Mécanique des fluides et hémodynamique Cours du Pr J-L BARAT ED Pr G BAILLET

v2 v1 V3

Equation de continuité Soit un fluide incompressible dans un tube ou une artère indéformable S1v1 = S2v2 Si le rayon r2 est la moitié de r1 V2 est égale à V1 multipliée par 1 2 4 8

N’oublions pas que S2 = π r22 Le rayon est divisé par 2 La section est divisée par 4 Sv est constant La vitesse est multipliée par 4

loi de Pascal Un barrage retient l’eau d’une rivière à une hauteur de 50 m. Calculer la pression qui s’exerce sur le pied de la muraille.

Entre la surface et le fond du bassin 1 2 P2 = P1 + r g h r = 103 kg m-3 g = 10 m s-2 h = 50 m P1 = 10 5 Pa = 1 atm P2 =105 + 50x10x103 P2 =6 105 P2 = 6 atm

Pression sur une surface horizontale d’un fluide au repos 0 10 20 30 40 50 Barrage

La pression sur le pied du barrage est égale à la pression sur le fond en P2 Soit 6 atm

0 10 20 30 40 50

P + r g z + r v2 = charge totale EQUATION DE BERNOULLI P + r g z + r v2 = charge totale 1 2 v2 v1 V3

Ecoulement horizontal P + 1/2 r v2 = constante v2 v1 V3

Écoulement horizontal v2 v1 V3

Le théorème de Bernoulli est établi à condition que : Fluide parfait (non visqueux, dépourvu de frottements) Incompressible (masse volumique constante) S’écoulant en régime laminaire (chaque élément a une vitesse parallèle au sens général) Débit constant

Section 1 La pression latérale sur la paroi P est égale à 1 atm : à quelle hauteur monte le manomètre à eau?

Pression latérale sur la paroi 1 atm = 105 Pa P = r g z z = P / r g z = 105 / (103 x10) Z = 10 m

Savoir changer d’unité 1 atmosphère = 1 atm = 105 Pa 10 m H2O = 105 Pa 1 mm Hg = 133,3 Pa

Nous envisageons maintenant Fluide réel ( non parfait) , visqueux et dans lequel siègent des frottements Dont le type d’écoulement sera parfois laminaire, parfois turbulent

Schématiquement, écoulement dans un tube selon 2 modalités possibles : laminaire ou turbulent

Force de viscosité Soient 2 lames parallèles de surface A identique, distantes de Dx, 1 lame est animée d’une vitesse v1, l’autre d’une vitesse v2 = v1+ Dv Dx F v v + Dv

= taux de cisaillement, en s-1 Pour maintenir une vitesse relative constante Dv entre les deux lames, il faut exercer une force sur la lame supérieure pour vaincre la force de frottement ou encore la force de viscosité F = h A Dv / Dx h coefficient de viscosité (Pa.s) Dv/ Dx gradient de vitesse entre les lames = taux de cisaillement, en s-1

h êta h est liée à l'interaction entre les molécules Unité : Poiseuille ou Pa . s remplace la Poise (Poise = 0,1 Pa . s) 22

Liquide visqueux newtonien h ne dépend que de la température h indépendant de Dv/Dx Ex : EAU

(V-3) Fluides newtoniens et non newtoniens Fluide newtonien si h est constant, à température donnée Fluide non newtonien si à température donnée, h n’est pas constant Ex : le sang dépend, à température donnée, de Dv/ Dx

Le sang n’est pas un fluide newtonien

3 grands facteurs influencent  du sang h 3 grands facteurs influencent  du sang La composition du sang Le calibre vasculaire La vitesse d’écoulement 26

h augmente quand l ’hématocrite augmente (relation non linéaire) 45%

h ----------- sang AO plasma capillaires Dv/Dx Liquide newtonien Taux de cisaillement bas dans les gros troncs, agrégation des GR, rouleaux physiologiques Taux de cisaillement élevé dans capillaires, h diminue, déplacement favorable des GR

Effet Fahreus-Lindquist Si diamètre > 10 mm et < 1-2 mm (cas de la microcirculation dans artérioles et veinules),  diminue avec le diamètre = effet Fahreus-Lindquist (1931) Effet d’autant plus important que le vaisseau est petit, car le manchon plasmatique (3 μm) occupe une fraction d’autant plus grande que le vaisseau est petit h diamètre 10 mm 1mm

Artérioles à coussinet Écrémage plasmatique Le sang dérivé prélevé au voisinage de la périphérie du vaisseau est donc moins riche en GR  donc hématocrite diminué Ex: Microcirculation rénale Artérioles à coussinet Orifice d’entrée de la collatérale près de l’axe de l’artère  le sang dérivé est prélevé au voisinage du centre donc plus riche en GR : Hématocrite conservé ou augmenté

V-4 Ecoulement laminaire Quand le débit est faible, toutes les particules ont une vitesse parallèle au sens général de l’écoulement. Les lames liquides glissent les unes sur les autres : le régime est LAMINAIRE

2r Vmax Considérons un tube de section constante et différentes lames de fluide à l’intérieur du tube La lame directement au contact de la paroi a une vitesse nulle car soumise à un frottement maximal La lame directement voisine a une vitesse très faible Et de proche en proche la vitesse des lames augmente et atteint une valeur maximale au centre du tube

LOI DE POISEUILLE Remarques 8 h r4 Dl DP LOI DE POISEUILLE Remarques Si DP/ est constant (résistances en parallèle, cas fréquent dans le système cardiovasculaire) : Plus la viscosité est élevée et plus le débit est faible Le débit est proportionnel à la puissance 4 du rayon : une faible variation de rayon va entraîner de fortes variations de débit Dl

[ ] Remarques Analogie électrique Q πr4 8 h DP = Dl ΔV = R I exprime que la perte de charge est proportionnelle au débit, soit l’équivalent de la loi d’ohm : R H = [ ] est la résistance hydraulique Q πr4 8 h DP = Dl [ ] __ ΔV = R I

hydrodynamique R1 R2 R3 R1 R2 R3

(V-5) Ecoulement turbulent S’oppose au laminaire comme l’ordre au désordre Absence de parallélisme des vitesses de chaque lame Effet du frottement plus important Perte d’énergie plus importante Le profil des vitesses n’est plus parabolique La loi de Poiseuille n’est plus applicable = La perte de charge n’est plus proportionnelle au débit Le régime turbulent est bruyant

Nombre de Reynolds Les conditions déterminant l’un ou l’autre des régimes dépendent de la vitesse moyenne d'écoulement v, du rayon r , de la viscosité h , et de la masse volumique r Règle empirique : Nombre de Reynolds (1883) Re = 2 r v r/ h Re renseigne sur stabilité d’un écoulement Re est un nombre sans dimension

Re < 2400 : toujours laminaire (faible v, faible Q) Re > 10 000 : toujours turbulent (forte v, fort Q) Entre 2400 et 10 000 : instable Pour 2400 , se définit la vitesse critique en dessous de laquelle le régime est toujours laminaire Pour 10 000, se définit la vitesse au dessus de laquelle le régime est toujours turbulent

V-6 Applications physiologiques Ecoulement dans l'aorte au repos v moyenne : 25 à 30 cm.s-1 r #1 cm r # 103 kg/m3 vc = 24 cm.s-1 h # 2 x 10-3 Pa.s Régime laminaire (auscultation silencieuse des vaisseaux) à l ’effort, Q donc v augmentent, Turbulences (Souffle audible : le régime turbulent est bruyant) 

Equation de continuité Le fluide est incompressible Le tube peut être déformable Le débit est constant Q = S v avec S section et v volume Q = ½ ρ v2 avec ρ masse volumique et v vitesse

Manomètre à mercure. Mesure de la pression artérielle Le terme ρgh avec h hauteur des niveaux de mercure correspond: À la pression dans l’artère À la somme: pression dans l’artère+ pression atmosphérique à la différence : pression dans l’artère – pression atmosphérique à la pression dans l’artère divisée par la pression atmosphérique à la pression atmosphérique divisée par la pression dans de l’artère

Le manomètre Artère 1 h 2 3 P = P2 = P3 = Patm + rgh

Mesure de la pression artérielle Liquide utilisé : Mercure Hg PA maximale ou systolique = 130 mm Hg PA minimale ou diastolique = 80 mm Hg PA moyenne au cours du cycle cardiaque = 100 mm Hg

Mesure de la pression veineuse Les pressions sont beaucoup plus faibles  La hauteur observée avec un manomètre à mercure est beaucoup trop faible  mesure trop peu précise r g h= P – P atm  En diminuant r , h sera plus grand : on remplace le mercure par de l’eau (r est 13 fois plus faible, donc h est 13 fois plus grand) h veineux = 10 cm d’eau

Loi de Poiseuille Elle s’applique à un fluide parfait Elle suppose que l’écoulement est laminaire Elle suppose que la masse volumique reste constante Elle suppose que la charge du fluide reste constante Elle suppose que la pression hydrostatique reste constante

On considère du sang s’écoulant dans une artère de section circulaire constante et de rayon r. sa vitesse d’écoulement est la vitesse critique égale à 25 cm s-1

Quelles sont les réponses exactes? Le débit reste constant. Si le rayon est divisé par 2, le régime d‘écoulement est toujours turbulent Le débit reste constant. Si le rayon est divisé par trois, le régime d’écoulement peut être turbulent Si la vitesse est multipliée par trois le régime peut être soit laminaire soit turbulent Si la vitesse est divisée par 2, un souffle peut parfois être entendu

Résistances du système vasculaire Pour un écoulement laminaire dans les éléments suivants : gros troncs artériels (1) artères moyennes (2), artérioles (3) capillaires (4) veinules et veines (5) en série classer par ordre décroissant les valeurs en pourcentage des résistances hydrauliques de ces éléments 1-2-3-4-5 2-1-3-4-5 3-2-1-4-5 3-4-2-1-5 3-4-2-5-1

En admettant que l’écoulement laminaire et que les éléments sont disposés en série donc D

Taux de cisaillement et viscosité du sang Un liquide non newtonien présente une viscosité dépendante du taux de cisaillement La viscosité du sang est plus faible dans les capillaires que dans l’aorte Le profil des vitesses du sang n’est plus parabolique dans les capillaires Un liquide newtonien a un profil de vitesse plat (même vitesse en tout point d’un liquide) L’expression du taux de cisaillement est Δx/Δv

Le taux de cisaillement s’écrit Δx/Δv ???

LOI DE LAPLACE ou relation pression-tension exprime la relation d’équilibre qui existe entre la pression à l’intérieur du vaisseau et la tension superficielle de la paroi : 2 forces antagonistes Pour un vaisseau cylindrique T = P x r ( r rayon du vaisseau), à condition que le rayon soit très petit devant sa longueur

T plancher > T plafond Crosse aortique T plancher > T plafond Histologie : fibres élastiques plus nombreuses au plancher Conséquence en pathologie : dilatation du plafond uniquement et rupture

T plancher > T plafond Aorte Crosse aortique T plancher > T plafond Histologie : fibres élastiques plus nombreuses au plancher Conséquence en pathologie : dilatation du plafond uniquement et rupture

Le pouls Sachant que la distance entre le ventricule gauche et l’artère radiale au poignet est de 1 m, que la vitesse moyenne d’écoulement est de 20 cm s-1, que la vitesse de propagation de l’onde de pression dans le sang est 4 m s-1 quel est temps de propagation du pouls entre le VG et le poignet (en s) 50 5 0,5 0,25 0,025

Le Pouls Onde de pression qui se propage dans le sang Ne pas confondre vitesse de propagation (sujet jeune 4 m/s et sujet âgé 12 m/s) et vitesse d’écoulement du sang (0,3 m/s dans l’aorte) Origine : choc entre masse de sang éjectée lors de la systole et sang aortique Propagation d’une onde de pression

FIN