Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

Plan 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1h),TD 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2h), TP 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP 5. Filtrage adaptatif (2h), TP 6. Architecture des DSP (2h), TP 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP

1. Les transformées du TS Transformée de Fourier Définition Échantillonnage et périodisation Signaux de durée limitée et signaux périodiques Signaux échantillonnés de durée limitée Signaux discrets Transformée de Laplace Relation avec la transformée de Fourier Transformée en Z Relation avec la transformée de Laplace

1.1 Transformée de Fourier (1811) Définition Quelques propriétés Linéarité X(f)  module |X(f)|, phase Arg[X(f)] x(t) réel  Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire x(t) réel pair  X(f) réel pair x(t) réel impair  X(f) imaginaire impair x(t)*y(t)  X(f).Y(f) et x(t).y(t)  X(f)*Y(f)

Quelques relations Signaux importants d(t)  1 x(t)*d(t-t0)= x(t-t0)  X(f) exp(-2jp f t0) x(t) exp(2 j p t f0)  X(f-f0) x*(t)  X*(-f) x(at)  |a|-1 X(f/a) dnx(t)/dtn  (2 j p f )n X(f) Signaux importants d(t)  1 1(t)  ½ d(f) + 1/(2 j p f ) cos(2pf0t)  [d(f-f0) +d(f+f0)]/2 et sin(2pf0t)  [d(f-f0) -d(f+f0)]/2j Sd(t+nT)  Fe Sd(f+kFe) avec Fe=1/T Rect(t)  2a.Sinc(pfa)

Échantillonnage et périodisation Échantillonnage idéal... ...Transformée de Fourier...  ... périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle

Signaux de durée finie et signaux périodiques 1 T x(t) t f X(f) Transformée de Fourier Echantillonnage en fréquence 2 2T X e (f) x (t) Transformée inverse de

Signaux échantillonnés de durée finie NT t f X(f) Transformée de Fourier Echantillonnage en fréquence 1 N T 2NT X (f) Te Transformée de Fourier Périodisation

Transformée de Fourier des signaux discrets Signal discret x[k] Transformée de Fourier discrète, périodique Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½ Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus

1.2 Transformée de Laplace (1820) Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier Définition en posant :

Systèmes différentiels et Laplace Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t) Causal : N  M zéros Fonction de transfert pôles Système stable  ||h(t)||1<   Re(pi) < 0

Relations entre Laplace et Fourier Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f) H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t) -a s=j w j r un pôle en s=-a v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a

1.3 Transformée en Z Définition Quelques propriétés Somme de série... donc problèmes de convergence ! Quelques propriétés Linéarité Décalage temporel : Convolution : Multiplication par série exponentielle :

Systèmes différentiels et TZ Causal : N  M Fonction de transfert H(z)=TZ(h(t)) Système stable  |pi|< 1

Relations entre TZ et Fourier z = exp(j2pf)  on restreint z au cercle unité f=1 Re(z) Im(z) f croissante 1 -1 f=0 f=1/2 f=1/4 On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité

Relations entre Laplace et TZ Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné : = X(z) avec z=exp(sT) En posant s = r + jw= r +j2pf on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT) c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z

w 2pFe=2p/T Im(s)= Im(z) f=0 f=1 Re(s)=r Re(z) 1 Plan de Laplace Plan des Z Re(s)=r Im(s)= w Im(z) Re(z) 2pFe=2p/T 1 f=0 f=1

Interprétation géométrique de la TZ Plan des Z Re(z) 1 f=0 f=1 - a r j Périodicité de X(f)

2. Chaîne de traitement numérique du signal Échantillonnage Échantillonnage idéal : Th. de Shannon Filtre anti-repliement Échantillonnage réel Quantification Pas, niveaux, erreur et bruit Quantification scalaire uniforme linéaire Quantification scalaire non uniforme, loi de compression Restitution Restitution idéale Restitution réelle

2.1 Chaîne de traitement numérique du signal Avantages des systèmes numériques Faibles tolérances des composants Sensibilité réduite, Précision contrôlée Reproductibilité, pas de réglage Souplesse, nombre d’opérations illimité Systèmes non réalisables en analogique Inconvénients Inconvénients des systèmes numériques Source d’énergie nécessaire Limitations en haute fréquence CAN/CNA Bande passante nécessaire importante

...6, 9, 12, 15, 18, 17, 13, 17, 19,... Filtre passe-bas anti-repliement g(t), G(f) Echantillonneur- bloqueur et Convertisseur A/N Système de traitement numérique h[n],H(z) N/A Filtre de restitution r(t), R(f) x t e g ( ) * = ...5, 9, 11, 16, 18, 17, 14, 17, 20,... kT k [ ] - å d X f T n z 1 E G y h Y H périodique rect a / Sinc Tf s r S R

Filtre analogique anti-repliement (Echantillonneur-bloqueur) Eliminer les hautes fréquences (Echantillonneur-bloqueur) Maintien du signal à l’entrée du convertisseur Convertisseur analogique numérique (CAN) Convertir en binaire l’amplitude des échantillons Système numérique de traitement Calcul sur la suite de valeurs binaires Convertisseur numérique analogique (CNA) Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique (Filtre de restitution) Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA

2.2 Echantillonnage Problème Orage Jour Nuit Température Temps Mesurer la température mais ... pour quelle application ? Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique. Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100 (ou plus !) Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile»

Echantillonnage idéal Périodisation en fréquence

Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée

Filtre anti-repliement Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à Fe /2 On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti-repliement Le filtre anti-repliement définit Fmax !

Illustration : stromboscope Fréquence d’échantillonnage Fe = f0+e Xe(f) Fe -Fe -f0 f0 e -e Fréquence apparente e

Échantillonnage réel Fe > (2+k) Fmax Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2 Filtre anti-repliement non idéal Filtre anti-repliement impossible (CCD) Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition Effet de l’échantillonneur-bloqueur Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2 Fe > (2+k) Fmax

2.3 Quantification Réduction d ’un espace de valeurs Espace infini de valeurs  Espace fini de valeurs  niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs  pas (plage) de quantification (D)

Erreur (ou bruit) de quantification xe(t) : signal échantillonné non quantifié xq(t) : signal échantillonné quantifié Le rapport signal sur bruit de quantification PS : puissance du signal m(t) PB : puissance du bruit de quantification

Types de quantification Quantification scalaire = échantillon par échantillon Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur) Quantification uniforme = plage constante Quantification non uniforme Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)

Quantification scalaire uniforme linéaire Plage de quantification D = cte Niveau de quantification = milieu des plages Nombre de niveaux : Nnq = dyn/D Erreur de quantification : - D /2  e(t) <+ D /2

La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire : où f() désigne la densité de probabilité de , supposée constante : La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité. Si elle est de type gaussienne avec mmax=3 Nnq=2N

Bruit de quantification du CAN Plage d’entrée du CAN P Nombre de bits en sortie N Pas de quantification D = P/2N Pour P= 8 sx (1 ech / 15000 > 4, sx) on a : Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio) il faut au moins N=16 bits.

Quantification scalaire non uniforme Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!)  dépend de l’amplitude du signal Erreur de quantification non constante

Loi de compression logarithmique Quantification uniforme Pré-traitement des valeurs et conservation d ’un quantificateur simple Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs Loi de compression logarithmique

Loi de compression logarithmique A, m Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé : Les valeurs de A = 87.6 et  = 255 sont normalisées. (RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB

Compression logarithmique par segment L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion réciproques est impossible  Approximation par segments 1

Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM) Echantillonnage MIC m(t) Quantification Codage fréquence fe q niveaux n bits CAN (q = 2n) A chaque valeur échantillonnée et quantifiée mot de n bits -code- Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!

Exemple : La téléphonie L’utilisation d’un MIC à à compression par segments non uniforme (loi A) permet de coder les 256 niveaux de quantification par : n = log2 256 =8 bits Fe=8 kHz D = 8 *8=64 kbit/s

2.4 Restitution Restitution idéale, interpolateur idéal -F F t f x(t) MAX F t f x(t) X(f) e =1/T -1/T 2/T Filtre de restitution x (t) X (f) T=1/F

å x kT t Sinc T [ ] ( ) * = - d  Interprétation temporelle Filtrage passe-bas x kT t Sinc T e [ ] ( ) * = - å d

Interpolateur idéal de Shannon L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal

Restitution réelle (CNA), interpolateur d ’ordre N x(t) Cas N=0 Conséquences spectrale

Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0 Filtre de restitution (analogique, passe-bas)