Les systèmes linéaires
1)PRESENTATION avec x, y, z les inconnues
2)RESOLUTION PAR LA METHODE DE GAUSS
Principe rendre triangulaire le système
Propriétés:N°1 On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot
Propriétés:N°2 On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
Exemple
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot Cela permet davoir un 1 devant la variable choisie.
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle On divise la ligne L1 par 1
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle On divise la ligne L1 par 1 ligne pivot L1
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On va supprimer les x dans les autres lignes :
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 2ème ligne
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 2ème ligne Pour cela on fait:L2+0*L1 L2
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 3ème ligne pour cela on fait:
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 3ème ligne pour cela on fait: L3+(-2)L1 L3
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 3ème ligne -2x+2y-2z=-2*0 pour cela on fait: L3+(-2)L1 L3
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 3ème ligne -2x+2y-2z=-2*0 pour cela on fait: L3+(-2)L1 L3
On recommence au niveau des y.
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot Cela permet davoir un 1 devant la 2ème variable choisie.
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot On divise la ligne L2 par 1
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot On divise la ligne L2 par 1 ligne pivot L2.
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les y dans la 3ème ligne pour cela on fait :
On supprime les y dans la 3ème ligne pour cela on fait : L3 +(-3)L2 L3.
On supprime les y dans la 3ème ligne -3y+6z=-3 pour cela on fait : L3 +(-3)L2 L3.
On supprime les y dans la 3ème ligne -3y+6z=-3 pour cela on fait : L3 +(-3)L2 L3.
On supprime les y dans la 3ème ligne -3y+6z=-3 pour cela on fait : L3 +(-3)L2 L3.
On en déduit z = -4/3 puis en reportant dans (L2) y = -5/3 puis en reportant dans (Ll) x = -1/3
3)ECRITURE MATRICIELLE DUN SYSTEME soit ( A X = Y )
Remarque ( A X = Y ) ( X = A -1 Y ) Cette relation permet de calculer la matrice A -1.
fin
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 3ème ligne pour cela on fait: L3+(-2)L1 L3
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. On supprime les x dans la 2ème ligne Pour cela on fait:L2+0*L1 L2
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot On divise la ligne L2 par 1 ligne pivot L2.