Grandeurs et Mesures Cycle des approfondissements Animation pédagogique Mercredi, 15 décembre 2010 Pierre-Marie FONTAINE – I.E.N. Béthune 1

Sommaire 1 – Importance de ce domaine mathématique 2 – Qu'est-ce qu'une grandeur ? 3 – Les grandeurs : quoi ? A quel niveau ? 4 – Quelle démarche pour enseigner les grandeurs ? 5 - Conclusion

1 – Importance de ce domaine mathématique Un carrefour A l’intersection des mathématiques et de leur utilisation dans la vie courante A l’intersection de la géométrie et des travaux numériques

Des enjeux... Révélateur des liens que les élèves envisagent entre les mathématiques et leur environnement Les résultats aux évaluations nationales montrent un taux de réussite peu important (Le champ GRANDEURS ET MESURE en 2009 : 60,9% des écoles de la circonscription ont un taux de réussite moyen : 36,8% ; en 2010 : 43 % ont un taux de réussite de 38,2%)

Mise en situation Perception…. Mesure + calcul Raisonnement Les procédures de résolution Perception…. Mesure + calcul Raisonnement

1 – Qu'est-ce qu'une grandeur ? Une grandeur est un attribut d’un objet, d’une personne, d’un phénomène, qui est susceptible d’augmentation ou de diminution.

Qu’est-ce qu’une grandeur ? Les grandeurs non mesurables Ex : la dureté d’un matériau les grandeurs repérables Parmi les grandeurs, on peut distinguer Les grandeurs mesurables Ex : la longueur les grandeurs non repérables Ex : la gentillesse Sommaire 7

Exemples : longueur, masse, durée, angle les grandeurs de base Exemples : longueur, masse, durée, angle On distingue également les grandeurs dérivées Exemples : aire, volume, vitesse Remarques : - Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet . Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on peut définir l’aire de cette surface. - Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur n’est pas toujours facile. Exemple : comment définir la masse d’un objet ? A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons : Sommaire 8

Les objets A, C et D ont même masse. objet A objet B « B est plus lourd que A » objet A objet C objet A objet D Les objets A, C et D ont même masse. - Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital) A l’école, il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation de balances permettant des comparaisons directes entre objets) Sommaire 9

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer. C'est à l'aide de manipulations permettant de faire des comparaisons qu'on peut approcher la notion de grandeur - Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer. Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ? Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul. - Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se faire sans recours à ce tableau) Sommaire 10

Trop souvent les situations proposées se limitent à des activités sur les nombres, car un passage trop rapide vers la mesure. A la portée des Maths CM1 – Ed Hachette 2006

On y ajoute également la monnaie Les grandeurs rencontrées à l'école primaire On y ajoute également la monnaie

3 – Quoi ?A quel niveau ? Au cycle 1 : Utiliser des repères dans la journée, la semaine, l’année En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (petit/grand ; long/court). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la taille, la masse, la contenance.

Cycle 2 Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix - Repérer des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures. - Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse. - Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs. - Connaître et utiliser l’euro. - Résoudre des problèmes de vie courante. - Utiliser un calendrier pour comparer des durées. - Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d’euro. - Mesurer des segments, des distances. - Résoudre des problèmes de longueur et de masse Sommaire 14

Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. Cycle 3 Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus. Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités La monnaie à reprendre dans les résolutions de problèmes. Sommaire 15

- Vérifier qu’un angle est droit en utilisant l’équerre ou un gabarit. Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : . Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ; . Masse : le kilogramme, le gramme ; . Capacité : le litre, le centilitre ; . Monnaie : l’euro et le centime ; . Temps : l’heure, la minute, la seconde, le mois, l’année. - Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers. - Vérifier qu’un angle est droit en utilisant l’équerre ou un gabarit. - Calculer le périmètre d’un polygone. - Lire l’heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus. Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations. Reporter des longueurs à l’aide du compas. Formules du périmètre du carré et du rectangle. Aires - Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. - Classer et ranger des surfaces selon leur aire. Angles - Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. - Estimer et vérifier en utilisant l’équerre, qu’un angle est droit, aigu ou obtus. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final. - Formule de la longueur d’un cercle. - Formule du volume du pavé droit (initiation à l’utilisation d’unités métriques de volume). Aires - Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle en utilisant la formule appropriée. - Connaître et utiliser les unités d’aire usuelles (cm², m² et km²). Angles - Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. - Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. 16

Extraits du « socle commun de connaissances et de compétences » Palier 1 CE1 - Utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure - Être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs - Résoudre des problèmes de longueur et de masse Palier 2 CM2 - Utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions - Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l’aire d’un carré, d’un rectangle et d’un triangle - Utiliser les unités de mesures usuelles - Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions Sommaire 17

Des difficultés provenant des liens avec le vocabulaire courant ou des idées préalables des élèves Quelques écueils à éviter lors des observations et des manipulations Quelques exemples : - les longueurs - les masses - la durée - le volume, la contenance

4 - Quelle démarche pour enseigner les grandeurs ?

Première étape : comparaisons (directes et indirectes) et classement d’objets permettant de «faire apparaître » la nouvelle grandeur que l’on veut étudier. Principalement au cycle 1, complétée au cycle 2 Au cycle 3 : angles, aires

A partir du cycle 3 : aires (à partir du CM1) Deuxième étape : mesurages en utilisant différents « objets » choisis arbitrairement, appelés « étalons » (première approche de la mesure, la grandeur de l’étalon est l’unité choisie pour effectuer le mesurage). A partir du cycle 2 A partir du cycle 3 : aires (à partir du CM1)

Troisième étape : introduction d’une unité « légale » (connaître l’étalon choisit dans notre pays comme « unité » commune à tous). A partir du cycle 2 : longueur, masse, contenance, temps, monnaie A partir du cycle 3 : conversion, périmètre, aire, capacité – aires (à partir du CM2)

Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités (une seule unité ne suffit pas pour rendre compte d’une grandeur, il faut donc bâtir un système « décimal » d’unités ou un système particulier, comme la durée). A partir du cycle 3

Cinquième étape : établissement de formules (exemple : formule donnant l’aire d’un rectangle, l’aire d’un triangle) A partir du cycle 3

Quelques compléments....

- Les élèves doivent être placés dans des situations de MESURAGE - Les élèves doivent être placés dans des situations de mesurage avec sensibilisation sur le caractère approximatif de certains résultats. - Ils doivent apprendre à estimer la mesure avant de mesurer ( à l'aide de repères connus) - Apprentissage à utiliser différents instruments de mesure, à comprendre leur fonctionnement - Mais ne pas non plus donner l'idée qu'une mesure s'obtient uniquement par un mesurage effectif (prise possible d'informations sur le document par exemple).

Les unités usuelles - Elles doivent être introduites comme nécessité d'avoir des référence communes à tous - Aucune virtuosité sur les conversions d'unités même si leur place est réaffirmée dans les nouveaux programmes - Le tableau de conversion ne doit être proposé en premier (ou comme indispensable) mais qu'après un certain nombre d'exercices permettant aux enfants de comprendre la régularité du système métrique. - Par contre, familiarisation avec la signification des préfixes kilo (1 000), hecto (100), déca (10), déci (1/10), centi (1/100), milli (1/1 000) (en rapport avec le système décimal) dans le cas des longueurs, des masses et des contenances.

Sur les écritures 23 cm= 2,3 dm 4 × 37cm = 1,48m 4m × 7m =28 m² ● 1m= 100cm 1h= 60min 23 cm= 2,3 dm ● 3cm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm 4 × 37cm = 1,48m 4m × 7m =28 m² Plusieurs unités peuvent coexister : ce sont des calculs sur les grandeurs. ( écritures dites « complexes ») ● Ensuite, après le travail sur les décimaux, on écrira 1m 7 cm= 1,07 m ou même 2h15min= 2,25 h (travail poursuivi au collège) ¼ d'heure : 15 min ou ¼ de 60 minutes : 25 min ou 0,25h

Des formules ● Formule du périmètre d'un carré et d'un rectangle ( CM1) ● Formule de la longueur d'un cercle ● Formule du volume du pavé droit ( unités métriques du volume) ● Formule de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle.

Résoudre des problèmes... ● Comparaison et classement des objets selon la mesure d'une grandeur ( pertinence de la mesure quand beaucoup d'objets ou objets non déplaçables) ● Construction d'objets de grandeur donnée ( en lien avec la géométrie) ou d'objets identiques à un objet donné ( en ayant recours à la mesure) ● Puis convertir d'une unité à l'autre ( en privilégiant les relations qui relient les principales unités usuelles, sans recourir trop vite aux tableaux de conversion, vides de sens et sources d'erreurs) ● sans oublier les problèmes pour chercher....

5 - Conclusion Les grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à percevoir au travers des objets qui les portent qu’un adulte voire un enseignant peut le penser. Le protocole expérimental de comparaison des objets relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le mieux aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne faut donc pas le négliger. La mesure d’une grandeur ne doit pas être présentée de façon trop précoce sous peine de masquer la grandeur qu’elle est censée représenter. L’apprentissage s’étalant toujours dans la continuité du cycle 1 au cycle 3 et sur les trois années du cycle 3, il faut offrir plusieurs occasions aux élèves de revenir sur les notions abordées.