figure 3

Caractéristiques des matériaux 1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.2 Propriétés mécaniques Figure 4 Caractéristiques des matériaux isotropie, anisotropie homogénéité, hétérogénéité ---- Bois anisotrope Textile orthotrope

1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement Les essais sollicitations simples (traction, compression, cisaillement) dureté fatigue fluage relaxation ------- Figure 5

Exemple de loi de comportement (acier doux) 1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.1 Essais unidirectionnels Exemple de loi de comportement (acier doux) OA comportement élastique linéaire AE écoulement plastique : si on supprime l’action au point B, le retour se fait selon BC OC est la déformation rémanente LOI DE COMPORTEMENT Figure 6

Loi de comportement expérimentale Modélisation réglementaire 1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.2 Modélisation Loi de comportement expérimentale Modélisation réglementaire Figure 7

s = E. Dl/lo = E.e (loi de Hooke) 1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples Elasticité linéaire E module de déformation longitudinale (module d’Young) LOI DE COMPORTEMENT s = E. Dl/lo = E.e (loi de Hooke) Figure 8

Elasticité Linéarité Figure 9 1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples Elasticité Linéarité LOI DE COMPORTEMENT Figure 9

s s e e s s e e Loi de comportement Elasto plastique 1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples s e Loi de comportement s e Elasto plastique s e Parabole rectangle s e Plastique parfait Figure 10

La valeur de calcul est définie par 1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais Les valeurs caractéristiques sont transformées en valeurs de calcul ou de dimensionnement par des coefficients de pondérations : gm pour les matériaux, gF pour les actions La valeur de calcul est définie par

gm dépend de plusieurs facteurs : 1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais gm dépend de plusieurs facteurs : État limite considéré (ELS,ELU) Types d’actions appliquées Sollicitations Pour l’acier de béton armé par exemple Pour le béton la contrainte de calcul est donnée par

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT

La démarche à respecter est la suivante : 2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT L’objectif est de déterminer la « résistance d’une section » (en flexion on cherche le moment fléchissant correspondant à cette résistance) La démarche à respecter est la suivante : Diagramme des déformations relatives dans la section (hypothèse de Navier Bernouilli) Diagramme des contraintes dans la section (combinaison des déformations et de la loi de comportement) Détermination de l’effort de compression : intensité (volume du diagramme des contraintes), position (support passe par le centre de gravité du diagramme des contraintes) Calcul du moment équilibré (moment du couple compression traction)

z’ z’ h e (Hypothèse de planéité des sections – Navier Bernoulli) 2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.1 Déformations relatives longitudinales z’ G h z’ e (Hypothèse de planéité des sections – Navier Bernoulli) Figure 11

z’ e z’ e z’ e Compression ou Traction simples Flexion simple 2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.1 Déformations relatives longitudinales z’ e z’ e z’ e Compression ou Traction simples Flexion simple Flexion composée Figure 12

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.2 Répartition des contraintes normales

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.3 Effort normal associé aux contraintes On peut calculer l’effort normal associé aux contraintes de compression z’ s Gc Direction perpendiculaire à la section Sens de la compression Intensité : volume du diagramme des contraintes (pour les sections de largeur constante « b » : b x surface du diagramme des contraintes ) Support : la force passe par le centre de gravité du diagramme des contraintes (pour les sections de largeur constante, il faut déterminer le cdg du diagramme des contraintes) Figure 13 Rappel : utiliser les moments statiques pour calculer la position du cdg

z’ dz’ y’ G b z’ s dz’ G Figure 14 2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.4 Effort normal associé aux contraintes z’ dz’ y’ G b z’ s dz’ G Figure 14

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.5 Exemples 2.4 Effort normal associé aux contraintes z’ s dz’ G Si Gc est le centre de gravité du diagramme des contraintes, on peut calculer sa côte z’, avec les moments statiques (pris par exemple par rapport à Gs’)

Cas d’une section rectangulaire en flexion simple. 2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés 2.5 Exemples Exemple 1 Cas d’une section rectangulaire en flexion simple. b = 20 cm, h = 42 cm Loi de comportement linéaire E = 40 000 MPa Déformation relative maximale e =0,5x10-3 Exemple 2 Cas d’une section rectangulaire en flexion simple. b = 20 cm, h = 40 cm Loi de comportement élasto plastique E = 200 000 MPa, fe = 400 MPa Déformation relative maximale e =4x10-3

s e Exemple du cas de l’acier Elasto plastique 3 Calcul élastique, calcul plastique 3.1 Introduction Exemple du cas de l’acier s e Elasto plastique

z’ z’ h s Figure 15 3 Calcul élastique, calcul plastique 3.2 Modules de flexion 3.2.1 Module de flexion élastique Wel z’ s z’ G h Y’ Figure 15

z’ s fy Fcompression Gc G fy Gt Ftraction 3 Calcul élastique, calcul plastique 3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl z’ s fy Fcompression Gc G fy Gt Ftraction La section est totalement plastifiée : on parle de rotule plastique

z’ s A aire totale de la section 3 Calcul élastique, calcul plastique 3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl z’ s F A aire totale de la section Recherche du centre de gravité Gc de la partie comprimée. Utilisation des moments statiques

3 Calcul élastique, calcul plastique 3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl