La géométrie

Plan de l’animation 1. (Collectif) Un peu de théorie : buts de la géométrie, programmes, constats, obstacles, principes didactiques, images mentales en géométrie... 2. (2 Groupes) - Un exemple de séquence - Quels outils des TICEs peut-on utiliser dans les activités d’apprentissage de la géométrie? 3. (2 Groupes) Inversion des groupes

1. les buts de l’enseignement de la géométrie

1. les buts de l’enseignement de la géométrie - Développer la «vision dans l'espace». Comment représenter ce que nous voyons autour de nous (schéma, plan, vue en perspective...) ?... - Apprendre à raisonner : nécessité d'articuler observation, intuition, connaissance et rigueur. Initier aux aspects culturels et esthétiques : urbanisme, architecture, arts visuels… Connaître quelques utilisations courantes et professionnelles : lecture de plans ou de cartes, logiciels, astronomie...

2. Les programmes

2. Les programmes Cycle 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

2. Les programmes Cycle 3 L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.

2. Les programmes Cycle 3 Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment. L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.

2. Les programmes Cycle 3 Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle : - description, reproduction, construction ; - vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ; - agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité. Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

2. Les programmes Cycle 3 Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.

PROGRESSIONS CP - Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, à droite de...). - Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle. - Reproduire des figures géométriques simples à l’aide d’instruments ou de techniques : règle, quadrillage, papier calque. - Reconnaître et nommer le cube et le pavé droit. - S’initier au vocabulaire géométrique. CE1 - Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. - Utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit de l’angle droit. - Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs. - Repérer des cases, des nœuds d’un quadrillage. - Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé...

PROGRESSIONS CE2 Dans le plan Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. - Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre. - Construire un cercle avec un compas. - Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. - Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque. - Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée. Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. Problèmes de reproduction, de construction - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle. - Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.

PROGRESSIONS CM1 Dans le plan Reconnaître que des droites sont parallèles. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre. - Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. -Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. Dans l’espace Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. Problèmes de reproduction, de construction Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

PROGRESSIONS CM2 Dans le plan Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. - Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments. - Construire une hauteur d’un triangle. - Reproduire un triangle à l’aide d’instruments. Dans l’espace Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. - Problèmes de reproduction, de construction - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

Le socle commun - Palier 1 Compétence 3 - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle

Le socle commun - Palier 2 Compétence 3 - Reconnaître, décrire, nommer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle (et ses cas particuliers), parallélogramme, cercle. - Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. - Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : côté, sommet, angle, milieu, diagonale, centre d’un cercle, rayon, diamètre, axe de symétrie. - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître, décrire et nommer une pyramide. - Reconnaître et compléter un patron de solide droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet (d’un solide).

Le socle commun - Palier 2 Compétence 3 Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. Percevoir et reconnaître parallèles et perpendiculaires. Résoudre des problèmes de reproduction, de construction.

3. Les constats

3. Les constats Accumulation de définitions et de lexique. Beaucoup de fiches, peu de manipulation ou des manipulations sans objectif d'apprentissage Séances sans lien évident Conséquence : construction des savoirs de manière isolé. Les concepts ne sont pas replacés parmi d'autres plus généraux ou plus particuliers. Exemple : lien entre carré, losange, rectangle. Dogme géométrique : construction règle/compas/papier blanc Construire les savoirs en diversifiant les approches : dessin à main levée, feuille pointée ou lignée...

4. les obstacles

4.1. Trois espaces… Le micro-espace Le méso- espace Le macro- espace LES OBSTACLES 4.1. Trois espaces… Le micro-espace Le méso- espace Le macro- espace

4.2. La valeur du « UN » UN carré a ses quatre côtés égaux... LES OBSTACLES 4.2. La valeur du « UN » UN carré a ses quatre côtés égaux...

4.3. Un vocabulaire … Nouveau Polysémique Coin ? Pic ? Bout pointu ? LES OBSTACLES 4.3. Un vocabulaire … Coin ? Pic ? Bout pointu ? Sommet ! Angle ! Nouveau Polysémique

4.3. Un vocabulaire … Déjà familier ? Qu’est-ce que c’est ? LES OBSTACLES 4.3. Un vocabulaire … Déjà familier ? Qu’est-ce que c’est ? Un rectangle penché ?

Un vocabulaire POUR : - Nommer précisément les objets, les particularités - Créer chez l’élève la prise de conscience de la spécificité géométrique - Accéder à l’abstraction - Le maître utilise ce vocabulaire et en facilite l’accès et la maîtrise progressive pour les élèves.

⊥ // 4.4. Multiplicité des signes P X Une droite Un segment LES OBSTACLES 4.4. Multiplicité des signes Une droite Un segment L’angle droit ⊥ // Des symboles Un point X P

5. Quelques principes didactiques

une vision “points singuliers” Quelques principes didactiques 5.1. principe de pluralité Lors de l'introduction d'un concept présenter des exemples riches et variés. Par exemple, pour une même figure, présenter différentes tailles, différentes orientations... une vision-surface une vision-ligne une vision-évidée une vision “points singuliers”

5.1. Principe de pluralité Éviter les représentations stéréotypées : Quelques principes didactiques Éviter les représentations stéréotypées : - Les triangles équilatéraux. -Des rectangles qui ont un rapport entre les côtés de 1,5 à 2,5. - Orientations des carrés et des losanges d'où la nécessité de manipuler des « formes-objets ».

5.2. Principe de hiérarchie Quelques principes didactiques 5.2. Principe de hiérarchie Nécessité de replacer un concept parmi d'autres plus généraux, plus particuliers. Ex : l'étude des quadrilatères ne peut se faire de manière isolée.

Diagramme ensembliste de Venn pour la classification des quadrilatères

Définition du parallélogramme Oui Non

Diagramme ensembliste de Venn pour la classification des quadrilatères

Quelques principes didactiques 5.3. principe de négation Lors de la construction d'un concept, il faut le situer par rapport au non-concept. • Expliquer pourquoi les figures A et B sont des polygones et la figure C ne l'est pas. • Expliquer pourquoi les solides A et B sont des polyèdres et le solide C ne l'est pas. A B C A B C • Proposition : utiliser un tri ou une séance non/oui

Quelques principes didactiques 5.4. le principe dynamique Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à partir desquelles les concepts géométriques peuvent se construire, à condition que chaque type d'activité soit programmé au moment approprié. Manipulations avec un objectif précis.

5.5. le principe de constructivité Quelques principes didactiques 5.5. le principe de constructivité • La construction intuitive devra précéder l'analyse et la pensée réflexive. • Permettre aux élèves de dessiner un carré à main levée (à partir de repères, points ou grilles) puis progressivement les doter de savoirs qui vont leur permettre d'affirmer qu'il s'agit bien d'un carré (longueurs des côtés et angles par exemple)

5.6. le principe de variabilité perceptuelle Quelques principes didactiques 5.6. le principe de variabilité perceptuelle • Pour tenir compte des différences individuelles dans la formation des concepts, le même concept est présenté sous la forme de plusieurs situations équivalentes. • Par exemple, un travail d'étude des solides peut être mené à partir de différents outils : logiciel, photos, squelettes, perspectives, construction de patrons sur papier ligné, blanc...

Le prisme droit à base triangulaire Il est composé de 4 faces rectangulaires et de 2 faces triangulaires. Il a 9 arêtes et 6 sommets.

6. Les images mentales en géométrie

6. Les images mentales en géométrie Comment se fabriquer un stock dynamique d'images mentales géométriques reliées les unes aux autres par de nombreuses relations et comment les exploiter dans des activités variés ?

LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités de classements ou de tris : Dans le plan : côtés droits/courbes/mélangés - réguliers/non réguliers - avec ou sans axe de symétrie - polygones : en fonction du nombre de côtés Dans l'espace : - solides qui roulent/ceux qu'on pose - par nombre de faces ou de sommets ou d'arêtes - par formes de faces

LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités d’association : Dans le plan : - par forme : l’un est l’agrandissement de l’autre - une pièce et sa moitié

LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités d’association : Dans l'espace : - polyèdre et les polygones qui le composent - squelette et solide

6.2. Développer la dynamique des images mentales LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.2. Développer la dynamique des images mentales Travail de dénomination Pendant les activités de classements, la place du langage est très importante : - Faire verbaliser et expliquer tout choix , tout critère. - On utilisera les noms véritables : trapèze, hexagone, pyramide, prisme...

6.2. Développer la dynamique des images mentales LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.2. Développer la dynamique des images mentales Travail d’évocation C'est un rappel conscient des images engrangées dans le plan ou l'espace. reconnaissance à l'aveugle jeu du portrait jeu de kim jeu des erreurs

6.3. Prévoir l’extension des images mentales LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.3. Prévoir l’extension des images mentales Par compositions But : créer des RELATIONS entre ce monde d'objets perçus d'abord comme ISOLES. Dans le plan : - composition libre - reproduction de modèles - composer une figure avec un ensemble de pièces fixé. - essayer de composer le plus possible de figures dont le nom est donné.

6.3. Prévoir l’extension des images mentales LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construire 6.3. Prévoir l’extension des images mentales Dans l'espace : - construire les polyèdres à partir des polygones (jeu de la marchande ou du vendeur)

6.3. Prévoir l’extension des images mentales LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construire 6.3. Prévoir l’extension des images mentales Par puzzle type tangram Retrouver la composition d'un modèle à partir d'une silhouette noire sans ligne de coupes (en réduction ou non)

En posant les pièces l'une sur l'autre, on remarque: LESIMAGES MENTALES EN GEOMETRIE construction 6.4. PENSER AUX SUPERPOSITIONS En posant les pièces l'une sur l'autre, on remarque: - des relations d'inscription: - des relations de fractions simples:

- Reconnaître des formes simples dans un ensemble complexe, LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Une fois que l'élève est capable de : - Reconnaître des formes simples dans un ensemble complexe, - Classer et nommer ces formes par des mots appropriés, - Composer des figures, il va être confronté à des créations de dessins géométriques. Les formes deviennent outils pour dessiner en devenant gabarits.

LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Créations des dessins géométriques 7.1 Utiliser tous les jeux de répétitions : - frises : créer une bande infinie - étoiles, anneaux, rosaces - pavages

LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Création de dessins géométriques 7.2 Transformation et construction de figures La moisson des formes : associer gabarit et règle non graduée. Les 2 fonctions de la règle non graduée : - joindre 2 points placés sur le dessin - prolonger un segment placé sur le dessin

7.2 Transformation et construction de figures LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Création de dessins géométriques 7.2 Transformation et construction de figures Figures inscrites : il s'agit de dessiner l'une en disposant de l'autre. Exemples : - pentagone et étoile - hexagone et triangle équilatéral

Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011 BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques, spatialité et maîtrise de la langue : au cycle 2 Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011

BIBLIOGRAPHIE Devenir élève par les apprentissages géométriques Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011

Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 Par ERMEL Roland Charnay , Jacques Douaire , Jacques Colomb Septembre 2006

Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 Par Hélène Gosset et Catherine Taveau Juin 2010

Travaux géométriques – Apprendre à résoudre des problèmes au cycle 3 BIBLIOGRAPHIE Travaux géométriques – Apprendre à résoudre des problèmes au cycle 3 Par IREM de Lille Sceren

BIBLIOGRAPHIE La moisson des formes Bernard Bettinelli Aléas Editeur

BIBLIOGRAPHIE La moisson des formes Bernard Bettinelli Aléas Editeur

De la géométrie à l’école maternelle BIBLIOGRAPHIE De la géométrie à l’école maternelle Irem de Besançon PUF