Cécile Balkanski, Nelly Bensimon, Gérard Ligozat Université Paris XI I.U.T. d'Orsay Département Informatique Année scolaire 2003-2004 Algorithmique : Volume 6 Recherche Adressage dispersé Tris Complexité Cécile Balkanski, Nelly Bensimon, Gérard Ligozat

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Problème général abstrait ensemble de valeurs E, élément a; est‑ce que a  E? réponse: booléen (x) { xE | x=a }   plus généralement existe‑t‑il x vérifiant certains critères   (x) { xE | j(x)}   trouver tous les x satisfaisant certains critères   { xE | j(x)} (bases de données)     2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche en informatique On ne travaille pas sur des ensembles mathématiques, mais sur des structures de données particulières Les données peuvent être de nature complexe (agrégats, classes) Exemples : tableau tableau trié 20 18 9 5 24 13 27 2 8 32 7 12 36 15 17 19 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris arbre binaire de recherche 20 24 18 27 9 19 32 5 13 2 36 15 8 12 17 7 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Tri de données complexes Exemple de donnée complexe: type Etudiant = agrégat nom: chaîne âge: entier classement: entier photo: fichier_GIF fin on peut trier par nom (ordre alphabétique), par âge, par classement pas par photo clés, clés primaires ex‑aequo, même âge 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche et type de données On utilise divers types de données sur lesquelles on fait des opérations de base: ajout suppression mise‑à jour consultation Chaque structure a des avantages et des inconvénients : tableau, tableau trié, arbre binaire, liste chaînée, etc. 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche séquentielle fonction rechSeq (tab , nbre , val) retourne (booléen) {renvoie VRAI si val est dans tab, FAUX sinon} paramètre s (D) tab: tableau[1, MAX] d'entiers (D) nbr, val: entier variables trouvé: booléen i: entier début trouvé  faux i  0 tant que non trouvé ET i < nbr faire i  i+ 1 trouvé  (tab[i] = val) ftq retourne (trouvé) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris fonction rechSeq (tab, nbre, val) retourne(entier) {renvoie le premier indice où se trouve val dans tab, ‑1 sinon} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, val: entier variables trouvé: booléen i: entier début  trouvé  faux i  0 tant que non trouvé ET i < nbr faire i  i+1 trouvé  (tab[i] = val) ftq si trouvé alors retourne (i) sinon retourne (‑1) fsi fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche avec critères procédure rechLesMin (tab_d, nbre_d, tab_r, nbre_r, val) {renvoie dans le tableau tab_r les éléments de tab_d  val} paramètre s (D) tab_d: tableau [1, MAX] d'entiers, nbr_d, val: entier (R) tab_r: tableau [1, MAX] d'entiers, nbr_r: entier variables id, ir: entiers début ir  0 pour id  l à nbre_d faire si (tab_d[id]  val) alors irir+ 1 tab_r[ir]  tab_d[id] fsi fpour fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris fonction rechMin (tab, nbre) retourne(entier) {renvoie la plus petite valeur contenue dans le tableau tab} paramètre s (D) tab : tableau [1, MAX] d'entiers, nbr : entier variables i, min : entiers début imin  tab[l] pour id  2 à nbre faire si (tab[i] < min) alors min  tab[i] fsi fpour retourne (tab[min]) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris fonction rechPosMin (tab, nbre) retourne(entier) {retourne le (dernier) indice de la plus petite valeur du tableau tab} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers, nbr: entier variables i, imin, min: entiers début min tab[1] imin 1 pour id 2 à nbre faire si (tab[i]  min) alors min tab[i] imin  i fsi fpour retourne (imin) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche séquentielle dans tableau ordonné fonction rechSeq (tab, nbre, val) retourne(entier) {renvoie le premier indice où se trouve val s'il est dans tab, ‑1 sinon} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, val: entier variables trouvé, dépassé : booléens ; i : entier début trouvé  faux; dépassé  faux; i  0 tant que non (trouvé OU dépassé) ET i < nbr faire i  i+ 1 trouvé  (tab[i] = val) dépassé  (tab[i] > val) ftq si trouvé alors retourne (i) sinon retourne(‑1) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche dichotomique Rappel: les valeurs doivent être triées ! Principe:      on vise au milieu du tableau si l'élément visé est plus grand que val, il suffit de chercher à gauche ; s'il est plus grand, il suffit de chercher à droite 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2 5 7 8 9 12 13 15 17 18 19 20 24 27 32 36 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche dichotomique fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne(entier) {renvoie un indice où se trouve val s'il est dans tab, ‑1 sinon} paramètre s (D) tab : tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, val : entier variables trouvé : booléen ; id, if, im: entiers  début trouvé  faux; id  0 ; if  nbre + 1 tant que non trouvé ET (if ‑ id) > 1 faire im  (id + if)/2 trouvé  (tab[im] = val) si (tab[im] > val) alors if  im sinon id   im fsi  ftq si (id = 0) alors retourne (-1) sinon si (tab[id]=val) alors retourne(id) sinon retourne (-1) fsi fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche dichotomique: variantel fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne(entier) {renvoie le plus grand indice où se trouve val s'il est dans tab, ‑1 sinon} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, val: entier variables id, if, im: entiers début id  0; if  nbre+1 tant que (if ‑ id) > 1 faire im  (id + if)/2 si (tab[im] > val) alors if  im sinon id  im fsi ftq si (id = 0) alors retourne (‑1) sinon si (tab[id]=val) alors retourne(id) sinon retourne (-1) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Recherche dichotomique : variante2 fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne (entier) {renvoie le plus petit indice où se trouve val s'il est dans tab, ‑1 sinon} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, val: entier variables id, if, im: entier début id  0 ; if  nbre+ 1 tant que (if ‑ id) > 1 faire im  (id + if)/2 si (tab[im]  val) alors if  im sinon id  im fsi   ftq si (if = nbre + 1) alors retourne (‑1) sinon si (tab[if]=val) alors retourne(if) sinon retourne(‑1) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Recherche dans un ABR fonction rech (unAbr, val) retourne(booléen) {renvoieVRAl si val se trouve dans l'ABR unAbr, FAUXsinon} paramètre s (D) unAbr: ABR (D) val: entier variables trouvé: booléen ; id, if, im: entiers   début si unAbr.Vide() alors retourner (FAUX) sinon si (unAbr.Info() = val) alors retourner(VRAI) sinon si (unAbr.Info() < val) alors retourner (Rech(unAbr.FD(), val)) sinon retourner (Rech(unAbr.FG(), val)) fsi fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Simulation de recherche 20 24 18 27 9 19 32 5 13 2 36 15 8 12 17 7 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

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Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Adressage Dispersé 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Adressage dispersé Objectif: classer M éléments dans un tableau Principe: dans un tableau de p cases, on classe l'élément x, à l’indice k, donné par une fonction d'adressage h  classer un élément x  entier k, compris entre 1 et p  Fonction h: h(x)=k  la valeur k ne dépend que de l'élément x ; l'élément x n'est pas placé relativement aux autres éléments  

Quelques exemples de fonctions d’adressage x : chaîne h1(x) = nombre de caractères de la chaîne  h1("Paul") = 4 h1("MmeDupont")=9 x : entier h2(x) = somme de ses chiffres décimaux h2(342) = 9 h2(100 340) = 8 x : entier h3(x)= nombre de bits à 1 dans l'écriture binaire h3(342) = h3(101010010) = 4 x : chaîne de caractères h4(x) = somme des codes ASCII des caractères de la chaîne

Exemple de classement par la fonction d’adressage h1 Suite de prénoms : Marc, Izabelle, Paule, Jeanne, Ali, Jo, Michèle Codes associés par h1  (nb caractères) : 4, 8, 5, 6, 3, 2, 7  Constatations : la valeur k ne dépend que de l'élément x ; la place de l'élément x n'est pas déterminée relativement aux autres éléments classés...  ...à la différence d'un tri avec relation d'ordre où la place d'un élément est déterminée par le nombre d'éléments "meilleurs" selon cet ordre. Jo Ali Marc Paule Jeanne Michèle Izabelle 1 2 3 4 5 6 7 8

Une autre fonction d’adressage h5 associe à c1…ck la somme : (Somme (rang de ci dans l’alphabet * i) modulo 9) +1 Suite de prénoms : Marc, Izabelle, Paule, Jeanne, Jo, Michèle h5 (Marc) = ((13*1+1*2+18*3+3*4) mod 9) + 1 = 81 mod 9 + 1 = 1 h5 (Jeanne) = ((10*1+5*2+1*3+14*4+14*5+5*6) mod 9) + 1 = 179 mod 9 + 1 = 9 h5 (Paule) = ((16*1+1*2+21*3+12*4+5*5) mod 9) + 1 = 1 mod 9 + 1 = 2 Marc Paule Jo Izabelle Michèle Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Recherche d’un élément Algorithme de recherche d'un élément x dans une table construite par adressage dispersé d'une suite d'éléments :  on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d’adressage, soit p. on compare le contenu de la p-ième case de la table avec l’élément x : si identité, la recherche est positive, sinon elle est négative.

Ajout d’un élément Algorithme d'ajout d'un élément X dans une table construite par adressage dispersé d'une suite d'éléments: on calcule le code associé à cet élément par la fonction d'adressage, soit p. on affecte l'élément à la p-ième place dans la table, à condition toutefois que cette place ne soit pas déjà occupée  risque de collision

Exemples (avec h5 ) Recherche de "Isabelle" Ajout de "Ali" code associé par h5 : 1 et tabAdrDisp [1]  "Isabelle "  recherche négative Ajout de "Ali" code associé par h5 : 8 ; tabAdrDisp [8] : " "  ajout possible Ajout de "Lola" code associé par h5 : 2 ; or tabAdrDisp [2] : "Paule"  collision Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Méthodes de résolution des collisions : méthodes internes lnternes car on opère dans le tableau alloué première possibilité : on utilise la place libre dans le tableau Algorithme d'ajout d'un élément entré en collision : à partir du rang de la collision, rechercher la première place libre et y placer l'élément entré en collision. arrivé à la dernière case du tableau, continuer la recherche à la première case du tableau. Exemples: "Lola" (avec h5 : 2) et "Isabelle" (avec h5 : 1) Marc Paule Lola Isabelle Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Retrait d’un élément on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage : soit p ; on compare le contenu de la p-ième case de la table avec l'élément x :  si identité, on le supprime puis on place dans cette case une marque pour indiquer que l'élément supprimé a pu provoquer d'éventuelles collisions si non identité, on poursuit la recherche séquentiellement en cas d'éventuelles collisions arrêt si case vide ou parcours jusqu’à (p-1)

Recherche d’un élément on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage : soit p. on compare le contenu de la p-ième case de la table avec l'élément x : si identité, la recherche est positive, sinon on poursuit la recherche séquentiellement, en cas d’éventuelles collisions (utiliser les marques) arrêt avec recherche négative si case vide ou parcours jusqu’à (p-1)

Exemples (avec h5 ) X X X Marc Paule Lola Isabelle Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 retrait de «Marc» (code 1) X Paule Lola Isabelle Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 recherche de «Isabelle» (code 1) X Paule Lola Isabelle Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 retrait de «Ali» (code 8) X Paule Lola Isabelle Jo Izabelle Michèle Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Résolution interne des collisions (suite) Deuxième solution: on partitionne le tableau en deux :  une zone d'adressage primaire une zone de débordement Algorithme d'ajout d'un élément entré en collision : rechercher une place libre dans la zone de débordement et y placer l'élément entré en collision

Exemple Ajout de «Lola» (code associé par h5 : 2) puis de «Isabelle» (code associé par h5 : 1) Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola Isabelle 10 11 12 13 14 15 Zone de débordement (à la « suite » du tableau)

Recherche … on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage, soit p  on compare le contenu de la p-ième case de la table avec l'élément x : si identité, la recherche est positive, sinon on mène une recherche séquentielle dans la zone de débordement du tableau

… et retrait on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage, soit p on compare le contenu de la p-ième case de la table avec l'élément x : si identité, on le supprime puis on place dans cette case une marque pour indiquer que l'élément supprimé a pu provoquer d'éventuelles collisions si non identité, poursuivre la recherche séquentiellement en cas d'éventuelles collisions, dans la zone de débordement du tableau

Exemples Recherche de «Ali» (h5 : 8), puis «Lola» (h5 : 2) Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola Isabelle 10 11 12 13 14 15 Recherche de «Ali» (h5 : 8), puis «Lola» (h5 : 2) Retrait de «Marc» (h5 : 1) Recherche «Isabelle» (h5 : 1)

Méthodes de résolution externe des collisions "Externes " car on alloue des zones de stockage supplémentaires  Le tableau contient, pour un code donné, deux informations : une place de rangement d'un élément (principal) ; une liste de débordement pour les éléments entrés en collision avec l'élément précédent

Ajout d’un élément Algorithme d'ajout d'un élément entré en collision :  Créer la liste de débordement associée à ce code si celle‑ci n'existe pas encore, puis ajouter à cette liste le nouvel élément Exemple (avec h5): ajout de « Lola » (code 2) Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola

Exemples (suite) ajout de « Isabelle » (1) ajout de « José » (1) Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Isabelle Lola ajout de « José » (1) Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola José Isabelle

Recherche d’un élément on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage, soit p on compare le contenu de la première information de la p-ième case de la table avec l'élément x si identité, la recherche est positive ; sinon, on mène une recherche séquentielle dans la liste associée Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola recherche de « Michèle » (7), puis « Isabelle » (1) José Isabelle

Retrait d’un élément on calcule le code associé à cet élément x par la fonction d'adressage, soit p  on compare le contenu de la première information de la p-ième case de la table avec l'élément x si identité, on retire l’élément et on le remplace par l'élé-ment placé en tête de la liste associée, quand elle existe ; sinon on mène une recherche séquentiellement dans la liste associée, avec retrait si la recherche est positive Marc Paule Jo Izabelle Michèle Ali Jeanne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lola José retrait de « Michèle » (7), puis « Lola » (2) et enfin « Marc » (1) Isabelle

Algorithmes de la méthode d'adressage dispersé avec résolution externe type Info2 = agrégat principal : chaîne {première chaîne associée à un code donné} débord : Liste {objet Liste dont l'information est une chaîne} fin fonction code (uneChaîne) retourne (entier) {retourne la valeur donnée par la fonction d’adressage} paramètre (D) uneChaîne : chaîne

Procédure ajout (table, laChaîne) {ajoute l'élément laChaîne dans une table, par adressage dispersé, avec résolution externe des collisions} paramètres (D/R) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2 (D) laChaîne : chaîne variables ok: booléen ind: entier début ind  code(laChaîne) si table[ind].principal = " " alors {c'est la première occurrence de ce code d'adressage} table[ind].principal  laChaîne sinon {il y a collision: la place principale est déjà occupée, d’où ajout dans la liste de débordement,en tête} table[ind].débord.premier() table[ind].débord.insèreAvant(laChaîne) fsi fin

Fonction recherche (table, laChaîne) retourne (booléen) {recherche si l'élément laChaîne est présent dans une table, par adressage dispersé, avec résolution externe des collisions} paramètres (D) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2 (D) laChaîne : chaîne variables trouvé, ok: booléens; ind : entier   début  ind  code(laChaîne) trouvé  table[ind].principal = laChaîne   si non trouvé  {recherche de laChaîne dans la liste de débordement} alors table[ind].débord.premier() tant que non trouvé et non table[ind].débord.horsListe() faire trouvé  (table[ind].débord.info() = laChaîne) table[ind].débord.suivant() ftq fsi retourne (trouvé) fin

Fonction retrait (table, laChaîne) retourne booléen {retire, si possible, l’élément laChaîne d’une table construite par adressage dispersé avec résolution externe des collisions} paramètres (D/R) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2 (D) laChaîne : chaîne variables ok : booléen; ind : entier début ind  code(laChaîne) trouvé  (table[ind].principal = laChaîne)  si trouvé {alors retrait de laChaîne du champ principal de la table} alors retraitPrincipal (table, laChaîne, ind) sinon {recherche, et éventuel retrait, de laChaîne dans la liste de débordement} ok  rechercheRetraitDeborde (table, laChaîne, ind) fsi retourne (ok) fin

Procédure retraitPrincipal (table, laChaîne, ind) {retire l’élément laChaîne du champ Principal du code adresse ind; ce champ reçoit la valeur de tête de la liste de débordement si possible} paramètres (D/R) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2 (D) laChaîne : chaîne; ind : entier variables elt : Info2; ind : entier début si (table[ind].débord.vide()) {il n’y a pas eu de collision sur ce code}  alors {ce code n’adresse plus aucune chaîne} table[ind].principal  " " sinon {on récupère l’élément en tête de liste de débordement} table[ind].débord.premier() ; elt  table[ind].débord.info() {pour mettre sa valeur dans le champ principal} table[ind].principal  elt {et puis on retire la cellule de tête de la liste de débordement} table[ind].débord.supprimer() fsi fin

Fonction rechercheRetraitDéborde(table, laChaîne,ind) {recherce et retire, si possible, l’élément laChaîne de la liste de débordement du code adresse ind}  paramètres (D/R) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2 (D) laChaîne : chaîne; ind : entier variable trouvé : booléen début table[ind].débord.premier() trouvé  faux {recherche de laChaîne dans la !iste de débordement} tant que non trouvé et non table[ind].débord.horsListe() faire trouvé  (table[ind].débord.info() = laChaîne ) si non trouvé alors table[ind].débord.suivant() ftq {si trouvé, alors retrait dans la liste de débordement de la table} si trouvé alors table[ind].débord.supprimer() {le curseur est placé sur laChaîne} retourne (trouvé) fin

Complexité des algorithmes 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Complexité des algorithmes Complexité temporelle, complexité spatiale coût en temps: temps nécessaire à l'exécution coût en espace: espace mémoire nécessaire  Pire des cas, complexité moyenne  la complexité dans le pire des cas n'est pas nécessairement une bonne indication du coût en pratique (exemple de la méthode du simplexe) comment estimer le cas moyen ? Étude a priori, bancs d'essai et évaluation a posteriori étude théorique étude pratique de l'algorithme implémenté, bancs d'essai 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Complexité d'un problème, complexité d’un algorithme contraintes sur un problème par exemple, recherche d'un élément dans un tableau de n éléments non triés : si l'élément n'est pas présent, n comparaisons seront nécessaires pour le constater Attention: si le tableau est trié, une seule peut être suffisante !  parmi les différents algorithmes possibles, certains sont meilleurs que d'autres la comparaison des pires des cas peut ne pas être une bonne indication 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Complexité asymptotique Nécessité d'étudier la complexité pour de grosses quantités de données  Exemple : deux algorithmes pour une même tâche: A1 effectue n2 opérations de base, A2 effectue n.log2 n opérations Deux machines :  M1 effectue 210 (environ mille) opérations par sçconde M2 effectue 220 (environ un million d') opérations par seconde  Temps de calcul (en secondes) :   2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Complexité asymptotique (2) n = 210 210 10 1 < 0,01 n = 220 230 20. 210 220 20 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Rapidité de croissance comparée de certaines fonctions usuelles 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Calcul de la complexité d’un algorithme Calcul de la valeur d'un polynôme en un point   1. p  a[0]  2. pour i 1 à n faire {puissance(a, n) retourne an} 3. xpi  puissance (x , i)  4. p  p + a[i]* xpi  fpour Nombre de multiplications en 3 ‑‑> 1+2+3+...+ (n‑1) = (n‑l)n/2 en4 ‑‑> n Nombre d'additions en 4 ‑‑> n   soit au total: n(n + 3)/2 < n2 pour n > 3. 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Notations utilisées Grand O f(n) = 0(g(n)) s'il existe C> 0 et no > 0 tels que f(n)  C. g(n) pour tout n  no  Grand oméga f(n) = Ω(g(n)) s'il existe C> 0 et no > 0 tels que f(n)  C. g(n) pour tout n  no  Grand thêta f(n) = Θ(g(n)) s'il existe C1 et C2 > 0 et no > 0 tels que C1.g(n)  f(n)  C2. g(n) pour tout n  no 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Exemples • f(n) = O(1) f est majorée • f(n) = Ω (1) f est minorée  3n+2 = O(n) 3n+3 = O(n) 100n+6 = O(n) 10n2+4n+2=O(n2) 3n+3 = O(n2) 1000n2 + 100 n ‑6 = O(n2) 10n2+4n+2= O(n4) 6*2n + n2 = O(2n) ‑‑‑‑> c'est la plus petite fonction g(n) qui est intéressante 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Exemples (suite) 3n+3 = Ω (n) 100n+6 = Ω (n) 10n2+4n+2= Ω (n2) 6*2n + n2 = Ω (n2) 6*2n + n2 = Ω (n) 6*2n + n2 = Ω (1)  ‑‑‑‑> c'est la plus grande fonction g(n) qui est intéressante 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Temps d’exécution des algorithmes Temps constant (rares algorithmes, cf. adressage dispersé) O(1)  Temps logarithmique (exemple: recherche dichotomique) O(log2n) Temps linéaire (exemple: recherche séquentielle) O(n) Temps polynomial O(nk) (coûteux si k dépasse 3) quadratique O(n2) cubique O(n3) Temps exponentiel O(cn) (à éviter en général) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Comparaison des complexités d'algorithmes de la même classe Calcul de la valeur d'un polynôme en un point (1)  p  a[0] pour i  1 à n faire xpi  puissance(x, i) p  p + a[i]* xpi fpour n(n+1)/2 multiplications, n additions : algorithme en O(n2)  2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Calcul de la valeur d'un polynôme en un point (2) p  a[0] xpi  1 pour i  1 à n faire xpi  xpi * x p  p + a[i]* xpi fpour 2n multiplications, n additions :  algorithme en O(n) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Calcul de la valeur d'un polynôme en un point (3) p  a[n] pour i  n - 1 à 0, pas ‑1 faire p  p*x + a[i] fpour n multiplications, n additions algorithme en O(n) Complexité optimale pour cette classe d'algorithmes : en O(n) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Calcul de la complexité d’algorithmes de recherche simples Opérations élémentaires retenues: les comparaisons Recherche séquentielle dans un tableau non trié  complexité au pire n comparaisons complexité moyenne n/2 comparaisons algorithme en O(n) 2. Recherche séquentielle dans un tableau trié  complexité au pire n comparalsons complexité moyenne n/2 comparaisons 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Recherche dichotomique (dans un tableau trié 1) complexité au pire = complexité moyenne = nombre p d'intervalles considérés Exemple avec n = 8 = 23 tableau de 8 éléments niveau 0 niveau 1 niveau 2 niveau 3 Profondeur de l’arbre de décision de l’ordre de log2n : complexité algorithmique en O(log2n) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Données dans un ensemble d'éléments S muni d'un ordre total ordre | a < a (réflexif) partiel | a < b et b < c => a < c (transitif) | a ~ b et b < a => a = b (antisymétrique) total | a,b a=b OU a<b OU b<a (total) Problème du tri éléments al, ..., an ~ S donnés trouver une permutation p: { 1, . . ., n} { 1, . . .,n} telle que ap(1)  …  ap(n) En général, on s'intéresse plutôt au résultat de l'application de p 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Tris internes et tris externes internes: l'ensemble des données peut être traité en mémoire centrale externes: on opère sur une partie des données seulement  Tris d'entiers: méthode des seaux à trier: des entiers entre 1 et m principe: - on crée m files d'attente vides numérotées 0, …, m‑1 - on parcourt linéairement les données, et on place ai dans la file numérotée ai - on place les files d'attente bout à bout 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Exemple m = 10, 4 7 3 2 8 1 5 Résultat: 1, 2, 3, 4, 5, Estimation du coût : -        chaque élément peut être placé dans une file en temps constant, d'où O(n) pour les n éléments ; -        concaténation de m files en O(m) ; -        si m = 0(n), coût total en O(n). 1 2 3 4 5 7 8 6 9 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Cette méthode peut être généralisée à des k‑uplets d'entiers munis de l'ordre lexicographique, et plus généralement à des chaînes (de longueur variable): (s1,..., sp) < (t1,..., tq) si et seulement si  ou bien p < q et si = ti pour 1  i  p (s est un préfixe de t); ou bien il existe j tel que si < tj et si = ti pour tout i < j. Exemples: 634 < 63472 tri < triage 64589 < 647 seau < selle • Pour des suites de k‑uplets dont chaque composante est un entier entre 0 et m‑l, on obtient un algorithme de coût O((m+n)k). 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Cas général: -         on trie des éléments quelconques munis d'un ordre (total) -         la seule opération disponible est la comparaison de deux éléments   Exemple: tri de trois éléments a, b, c a<b a<c b<c a, b, c a<c b<c b, a, c a, c, b c, a, b b, c, a c, b, a 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Estimation du coût Arbre binaire de hauteur h => au plus 2h feuilles   •Théorème Un arbre de décision pour n éléments a une hauteur supérieure ou égale à log(n!).  En effet, un arbre de décision doit avoir au moins autant de feuilles que de résultats possibles, c'est‑à‑dire n! feuilles au moins. Donc la hauteur de cet arbre est  log(n!) • Estimation Formule de Stirling: n! approximé par (n/e)n, donc le nombre de tests nécessaires est minoré par n(logn ‑ log e) = nlog n ‑1,44n  => on ne peut pas espérer faire mieux que O(n log n) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Méthodes de tri élémentaires (1) Tri par sélection • Données: un tableau de n éléments à trier  • Principe: pour chaque position successive dans le tableau, on cherche l'élément qui occupera cette position dans le tableau trié, et on l'y place en permutant cet élément avec l'élément courant. reste à trier devrait se trouver dans la case courante liste triée case courante liste triée reste à trier 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 20 18 9 5 24 13 27 2 8 32 7 12 36 15 17 19 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithme de tri par sélection procédure triSélection (tab, nbre) {recherche pour chaque case l'élément qui doit y être affecté et y place cet élément} paramètre s (D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbre: entier variables indDuMin, position: entier début pour position  1 à nbre ‑1 faire indDuMin  sélection(tab, nbre, position,nbre) {recherche l’indice de l’élément minimum entre position et la fin de tab} échanger(tab, position, indDuMin) {échange deux positions dans tab} fpour fin   2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithme de tri par sélection (2) fonction sélection (tab, nbre, indDébut,indFin) retourne(entier) {recherche l'indice de l'élément minimum de tab entre indDébut et indFin} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX1 d'entiers (D) nbre, indDébut, indFin : entiers variables indDuMin, ind: entiers début indDuMin  indDébut pour ind  (indDébut + 1) à indFin faire si tab[indDuMin] > tab[ind] alors indDuMin  ind fpour retourner(indDuMin) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Méthodes de tri élémentaires (1) Tri par insertion • Données: un tableau de n éléments à trier  • Principe: la partie gauche est triée; on essaie d'insérer chaque nouvel élément dans cette liste, en décalant d'un cran la partie droite restante. place du nouveau reste liste triée nouveau reste liste triée reste à trier 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 20 18 9 5 24 13 27 2 8 32 7 12 36 15 17 19 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithme de tri par insertion procédure triInsertion (tab, nbre) {recherche pour chaque élément la case où il doit être affecté et y place cet élément} paramètre s (D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbre: entier variables indVal, numPlace: entiers début pour indVal  2 à nbre faire {recherche de 1'endroit où doit s'insérer la valeur placée en indVal} numPlace  Insertion(tab, nbre, indVal) {si la valeur n'est pas à insérer en fin de zône triée, l'insérer à la place voulue} si (numPlace  indVal ) alors {libère la position numPlace par décalage et y place tab[indVal]} décalerEtPlacer(tab, numPlace, indVal) fsi fpour fin   2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris   procédure décalerEtPlacer(tab, nPlace, indVal) {libère la position nPlace par décalage et y place tab[indVall} paramètre s (D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nPlace, indVal: entiers variables indDuMin, ind, deCôté: entiers début deCôté  tab[indVal] {faire un trou au rang nPlace en décalant les valeurs qui suivent d'un rang vers la droite} pour ind  indVal à nPlace + 1 pas ‑1 faire tab[ind]  tab[ind‑1] fpour tab[nPlace]  deCôté fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Simulation du décalage 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Deux algorithmes pour la recherche de place 1. Recherche séquentielle dans un tableau trié fonction insertion (tab, nbre, indV) retourne(entier) {renvoie la place à laquelle il faut affecter tab[indV] pour respecter l'ordre} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, indV: entiers variables dépassé: booléen; i, val, nbValTriées: entiers début val  tab[indV]; nbValTriées  indV ‑ 1 dépassé  faux; i  0 tant que i < nbValTriées ET non dépassé faire ii+ 1 dépassé  (tab[i] > val) ftq si dépassé alors retourne (i) sinon retourne (i+l) fsi fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Simulation du tri par insertion séquentielle 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris 2. Recherche dichotomique   fonction insertion (tab, nbre, indV) retourne (entier) {renvoie la place à laquelle ilfaut affecter tab[indV] pour respecter l'ordre} paramètre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers (D) nbr, indV: entiers variables id, if, im, val: entiers  début val  tab[indV]; id  0 if  indV + 1 tant que if ‑ id > 1 faire im  (id + if)/2 si (tab[im] > val) alors if im sinon id im fsi ftq retourne (id + 1) fin 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Simulation du tri par insertion dichotomique 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Complexité des tris élémentaires Coût du tri par sélection on fait (n‑l) + (n‑2) + ... + 1 tests de comparaison, soit en tout: n(n‑l)/2 comparaisons on peut être amené à faire n-1 échanges => algorithme en O(n2) Coût du tri par insertion: en moyenne n2/4 comparaisons n2/8 échanges deux fois plus dans le pire des cas => ici encore algorithme en O(n2) 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Tris indirects Problème : tri sur différents critères On veut mémoriser les résultats des tris par nom, par taille, par date Rep[1] Rep[2] Rep[3] nom toto.C toto.o toto taille 20 457 3 456 5 248 date 12.04.01 13.04.01 15.04.1 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Solution : utilisation de tableaux d’indices On utilise trois tableaux différents qui contiennent non les agrégats, mais les indices des agrégats dans le tableau triNom 3 1 2 triTaille 2 3 1 triDate 1 2 3 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Tris indirects (suite) Dans l’algorithme de tri, la comparaison de deux agrégats se fait relativement à un critère (nom, taille, date) : précède(i, j, Critère, tab) fonction qui retourne vrai si le fichier tab[i] précède le fichier tab[j] relativement au critère Critère 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris

Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris Fin du volume 6 2003-2004 Algorithmique 6 : Recherche, complexité, tris