Algorithmes dapproximation pour loptimisation en ligne dordonnancements et de structures de communications Nicolas Thibault Thèse préparée au laboratoire IBISC de luniversité dÉvry Val dEssonne, sous la direction de Christian Laforest 1 / 22

Introduction Réseau de communications : ensemble de liens qui connectent des membres Méthodes on-line avec garanties sur la qualité des solutions Comment réserver les liens du réseau de la meilleure façon possible ? 2 / 22 Dans chaque partie : définition des modèles on-line proposition dalgorithmes avec garanties de performance 1. 2.Quels liens du réseau réserver ? Groupes dynamiques dans un graphe 1.Comment réserver les sous-canaux dun lien réseau ? Ordonnancements on-line

Ordonnancements on-line Comment réserver les sous-canaux dun lien réseau ? 3 / 22Ordonnancements on-line

Ordonnancements on-line : introduction Opérateur : gère le lien Clients : utilisent le lien temps Problème on-line : lorsque la demande dun client est révélée, lopérateur peut la rejeter ou lordonnancer (puis éventuellement linterrompre) Objectif : satisfaire lopérateur : maximisation du poids (somme des longueurs des tâches ordonnancés) 4 / 22Ordonnancements on-line les clients : principe de dédommagement pour chaque tâche interrompue

Poids dune tâche = (r,d,p) : w( ) = p Compétitivité : Un algorithme est c-compétitif si à chaque étape, c. w p (S) w(S * ) Poids avec pénalités Poids dune tâche avec pénalités : w p ( ) = w( ) -. w( ) : interrompue par Objectif : Maximiser w p (S) constante de pénalité Poids dun ordonnancement S avec pénalités : w p (S) = w p ( ) S Une tâche : définie par un triplet (r,d,p) rd p d – r Exemple : si = 0.2, lopérateur rembourse 120 % du poids des tâches interrompues (100 % de remboursement + 20 % de pénalité) 5 / 22Ordonnancements on-line

Résultat : un algorithme f( ) – compétitif (avec la constante de pénalité) Rôle de : lien entre les modèles on-lines avec et sans interruption. Il nexiste pas dalgorithme compétitif sans interruption [ Lipton et al ]. 6 / 22Ordonnancements on-line f( ) Compétitivité [ Woeginger 1994 ] [ Bar-Noy et al ] [ Bar-Noy et al ] notre contribution on-line tâches nombre de machines pénalités xxxxxx xxxx k = 1 k 3 k quelconque x

r d rd Soit une constante choisie par lopérateur (en fonction de ) Lorsque = (r, d, p) est révélée : SI peut être ordonnancé en interrompant aucune tâche ou un ensemble de tâches E satisfaisant. w(E) w( ) ALORS ordonnancer SINON rejeter m1m1 m2m2 Exemple, avec = 2 : Lalgorithme 7 / 22Ordonnancements on-line

Notations : T lhistorique de S (tâches acceptées par lalgorithme) S * = S *A S *B (S *A et S *B sont disjoints) S *A les tâches de S * acceptées par lalgorithme (appartenant à T) S *B les tâches de S * rejetées par lalgorithme (nappartenant pas à T) Compétitivité : idée de la preuve ( 1 / 6 ) Première étape : comparaison de w(T) et w(S *B ) 8 / 22Ordonnancements on-line

S j *B T j ( ) w( ) 2 w(T j ( )) Sur chaque machine j, avec = 2 et = 0 : Compétitivité : idée de la preuve ( 2 / 6 ) w( ) 2 w( ) 2 9 / 22Ordonnancements on-line

S j *B TjTj S j *B, w( ) 2 w(T j ( )) w(S *B ) 8 w(T) Compétitivité : idée de la preuve ( 3 / 6 ) Sur chaque machine j : 10 / 22Ordonnancements on-line

w(S * ) 9 w(T) w(S * ) 9 w(S *A ) ou bien w(S * ) > 9 w(S *A ) comme S *A T, on a w(S *A ) w(T) w(S*) 9 w(T) w(S *B ) 8 w(T) Compétitivité : idée de la preuve ( 4 / 6 ) Deux cas possibles : w(S*) w(S *B ) 9898 comme w(S*) = w(S *A ) + w(S *B ) w(S*) w(S * ) + w(S *B ) / 22Ordonnancements on-line

Comparaison entre S et T : T S w(T) 2 w(S) w(S * ) 18 w(S) Compétitivité : idée de la preuve ( 5 / 6 ) w(S * ) 9 w(T) 12 / 22Ordonnancements on-line

Raffinement de la preuve et prise en compte du poids avec pénalités w p : le gain est de - fois le poids des tâches interrompues (au lieu de 2) Compétitivité : idée de la preuve ( 6 / 6 ) w(S * ) 18 w(S) (2 + 3) 1 ++ ( ) w(S * ) w p (S) Remarque : résultat valable quelque soit lordre de présentation des tâches 13 / 22Ordonnancements on-line

Résultat présenté : Un algorithme dordonnancement on-line sur k machines avec prise en compte de lopérateur (poids) des clients (pénalités) avec un rapport de compétitivité constant paramétrable Résultats Autres résultats : maximisation on-line de la taille (nombre de tâches ordonnancées) résultat bicritère on-line dans le cas particulier des intervalles 14 / 22Ordonnancements on-line [ B.B.L.T. COCOON 05 ] [ B.B.L.T. Euro-Par 05 ] [ T.L. ISPAN 05 ]

Groupes dynamiques dans un graphe Quels liens du réseau réserver ? 15 / 22Groupes dynamiques dans un graphe

Groupes dynamiques : ajout de membres Données : un réseau (représenté par un graphe fixé) des membres dévoilés un par un, au fur et à mesure (online) Objectif : incrémenter une structure couvrante 16 / 22Groupes dynamiques dans un graphe

Contraintes à chaque étape : contrainte arbre facilite la gestion des communications contrainte emboîtement (pas de réarrangement dans larbre) ne perturbe pas les communications en cours Modèle sans reconstruction Objectif : minimiser la distance moyenne entre les membres dans larbre Théorème : Tout algorithme est (i) - compétitif (avec i le nombre de membres révélés). modèle sans reconstruction trop contraignant 17 / 22Groupes dynamiques dans un graphe Compétitivité : Un algorithme est r - compétitif, si à chaque étape C T (M) r. C T* (M) avec : T larbre couvrant M T* larbre optimal couvrant M C T (M) la somme des distances de M dans T

remise en cause de la contrainte emboîtement Objectif : minimiser le nombre détapes critiques (nécessitant la remise en cause de larbre) une étape critique perturbe les communications en cours Modèle avec reconstructions Contraintes à chaque étape : contrainte arbre contrainte qualité : les arbres successifs doivent vérifier C T (M) c. C T* (M) avec c constant T i -1 Exemple détape critique : T i -1 T i 18 / 22Groupes dynamiques dans un graphe

Théorème : Pour toute constante de qualité c fixée, il existe un graphe et une séquence dajouts tels que tout algorithme respectant les contraintes arbre et qualité implique (log i) étapes critiques. Question : Est-ce que O(log i) étapes critiques est un bon résultat ? Évaluation : Lalgorithme induit O(log i) étapes critiques (i ème groupe : i = 2 R R = log 2 i ). Résultats Notre algorithme pour c = 12 : reconstruit totalement larbre lorsque la taille du groupe double sinon, ajoute un plus court chemin entre le nouveau membre et le médian du groupe de la dernière reconstruction. Qualité de larbre construit : respecte la contrainte qualité avec c = / 22Groupes dynamiques dans un graphe

c+1 (log i) étapes critiques : idée de la preuve 20 / 22Groupes dynamiques dans un graphe c+1 sjsj 2j2j 2j2j 2 j+1 C T (M) (c+1)2 2j c+1 C T (M) (c+1)2 2j C T* (M) 2 2j 2j2j 2 j+1 c+1 C T (M) (c+1)2 2j+2Rc C T* (M) 2 2j+2Rc 2 j+R(c+1) 2 j+1+R(c+1) i 2 (c+1)+2+R(c+1) = a2 bR (a,b constants) R (log i) Remarque : résultat indépendant de la non connaissance du futur

Résultats ajouts Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) retraits ajouts et retraits Somme des distances (i) (log i) et O(log i) (log i) et O(i) (i) 21 / 22Groupes dynamiques dans un graphe ajouts Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) retraits ajouts et retraits Diamètre (i) 2 0 (log i) et O(log i) [ T.L. AWIN – Globecom workshop 04 ] [ T.L. SIROCCO 06 ] [ T.L. Journal of Interconnection Networks 06 ] [Imaze and Waxman 1991 ] : Minimisation du poids de larbre (arbre de Steiner dynamique)

Conclusion générale Synthèse : Pour chaque partie, nous avons proposé des algorithmes on-line à garanties de performance principe de remise en cause maîtrisée de la solution courante : maximisation du poids avec pénalité minimisation du nombre détapes critiques Principales perspectives : amélioration des bornes supérieures et inférieures 22 / 22Conclusion générale lordonnancement on-line bicritère dintervalles la minimisation simultanée du diamètre et de la somme des distances Nous avons déjà des résultats pour : résultats analytiques plus fins que dans le pire cas approche multicritère des problèmes on-line. étudier les versions incrémentales des problèmes doptimisation identification plus fine des difficultés proposition de modèles intermédiaires entre off-line et on-line [ K.L.P.T. AOR 06 ]