Calcul et numération Quelques points clés M France Vespier Conseillère pédagogique option E.P.S.

Quelles connaissances en jeu dans le calcul commun ? Les fondamentaux de la numération Jeux de doigts Vers le calcul

Effectuez le produit 285 par 32 Plusieurs façons Le « 0 » dans le produit partiel possible. 285 x 32 570 8550 912 0

Technique Sous-tâches Produit par un nombre à un chiffre Décalage Produit en rectangle : 200 80 5 200x2 80x2 5x2 2 200x2 = 2x200 = 2x2x100 Il faut faire rencontrer des situations de comptage de carreaux pour que les élèves prennent conscience de certaines choses, même si ça reste implicite (ils ne savent pas l’expliquer, ce n’est pas explicite). Le « zéro » n’est pas magique.

Effectuez les sommes et les différences de : CCCXLV et LXIX Somme = CCCCXIV qui devient CDXIV chez les Romains. On peut écrire un peu comme on veut chez les Romains ; il suffit de prendre en compte les notions avant/après. Les Romains utilisaient les abaques. Les nombres romains étaient utilisés pour désigner, non pour calculer

Effectuez l’addition : 3 4 5 + 6 9 3 10 14 3 11 4 4 1 4 C’est une technique pour trouver le résultat. ORAL : « 3 centaines 4 dizaines 5 unités et 6 dizaines 9 unités font 3c 10d et 14u » qui s’écrit ??? Le problème est « comment on écrit cette chose » ? Là où il n’y a pas 1 seul chiffre par colonne. Notre écriture en chiffres permet d’effectuer les additions, les soustractions, les multiplications en plusieurs étapes.

Numération décimale Numération orale : code verbal Numération écrite : code indo-arabe A l’oral, apprendre de : 0 à 69 60 à 79 80 à 99 A l’écrit « blocs de 10 » Numération écrite : origine indienne qui a donné les chiffres arabes du golfe persique d’un côté et les chiffres romains d’un autre côté. Les écritures ont évolué différemment, mais c’est la même façon de calculer. La numération orale est plus difficile qu’à l’écrit, surtout pour la tranche de 10 à 20. Il faut vite dépasser 20, pour prendre conscience de la « construction » , des répétitions de la comptine numérique. C’est un problème de mémoire. Il faut compter vite jusqu’à 69 à l’oral.

Travail oral 1. Savoir très vite la comptine 10 par 10 2. Comprendre la régularité des nombres 3. Comprendre la valeur du chiffre selon la position / matériel Principe de groupements par 10 Principe de position En montrant sur la bande numérique avec le doigt « pas de géant ».Utiliser les doigts 10, 20, 30… est une aide à la mémoire. Un élève a compris la régularité des nombres s’il est capable d’écrire le nombre qui vient après, celui qui vient avant sans savoir lire les nombres. Il ne sait pas pour autant ce qu’est une dizaine. La régularité c’est différent de la récursivité de l’écriture (28, 29, 30….. 38, 39, 40…) Il y a plusieurs systèmes de codage en jeu, ce qui permet d’avoir plusieurs points de vue sur un matériel (+ on a de points de vue, + on connaît le matériel). Le matériel (allumettes) est toujours présent dans la classe et en grand nombre (3000). Il faut qu’il y ait une circulation entre les différentes manières de dire les choses : diapo suivante.

Différentes « langues » Langue usuelle : 3 paquets de 10 bâtons et 5 bâtons Langue mathématique : 3 dizaines et 5 unités Écritures codées : 3d 5u 10+10+10+5 (3x10) + 5 Écriture chiffrée : 35 Très intéressant : un élève « fabrique » : 7u et 6d 4d et 18u Le matériel sert à contrôler. * Le matériel sert à valider : c’est validé parce qu’on sait compter à l’oral. L’élève doit agir sur le matériel, et sur les écritures des nombres.

Des activités sur le nombre CP-CE1 1. Dénombrer une grande collection (traces dans le cahier de l’élève photo) 2. Collection montrée, dessinée au tableau écrire le nombre 3. Donner un nombre 157 écrire « en matériel » (constituer, dessiner) écrire en unités de numération (au moins 2) 4. Jeux du portrait associés * Travail avec liste de référence Travail sans liste de référence 5. Savoir traiter des problèmes dès le CP * 6. Savoir faire des conversions 3d 4u = …. u 5d 12u = …. u Photo d’unités, paquets, sachets… Au cycle 3, sachet vide (les élèves savent que c’est 100). Le groupement par 10, les élèves ne peuvent pas l’inventer ! Sur le cahier écrire par exemple au cycle 3 avec le millier représenté : 1x1000 10 centaines 100 dizaines 1000 unités 2. Varier les dessins 3. Peut correspondre à une évaluation individuelle au CP (chaque élève a une étiquette-nombre différente. Problématique : « L’élève a-t-il compris l’écriture du nombre ? » Ex : 32. Il fabrique 32 avec le matériel prêt (une boîte d’unités, une boîte de bâtons de 10, une boîte vide éventuellement pour une centaine, futures centaines) Pas de couleurs, c’est la position qui importe. Le maître aide pour aider à voir les erreurs comme 5 par exemple ; il fait compter… 4. * Diapo suivante

Jeux des portraits associés 1. Avec liste de référence 35 59 47 27 69 72 53 37 « Je suis compris entre quarante et cinquante. » « Je contiens 5 unités et encore 3 dizaines. Qui suis-je ?» 2. Sans liste de référence 4d et 3u 37 unités 6 dizaines… Validation avec le matériel. Peu coûteux en terme de matériel

Problèmes CP 7 carnets de 10 timbres Attention : 10 carnets de 7 timbres Choisir des problèmes implicites (regroupement par 10 « naturel ») 10 carnets de 7 timbres pour cycle 3. Ils connaissent la multiplication (7x10 = 10x7) Points / images ? Œufs ?

Apprendre la numération au CP, c’est : Grouper / dégrouper Casser des dizaines Le maître autorise à se servir du matériel qui est toujours dans la classe. L’apprentissage par les doigts, la manipulation, incorporer des apprentissages.

Jeux de doigts Donne-moi : cahiers analogie « deux » cahiers oral écrit

Les doigts MS-GS Montrez-moi 5, 7 doigts. Combien de doigts ? Le maître les montre. Varier la position des doigts Relation des nombres jusqu’à 10 Connaissance des doubles 5 et 5 10 et 10 doigts et orteils Connaissances et relations à l’ORAL

Les doigts au CP Compter les doigts de 21 élèves de la classe Étape 1 : compter chaque doigt (210) Étape 2 : compter de 10 en 10 (21 fois 10) Étape 3 : compter les doigts de tous les CP de l’école Laisser les élèves réfléchir… 22 c’est +1 à 21 Se servir des doigts, des mains. CP2 CP3 CP4 22 20 19

Doigts au CP suite Arriver à : classe élèves mains doigts CP1 CP2 CP3 Fabrication d’un livre page par page / référence sur internet grand N 58 1996 INSTITUTIONNALISATION 1 élève c’est 1 dizaine de doigts, 2 enfants c’est 2 dizaines de doigts…

Le cardinal d’une collection Les codages du nombre Analogique IIIII IIIII II Verbal douze Indo-arabe 12 Procédures pour dénombrer Subitizing (petites quantités) * Dénombrement 1 à 1 Subitizing et calcul Reconnaissance automatique (collection non organisée de 4 objets par exemple) Collection de 12 objets non organisés Collection organisée de 12 objets (constellations 5, 5, 2) ou encore une collection de 24 ronds organisée en 4 lignes et 6 colonnes (6 x 4 = 24)

Vers le calcul CP/CE1 Additions et soustractions à retenues très vite 26 + 57 82 – 25 Validation par le matériel 4 5 +3 6 7 11 8 1 On peut écrire l’opération avec la retenue (une retenue se retient ??? Est-on obligé de l’écrire ??)

Problème début CE1 Rencontrer 51 – 27 Comment faire ? Les problèmes sont utiles pour lancer les actions : 1. 51 élèves dont 27 sont des filles. Combien de garçons ? 2. Paul a 51 billes. Il en perd 27 sur le chemin. Combien lui en reste-t-il ? 3. … On veut que l’élève parte de 5 paquets de 10 et 1 unité. Le maître autorise ou pas à prendre le matériel. Addition à trous ; difficile Inducteur de la soustraction : on le choisira.

La soustraction à retenue Par compensation (retenue ; conservation des écarts). Faire un parallèle avec les longueurs et la droite numérique Par emprunt la plus logique (« illustrable » par le matériel de numération ; on casse une dizaine)

L’aspect décimal au CP/CE1 Combien de dizaines dans 152 ? Jouer avec les écritures d’un même nombre Donner les additions et soustractions en ligne (à retenues) Accepter différentes procédures qui donnent le résultat attendu Donner des problèmes inducteurs