L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DECIMAUX du CYCLE 3 à la 6ème. Stages interdegré - 2012 -

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES  PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT  HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN)  DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE3  DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME  LES NOMBRES: ÉCRITURE ET NATURE  BIBLIOGRAPHIE EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 7,08 et 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage)

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES DIFFICULTÉS RELATIVES À LA COMPRÉHENSION DES NOMBRES DÉCIMAUX : Les évaluations 6ème et CM2 mettent en évidence que certains élèves semblent considérer que la virgule sépare deux nombres entiers : ils traitent la partie décimale comme un entier. EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 7,08 et 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: J. Bolon a proposé la tâche suivante à des élèves depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e : « Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? » Réussite obtenue: CM1 22% CM2 30% 6° 27% 5° 29% EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 7,08 et 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES RÉFLEXIONS SUR UN « TEST »: Double conclusion: 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 (Cf. le pourcentage de réussite observé). 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent. => Importance du travail initial à l’école. EN GUISE D'INTRODUCTION : Résultats de quelques évaluations "1,015 et 1,05" : Quel est le plus grand ? 52% de réussite. Non prise en compte de 15 qui désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. (Eval 6ème 1993)  Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Le tableau suivant donne les pourcentages de réussite : (Jeanne Bolon Années 90) Classe CM1 CM2 6° 5° Réussite 22% 30% 27% 29% Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 7,08 et 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? Là encore, les enfants travaillent vraisemblablement sur l’écriture des nombres indépendamment de ce qu’ils représentent. Ils savent que pour passer de l’écriture "6,9" à l’écriture "7,0", il faut "ajouter un 1", alors que pour passer de "7" à "7,08", il faut "ajouter un 8". L’écart est plus grand quand on ajoute 8 que quand on ajoute 1 ! L’erreur observée résulte bien, là encore, d’un défaut de conceptualisation, les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES OBSTACLES Les règles de fonctionnement des entiers ne peuvent être étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant. → Instabilité des connaissances  un entier est d'autant plus grand qu'il a un plus grand nombre de chiffres (faux pour les décimaux)  multiplier augmente (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux) ; diviser diminue (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux). Rupture de sens pour la multiplication  Le chiffre des unités n'est pas le dernier  Le précédent d'un nombre n'a pas de sens  le nombre de chiffres d'un nombre n'est pas un indicateur de sa grandeur  Les entiers nous font aller dans l' infiniment grand, les décimaux vers l' infiniment petit – Notion d'infinité dans un intervalle  Que se passe-t-il tout près du 0 ? Menu Suite

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES La façon d’écrire, de lire et de dire les nombres décimaux (« 3 virgule 8 »). Dans la vie quotidienne, l’utilisation des nombres décimaux renforce l’idée de juxtaposition de deux entiers (7€35 ou 7h35min). Les techniques de calcul, pour ces nombres, sont les mêmes que pour les entiers. Les « recettes » mnémotechniques employées parfois pour la comparaison des nombres décimaux. ORIGINE DES DIFFICULTÉS: 1) en juxtaposant les chiffres à gauche et à droite de la virgule ( c’est le dire) 7,35 lu « 7 virgule 35 », voire « sept trente cinq », au lieu de « 7 virgule 35 centièmes », ou encore « 7 virgule 3 dixièmes et 5 centièmes » 2) 7,35 € compris comme « 7 € 35 centimes », sur le modèle de « 7 H 35 mn » l’idée de fractionnement disparaît 4) Le fait que, pour la comparaison de deux décimaux, de nombreux maîtres enseignent la règle selon laquelle il faut écrire des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule. • On enseigne parfois la règle "Pour comparer deux décimaux, on écrit des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule". Un élève qui applique cette règle est conduit à comparer 1,015 et 1,050 et là, il ne se trompe plus parce que 15 < 50. A-t-il pour autant mieux compris ce que sont des centièmes par rapport à des millièmes ? Rien n’est moins sûr De même la division par cent possède, elle- aussi, sa règle : "Pour diviser un nombre par cent, je décale la virgule de 2 rangs vers la gauche". Il est vraisemblable que certains élèves réussissent en utilisant cette règle sans beaucoup de connaissances concernant les décimaux. Enseigner de telles règles est même très probablement un "piège pédagogique" parce qu’en les appliquant, certains élèves réussissent diverses tâches portant sur des décimaux alors qu’ils n’ont fondamentalement pascompris ce qu’est un décimal. ex. : pour comparer 1,015 et 1,05 : un élève qui applique cette règle peut très bien réussir sans, pour autant, comprendre ce que sont des centièmes par rapport à des millièmes) ; idem, pour la division par 10, 100… où l’on décale la virgule de 1 ou 2 rangs vers la gauche. • Pour comparer des nombres décimaux, ils comparent d'abord la partie entière 13,45 < 123,45. Mais à partie entière égale, ils comparent les parties décimales comme pour des entiers. Dans 13,475, 4 est pris assez souvent pour le chiffre des centaines. On comprend alors pourquoi tant d'enfants jugent 13,7 plus petit que 13,475. • Problème de la fraction décimale : dizaine < centaine mais dixième > centième Révélateur de l’enseignement «  à coup de règle » dixit Charnay: enseignement de recettes. 23,4*100= 2340: quelles justifications Menu Suite 7

LES DIFFICULTÉS ET LEURS ORIGINES Ces difficultés masquent la nature de « fraction » des nombres décimaux et peuvent conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT 1/ Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi et surtout représentés par des fractions décimales. 2/ Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue. 3/ Enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

 PRINCIPES GÉNÉRAUX D’ENSEIGNEMENT 4/ Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers. 5/ Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation. 6/ Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes, etc. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

 HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN) Première page de La Disme de Simon Stevin (édition de 1585) Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

HISTORIQUE (DISME ET STÉVIN) Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3 Au cycle 3, approche de la fraction dans le but d’aider à la compréhension des décimaux Les fractions sont des nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes où les nombres entiers sont insuffisants. Quelques fractions (1/2, 1/3, 1/4, 1/8..) peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs ou bien l’on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes qui permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. (machine à partager) Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3 CM2 7/3 c'est « 7 fois un tiers » Le dénominateur nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le numérateur précise le nombre de parts qui seront reportées Collège 7/3 devient « le tiers de 7 ». 7 : 3 = 7/3 (pas d’opération en suspend) Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3 Les écritures à virgule prennent un sens en étant mises en relation avec les fractions décimales (introduction historique des décimaux). La valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit à sa gauche et dix fois plus grande que celle de celui qui est écrit à sa droite. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT CYCLE 3 La notion de valeur approchée fait l’objet d’un premier travail qui doit prendre sens pour l’élève, en relation avec un contexte issu de la vie courante. Développer des représentations mentales à propos de certains nombres et des relations qui les lient 0,1 et 1/10 ainsi que 0,5 et ½…. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME La difficulté de l’apprentissage des nombres décimaux tient notamment au fait que celui-ci nécessite la compréhension de propriétés ou de techniques dont les unes sont en continuité et les autres en rupture avec celles des entiers naturels. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME Nombres entiers  nombres décimaux rupture Par exemple : 23  10 = 230 2,3  10 = 2,30 20,30 20,3 2,3  10 = 23 La virgule a-t-elle bougé ?... Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME Un premier objectif du collège est donc d’aider les élèves à différencier la nature d’un nombre de son écriture, notamment en mettant en relation différentes désignations d’un même nombre. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

 DOCUMENT D’ACCOMPAGNEMENT 6ÈME le nombre dix-sept peut s’écrire 17 ou 34/2 ou 17,00 (écriture souvent utilisée pour les prix), etc. Dans tous les cas, c’est un nombre entier (et aussi un nombre décimal…) ; le nombre deux plus cinq dixièmes peut s’écrire 2,5 ou 2,50 (cas des prix, toujours) 5/2, etc. Dans tous les cas, c’est un nombre décimal. Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

LES NOMBRES ECRITURE D’UN NOMBRE: Exercice 1 Combien de nombres différents sont écrits ? 800/100 2  4  1 – 0,4    6 + 2  8,00  80/10 0,6  16 : 2  6  0,1 Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu Suite

LES NOMBRES NATURE D’UN NOMBRE: Exercice 2 (sixième) Voici une liste de nombres :   6/2 6/4 6/7 7/10 14/5 8/3 3/2 . Parmi les nombres de la liste, lesquels ne sont ni entiers, ni décimaux ? Parmi les nombres de la liste, lesquels sont égaux ? Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu

BIBLIOGRAPHIE Brochure « Des nombres au collège : parcours vers le réel », de la CII Collège « ERMEL : Apprentissages numériques et résolutions de problèmes », INRP, Hatier «  Les fractions et les décimaux au CM1 - Une nouvelle approche » Conférence de Rémi BRISSIAUD - IUFM de Versailles « La machine à partager - Fractions et décimaux au cours moyen » - C. Houdement – IREM Haute Normandie Partie entière , le rompu ( un petit morceau) Menu