Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation d’un milieu diélectrique a) Phénomène de polarisation

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation d’un milieu diélectrique a) Phénomène de polarisation b) Les différents types de polarisation

Polarisation électronique :

Polarisation dipolaire : pmicro dpinduit  0 E = 0 dp0 = 0 p0micro

Polarisation ionique :

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation d’un milieu diélectrique 3) Le vecteur polarisation

M d  V P(M,t)

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié

d q4, P4 q2, P2 q6, P6 q7, P7 M q3, P3 q1, P1 q5, P5

Par définition le moment dipolaire mésoscopique dp résultant sur le volume d vaut : Le point M et le volume d sont fixes, la dérivée particulaire de P se confond avec sa dérivée locale :

q1 = q3 = q5 d q2, P2 q4, P4 q6, P6 q2 = q4 = q6 q7, P7 M q1, P1 q3, P3 q5, P5

Dans d, parmi les porteurs de charges individuels, un nombre dNi porte la même charge qi. On introduit pour ces dNi porteurs de charges une vitesse moyenne vi définie par : On introduit pour ces dNi porteurs de charges une densité volumique de particules ni définie par : dNi = ni.d

Puis toujours dans d, on regroupe les charges par valeur de charge :

On obtient finalement : Cette relation locale est intrinsèque

Interprétation : Une polarisation P(t) variant dans le temps est équivalente à une densité volumique de courant jlié dans le vide.

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié b) Densité volumique équivalente de charges liées

L’équation locale de la conservation de la charge en M à la date t : Dans un diélectrique parfait neutre : j = jlibre + jlié = jlié et  = libres + liées = liées

Dans un diélectrique parfait neutre : liées = – divP Cette relation locale est intrinsèque

Interprétation : Une polarisation P(M) variant dans l’espace est équivalente à une densité volumique de charges liées dans le vide. liées = – divP

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié b) Densité volumique équivalente de charges liées c) Récapitulatif

Un diélectrique parfait de vecteur polarisation P peut être modélisé par du vide dans lequel on a placé une densité volumique de courant lié jlié et une densité volumique de charges liées liées telles qu’en M à la date t : liées = – divP

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 5) Les milieux diélectriques parfaits, linéaires, homogènes et isotropes

Définition : Un milieu diélectrique est linéaire et isotrope si le tenseur de susceptibilité ne privilégie aucune direction, i-e il est scalaire : P(M) = 0.(M,).E(M)

Définition : Un milieu diélectrique est linéaire, homogène et isotrope si de plus la susceptibilité diélectrique ne dépend pas du point M : P(M) = 0.().E(M)

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 1) Équation de propagation

Dans un D.L.H.I. : P = 0.().E  = liées = – divP ; divE = 0

Les équations locales de Maxwell dans un D.L.H.I. : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale de Maxwell – Gauss : divE = 0 L’équation locale de Maxwell – Ampère :

L’équation de propagation de E : rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

L’équation de propagation de E : Finalement :

L’équation de propagation de B : De même :

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 1) Équation de propagation 2) Transversalité des ondes

Notation complexe E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)] B(M,t) = B0.exp[j(t – k.r)] k = k.u avec k = k’ + jk’’   – j.k

Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I. divE = 0 donne .E = – jk.E = 0 ou k.E = 0 ou u.E = 0 Re(u.E) = u.Re(E) = u.E = 0 Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses électriques, T.E.

Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I. divB = 0 donne .B = – jk.B = 0 ou k.B = 0 ou u.B = 0 Re(u.B) = u.Re(B) = u.B = 0 Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses magnétiques, T.M.

Structure des O.P.P.H. dans le D.L.H.I.  x E = – jk x E = – j.B k x E = .B Cette relation est fondamentale pour le calcul de B Contrairement au vide, E et B ne sont pas nécessairement orthogonaux et en phase car k est a priori complexe

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice d’un milieu a) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative

Rappels : E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)] B(M,t) = B0.exp[j(t – k.r)] k = k.u avec k = k’ + jk’’   – j.k   – k2

La relation de dispersion   – k2

Définition : On définit la permittivité diélectrique relative complexe d’un D.L.H.I. par : r = 1 + 

Définition : On définit la permittivité diélectrique complexe d’un D.L.H.I. par :  = r.0

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice d’un milieu a) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative b) Indice d’un milieu

Définition : On définit l’indice complexe n d’un milieu diélectrique par la relation :

tels que n2 = r = 1 +  et k = n.k0, avec où k0 et 0 sont le nombre d’onde et la longueur d’onde de l’onde se propageant dans le vide.

Interprétation : L’extérieur propose une onde de pulsation  à un DLHI qui répond par le vecteur d’onde k. L’indice complexe n compare la réponse du milieu à celle qu’aurait le vide pour la même onde.

n = n’ + jn’’ n’ est l’indice de dispersion ou de réfraction n’’ est l’indice d’absorption ou d’extinction

Définition : On dit qu’un milieu est transparent si n’’ = 0. Ainsi l’indice de dispersion doit être identifié à l’indice lumineux n d’un milieu transparent tel qu’il a été défini en optique.

Définition : La vitesse de phase d’une O.P.P.H*. dans le milieu diélectrique est définie par :

Si u = ux : k = k.ux avec k = k’ + jk’’ Dans le cas particulier d’une polarisation rectiligne : E0 = E0.exp(j0) avec E0 = E0.uy alors : E(M,t) = E0.expj(t – k.x) = E0.expj(t – k.x + 0) E(M,t) = E0.exp(k’’.x).expj(t – k’.x + 0).uy

La phase de notre onde dans le milieu s’écrit alors : (x,t) = t – k’ La phase de notre onde dans le milieu s’écrit alors : (x,t) = t – k’.x + 0 = t – n’.k0.x + 0

Remarque : On obtient les équations de Maxwell, les équations de propagation, la relation de dispersion dans un D.L.H.I. neutre à partir de celles du vide en prenant j = 0,  = 0 et en remplaçant 0 par  = 0.r = 0.n2 :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale de Maxwell – Gauss : div(n2.E) = 0 L’équation locale de Maxwell – Ampère :

Les équations de propagation de E et de B : La relation de dispersion

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 4) Aspect énergétique

Aspect énergétique k = k.ux avec k = k’ + jk’’ E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)].uy E(M,t) = E0.expj[t – (k’ + jk’’)x].uy E(M,t) = E0.exp(k’’x).expj(t – k’x).uy E(M,t) = Re(E) = E0.exp(k’’x).cos(t – k’x).uy

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 4) Aspect énergétique 5) Milieu peu dense : Le modèle de l’électron élastiquement lié a) Le modèle de l’électron élastiquement lié

Le modèle de l’électron élastiquement lié . Les différents électrons des molécules de l’atmosphère sont traités indépendamment ;

Le modèle de l’électron élastiquement lié . Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.

Le modèle de l’électron élastiquement lié . L'électron est placé dans un champ électrique extérieur E. L'analyse de Fourier permet de se ramener au cas d'un champ variant sinusoïdalement avec le temps ; d'autre part, on néglige le déplacement de l'électron par rapport à la longueur d'onde de E ;

Le modèle de l’électron élastiquement lié Cette hypothèse est réaliste car par définition un électron lié se déplace à l'échelle de l'angstrom, distance très inférieure aux longueurs d'ondes usuelles en électromagnétisme. On peut donc considérer le champ électrique comme uniforme à l'échelle du déplacement de l'électron et écrire E = E0.cost ; En pratique, on a :  << 0

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 5) Milieu peu dense : Le modèle de l’électron élastiquement lié a) Le modèle de l’électron élastiquement lié b) La susceptibilité diélectrique et l’indice complexe

Hypothèse : || << 1

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 5) Milieu peu dense : Le modèle de l’électron élastiquement lié c) Interprétations des graphes

Rappel : Un milieu est transparent pour une O.P.P.H. si l’indice du milieu n pour la fréquence de l’O.P.P.H. est réel, n’’  0 : l’onde s’y propage sans atténuation et la dispersion est relativement faible.

|n’’|  indice d’absorption transparence bande d’absorption

n’  1 indice de dispersion

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 1) Position du problème

ki i1 n1 (1) I n2 (2)

Conditions aux limites sur l’interface : E1 = Ei + Er ; B1 = Bi + Br ; E2 = Etr ; B2 = Btr ;

Relations dans le milieu (1) : divB1 = 0

Relations dans le milieu (2) : divB2 = 0

Relations de passage en un point M de l’interface : Et2 = Et1 donne donne div(n2E) = 0 Bn2 = Bn1 divB = 0 donne Bt2 = Bt1 donne

En notation complexe : E1 = E0i.expj(t – ki.r) + E0r.expj(t – kr.r) E2 = E0tr.expj(t – ktr.r)

En notation complexe :

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes

ki kr N i1 r n1 (1) T I n2 (2) ktr i2

Continuité de la composante tangentielle de E : Et0i.expj(t – ki.r0) + Et0r.expj(t – kr.r0) = Et0tr.expj(t – ktr.r0) t,  M0 de ()

Et0i + Et0r.expj(ki – kr).r0 = Et0tr.expj(ki – ktr)r0 Continuité de la composante tangentielle de E : Et0i + Et0r.expj(ki – kr).r0 = Et0tr.expj(ki – ktr)r0  r0

Les lois de Descartes kr = ki + a.N ktr = ki + b.N Ces deux égalités constituent les lois de Descartes :

Les lois de Descartes Les vecteurs d’onde kr et ktr des ondes réfléchie et réfractée sont dans le plan d’incidence, défini par les vecteurs ki et N ki.T = kr.T = ktr.T : La continuité de la composante tangentielle du champ électrique E impose la continuité des composantes tangentielles des vecteurs d’onde

Les lois de Descartes pour l’optique géométrique Les rayons réfléchi et réfracté sur un dioptre appartiennent au plan d’incidence Les angles de réflexion et d’incidence sont opposés : ki.T = kr.T donne sini1 = – sinr ou i1 = – r Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : ki.T = ktr.T donne n1.sini1 = n2.sini2

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes b) Cas de la réflexion totale

La réflexion totale Si i1  i1L, il existe une onde transmise dans le milieu (2) : Si i1 > i1L, l’expérience montre qu’il y a réflexion totale. Néanmoins, cela ne signifie pas qu’il n’y a pas d’onde dans le milieu (2).

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes b) Cas de la réflexion totale c) L’onde évanescente

uy N I ki n1 (1) n2 < n1 (2) i1 kr r ux

En notation complexe : Ei = E0i.expj(t – ki.r) E2 = E0tr.expj(t – ktr.r)

L’onde évanescente Elle se propage le long de la surface de séparation dans la direction Oy à la vitesse de phase : Son amplitude décroît lorsque x augmente dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation.

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème

uy n1 (1) n2 (2) ux kr Br Er  ki  Bi Ei ktr  Btr Etr

Onde incidente : Ei = E0i.expj(t – ki.x).uy

Onde réfléchie : Er = E0r.expj(t + ki.x).uy

Onde réfractée : Etr = E0tr.expj(t – ktr.x).uy

Dans le milieu (1) : E1 = Ei + Er ; B1 = Bi + Br ; Dans le milieu (2) : E2 = Etr ; B2 = Btr ;

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème b) Coefficients en amplitude

Les conditions aux limites Continuité du champ électrique tangentiel : Dans le plan x = 0,  t : E1(0,t) = E2(0,t) Dans le plan x = 0,  t : Ei(0,t) + Er(0,t) = Etr(0,t)

Les conditions aux limites Continuité du champ magnétique tangentiel : Dans le plan x = 0,  t : B1(0,t) = B2(0,t) Dans le plan x = 0,  t : Bi(0,t) + Br(0,t) = Btr(0,t) Dans le plan x = 0,  t : n1[Ei(0,t) – Er(0,t)] = n2.Etr(0,t)

Les conditions aux limites Continuité du champ électrique tangentiel : Dans le plan x = 0,  t : E0i + E0r = E0tr Continuité du champ magnétique tangentiel : Dans le plan x = 0,  t : n1(E0i – E0r) = n2.E0tr

Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour le champ électrique : Coefficient de transmission pour le champ électrique :

Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour le champ magnétique : Coefficient de transmission pour le champ magnétique :

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème b) Coefficients en amplitude c) Coefficients en puissance

Si n est réel, i.e. n’’ = 0 :

Les coefficients en énergie Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :