Logique et Raisonnement Scientifique A. Lecomte Gödel et lincomplétude

Gödel et lincomplétude de larithmétique formelle Kurt Gödel : : « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés ». (Kurt Gödel et Albert Einstein à Princeton)

« Le développement des mathématiques vers plus de précision a conduit à la formalisation de vastes domaines de telle sorte que les démonstrations puissent être développées en suivant un petit nombre de règles mécaniques. Les systèmes formels les plus étendus à ce jour sont, dune part les Principia Mathematica de Whitehead et Russell et, dautre part, le système de Zermelo- Fraenkel de la théorie axiomatique des ensembles. Ces deux systèmes sont si vastes que toutes les méthodes de démonstration utilisées aujourdhui en mathématiques peuvent y être formalisées, cest-à-dire peuvent être réduites à un petit nombre daxiomes et de règles de déduction. Il semblerait donc raisonnable de conjecturer que ces axiomes et ces règles de déduction suffisent pour décider de toutes les questions mathématiques qui peuvent être formulées dans le système concerné. Dans ce qui suit, il sera montré quil nen est pas ainsi, mais plutôt, que dans les deux systèmes cités, il existe des problèmes relativement simples de la théorie des nombres entiers ordinaires dont on ne peut décider sur la base des axiomes ».

Le théorème de Gödel Idée centrale: à partir du moment où nous avons un système formel incluant la possibilité dexprimer des relations arithmétiques (les nombres entiers et leurs propriétés élémentaires), alors ce système est capable dexprimer des propriétés sur lui-même, et si nous sommes capables de construire rigoureusement dans un tel système une formule analogue à celle du Menteur, alors de deux choses lune : ou nous acceptons quil y ait une contradiction dans le système ou nous acceptons quil y ait des formules vraies qui ne puissent pas être démontrées et cest bien sûr la deuxième possibilité que nous choisirons.

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 0 : 6 s : 7 ( : 8 ) : 9, :10 x : 11 y : 13 z : 17 p : 11 2 q : 13 2 r : 17 2 P : 11 3 Q : 13 3 R : 17 3 var. numériques var. propositionnelles var. prédicatives

Quelques précisions 1- la numérotation de Gödel ( x )( x = s y )

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : – 1 – 2 deux lignes possibles dune déduction (substitution de 0 à y dans la ligne 1)

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Exemple : – 1 m – 2 n k = 2 m 3 n « la déduction de nombre de Gödel k est une démonstration de la formule de nombre de Gödel n »

Etendre la numérotation de Gödel aux déductions Plus généralement : Lassertion « la suite de formules de nombre de Gödel x est une démonstration de la formule de nombre de Gödel z » se trouve reflétée dans le système par une relation arithmétique Dem(x, z) Mais cette relation possède elle-même un nombre de Gödel!

Construction de «la formule G » La formulepossède un nombre de Gödel Elle signifie : « il nexiste pas de démonstration (représentée par un nombre de Gödel x) de la formule de nombre de Gödel z » Soit sub(m, p, q) le ndG obtenu en substituant dans la formule de ndG m, à la variable de ndG p, le chiffre q

Construction de «la formule G » Soit la formule : elle dit: « la formule obtenue en substituant dans la formule de ndG y, à la variable de ndG p, le chiffre y, nest pas démontrable » elle possède un nombre de Gödel n, quon peut substituer à y, on obtient: G =

Etude de la formule G Quel est son nombre de Gödel? On la obtenue en substituant au sein de la formule de ndG n, à la variable de ndG p, le chiffre n, ce qui est la définition de sub(n, p, n) donc son ndG est sub(n, p, n) dautre part elle dit que « la formule qui possède le ndG sub(n, p, b) nest pas démontrable » Donc elle dit delle-même quelle nest pas démontrable

Le cœur de la démonstration Si G est démontrable, G est démontrable: – Supposons G démontrable, il existe une suite de formules de ndG k telle que Dem(k, sub(n, p, n)), – Si Dem(x, z) alors cette formule est démontrable, – Donc Dem(k, sub(n, p, n)) est démontrable, – Donc ( x) Dem(x, sub(n, p, n)) = G est démontrable On prouve aussi: si G est démontrable, G est démontrable. Donc ni G ni G ne sont démontrables (si larithmétique est consistante!)

… mais G est vraie! G nest pas démontrable Mais cest justement ce que dit G!!!! Donc G est vraie! Doù lexistence dune formule vraie non démontrable

2 ème théorème de Gödel Larithmétique est-elle consistante? La consistance sexprime par la formule : A = La formule « A G » est démontrable Si A était démontrable… G le serait donc aussi! Donc A nest pas démontrable

Conséquence fondamentale La consistance de larithmétique formelle ne peut pas être démontrée dans la théorie de larithmétique formelle On ne peut pas prouver au moyen de méthodes finitistes à la Hilbert la non- contradiction dune théorie incluant au minimum larithmétique formelle Échec du programme de Hilbert

Comment interpréter le théorème de Gödel? Interprétations abusives… cf. Régis Debray (Le Scribe, p. 70) : « Du jour où Gödel a démontré qu'il n'existe pas de démonstration de consistance de l'arithmétique de Peano formalisable dans le cadre de cette théorie (1931), les politologues avaient les moyens de comprendre pourquoi il fallait momifier Lénine et l'exposer aux camarades "accidentels" sous un mausolée, au Centre de la Communauté nationale » !!!!!!!!!!! Lire : J. Bouveresse : « prodiges et vertiges de lanalogie » (ed. Raisons dagir)

Machines de Turing Le problème de larrêt

Que fait cette machine?

* * 0

# * * * 1

# * * * 1

# * * * 1

# * * * 1

# * * * _ 1

# * * * _ _ 2

# * * * _ * 3

# * * * _ * 3

# * * * _ * 4

# * * * _ * 5

# * * * _ * 5

# * * * _ * 5

# * * * _ * 0

# # # # _ * * * * 4

# # # * _ * * * * 6

# # # * _ * * * * 6

# # * * _ * * * * 6

# # * * _ * * * * 6

# * * * _ * * * * 6

# * * * _ * * * * 6

* * * * _ * * * * 6

* * * * _ * * * * 6

7

Et après?

H : machine « arrêt » H calcule la fonction h: h(m, n) = * * ou * - selon que : la machine n°m sarrête ou ne sarrête pas sur la donnée codée par lentier n

La machine T sarrête sur la donnée n n codé par n * dun seul tenant T démarre sur le * le plus à gauche Toutes les autres cases sont blanches T sarrête dans un état quelconque

* 7 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m (7: état de sortie de H)

* 8 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m

* * _ 10 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m

* * _ _ 10 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m

* * _ _ _ 10 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m

* * _ _ _ _ 10 Premier cas: machine n°m sarrête sur la donnée m

Notre machine ne sarrête jamais

*7*7 Deuxième cas: machine n°m ne sarrête pas sur la donnée m

* _ 8 Deuxième cas: machine n°m ne sarrête pas sur la donnée m

* _ 9 Deuxième cas: machine n°m ne sarrête pas sur la donnée m Stop!

Notre machine sarrête sur la donnée m

« Notre » machine possède elle- même un numéro Soit k ce numéro

Quel est le comportement de M sur ce numéro k? Si la machine n°k boucle indéfiniment sur k: Si la machine n°k sarrête sur k: M boucle indéfiniment sur k M sarrête sur k Mais… M, cest la machine n°k

Si la machine n°k sarrête sur k, la machine n°k boucle sur k Si la machine n°k boucle sur k, la machine n°k sarrête surk

contradiction