Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert I) Chaîne infinie doscillateurs couplés 1) Le modèle

Le modèle A n-1 chaîne à léquilibre, a AnAn A n+1 A n+2 m m m m M O, 0 ressort à vide m m

Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert I) Chaîne infinie doscillateurs couplés 1) Le modèle 2) Étude du mouvement a) Rappels

M0M0 O0O0 ressort à vide, 0 F = – ( OM – O 0 M 0 ) M O ressort à un instant quelconque

F = – ( OM – O 0 M 0 ) Si OM < 0, la force est répulsive, elle tend à éloigner M de O ; Si OM > 0, la force est attractive, elle tend à rapprocher M de O.

M O xOxO xMxM M0M0 O0O0 ressort à vide, 0 F = – ( OM – O 0 M 0 ) = – ( M 0 M – O 0 O ) = – (x M – x O ) u x.

Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert I) Chaîne infinie doscillateurs couplés 1) Le modèle 2) Étude du mouvement a) Rappels b) Mise en équation

Mouvement du point A n A n-1 AnAn A n+1 A n+2 m m m m

Système : latome A n de masse m et de rang n Référentiel : Terrestre supposé galiléen Forces : le poids P n, la réaction R n, la tension du ressort de gauche T n-1, la tension du ressort de droite T n+1. RFD : m. a n = P n + R n + T n-1 + T n+1

Choix de la base : (O, u x ) car le mouvement est rectiligne T n+1 = – [ A (n+1) A n – A 0(n+1) A 0n ] T n-1 = – [ A n-1 A n – A 0(n-1) A 0n ] = – [ A 0n A n – A 0(n-1) A n- 1 ] T n+1 = – [ A 0n A n – A 0(n+1) A (n+1) ].

RFD : m. a n = P n + R n – [ A 0n A n – A 0(n-1) A n-1 ] – [ A 0n A n – A 0(n+1) A n+1 ] RFD à léquilibre : 0 = P n + R n – [ A 0n A en – A 0(n-1) A e(n-1) ] – [ A 0n A en – A 0(n+1) A e(n+1) ]

RFD par différence : m. a n = – [ A en A n – A e(n-1) A n-1 ] – [ A en A n – A e(n+1) A n+1 ] On pose : A en A n = n. u x, A e(n-1) A n-1 = (n-1). u x, A e(n+1) A n+1 = (n+1). u x. n, (n-1) et (n+1) sont les déplacements des atomes A n, A n-1 et A n+1 par rapport à leur position déquilibre.

Equation différentielle finale : Cette équation constitue léquation de propagation de la déformation le long de la chaîne doscillateurs et traduit le couplage du n ième atome avec ses deux plus proches voisins. = – [ n – (n-1) ] – [ n – (n+1) ] = – 2. n +. (n-1) +. (n+1)

Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert II) Approximation des milieux continus 1) Définitions

n n

Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert II) Approximation des milieux continus 1) Définitions 2) Équation de DAlembert

n n

Dans lapproximation des milieux continus, on définit la fonction continue de classe C 2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n (t) : (x = n.a, t) = n (t) Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n (t) = (x,t) alors : (n-1) (t) = (x – a, t) et (n+1) (t) = (x + a, t)

Donc léquation de propagation, = – 2. n +. (n-1) +. (n+1) devient :

En remplaçant dans la relation initiale, on obtient :

Cette équation peut se mettre sous la forme canonique : Une telle équation aux dérivées partielles est appelée équation de DAlembert (1717 – 1783) à une dimension. La grandeur c, homogène à une vitesse, est appelée célérité de londe.

Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert II) Approximation des milieux continus 1) Définitions 2) Équation de DAlembert 3) Cas des solides : Module dYoung

S L S L L F

Définition : Le module dYoung est un coefficient positif, homogène à une pression, qui caractérise lallongement relatif du solide sous laction dune force de traction extérieure.

Cas des solides : Module dYoung a + a L + L F – F a a

Le Module dYoung Par égalité des variations relatives de deux grandeurs proportionnelles, nous avons : A léquilibre L = N.a où N est le nombre datomes sur la droite Ox, N >> 1.

Le Module dYoung La force subie par un atome à la surface droite ou gauche du cube vaut en norme : f =. a. Or, comme chaque maille ne comporte quun atome, la surface S renferme n atomes :

Le Module dYoung Ainsi, nous pouvons en déduire que la force F subie par la surface S vaut :

Le Module dYoung Finalement, en regroupant ces relations, on obtient :

Le Module dYoung Par identification avec la relation définissant le module dYoung, on en déduit son expression :

Le Module dYoung On peut ainsi exprimer la célérité des ondes dans un solide en fonction du module dYoung :

Ordres de grandeur : Diamant : Acier : Or : Béton : Polystyrène : E 1 TPa = 10 3 GPa ; E 0,21 TPa; E 78 GPa; E 27 GPa; E 3 GPa; E 0,7 à 4 GPa; Caoutchouc :