Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Une progression possible en analyse IV. Croissance comparée

I. Les points du programme - l'extension du champ des suites et des fonctions... - l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles...

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes. Souci d’une formation cohérente pour les élèves : - un point d’entrée commun à plusieurs disciplines - un développement spécifique à chacune On privilégiera les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde.

II. Introduction de la fonction exponentielle - Activités d’introduction - Etude de l’équation : y’ = y La fonction exponentielle, premières propriétés - Extension à l’équation : y’ = ky . - Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction définie par x  e kx

Le problème physique : la radioactivité L’observation du physicien L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps Dt à partir de l’instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation Dt, est une constante l. On peut donc écrire :

Passage de Dt à dt

Le travail du mathématicien Recherche d’une fonction f vérifiant f ’ = kf (résolution d’une équation différentielle notée aussi y ‘ = ky) on traite en fait le cas k= 1 et f(0) = 1 Utilisation de la méthode d’Euler : si x1 = x0+h, approximation de f(x0+h) par y1 = f(x0) + h f ‘(x0) puis approximation de f(x1+h) par y2 = y1 + h f ‘(x1) ….

Définition de f(t) pour t réel arbitraire En posant h = t/n, la méthode d’Euler donne f(t) » f(0) x (1 + h)n = (1 + t/n)n Le calcul de f(t) semble donc dépendre de n (nombre de pas pour aller de 0 à n) On a donc l’idée d’un passage à la limite, mais la justification de l’existence de f reste difficile à ce stade et doit donc être admise.

Autre exemple d’activité introduisant la fonction exponentielle

Étude d’un gaz à effet de serre A partir d’une série de données (ici : quantités cumulées de CO2), on effectue une modélisation 1) au moyen d’une suite numérique 2) au moyen d’une fonction dérivable sur R

A. Données Quantités cumulées de CO2 (en milliards de tonnes) provenant de la consommation de pétrole et de l’activité industrielle mondiales années 1940 1945 1950 1955 1960 1965 CO2 184,4 212,8 243,3 277,4 320,6 372,6 1970 1975 1980 1985 1990 1995 438,9 521,5 615,2 710,0 817,8 931,8

A. Données

B. Modélisation au moyen d’une suite numérique On note y0 la quantité de CO2 émise jusqu’en 1940 , …., yn celle émise jusqu’à l’année 1940 + 5n. On calcule à 10 – 2 près les variations relatives entre deux mesures consécutives ainsi que la moyenne m des valeurs obtenues. Par la suite, on prend m = 0,15.

B. Modélisation au moyen d’une suite numérique

B. Modélisation au moyen d’une suite numérique On considère alors la suite (qn) définie par q0 = y0 et C’est une suite géométrique de raison (1 + m). On représente les suites (qn) et (yn) dans un même repère.

II. Modélisation au moyen d’une suite numérique

B. Modélisation au moyen d’une suite numérique L’accroissement entre deux mesures consécutives (aux instants n et n + 1) est proportionnel à la mesure à l’instant n. En effet, de la relation on déduit :

C. Passage au continu On recherche une fonction dérivable sur R, dont la courbe ajuste le nuage de points {(0 ;y0)…..(11 ;y11)}

C. Passage au continu L’origine des temps étant 1940, on note f(t) la quantité cumulée de CO2 émise à la date t (en années). A partir de la relation : on émet l’hypothèse que l’accroissement de la concentration entre les instants t0 et t0 + h ( pour h très petit), est proportionnel à la mesure à l’instant t0.

C. Passage au continu Le coefficient de proportionnalité étant la valeur de m obtenue au II, on a donc : Lorsqu’on fait tendre h vers 0 , on obtient la relation :

D. Méthode d’Euler  On cherche une solution approchée de (E) : f ’ = m f et f(0) = 184,39 sur l’intervalle [0 ; 11]. Pour des valeurs de h « suffisamment petites », f ’(t0) est proche de On a donc :

D. Méthode d’Euler Soit N un entier naturel non nul donné et h = On pose t0 = 0 et tk = t0 + kh (k {0 ; 1 ; … ;N}) On définit alors la suite de points Mk (tk, zk) où zk = zk – 1(1 + mh) et z0 = 184,39. On trace ensuite les segments [MkMk + 1].

D. Méthode d’Euler

Commentaires On démontre qu’il existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant : f ’ = m f et f(0) = 184,39. C’est la fonction définie par : f(x) = 184,39 exp(mx). Pour m suffisamment petit, 1 + m  em Comme la suite (qn) est de raison 1 + m, on a : qn  (em)n q0

III. Progression en analyse Limites de suites et de fonctions. Suites adjacentes. Convergence des suites croissantes et majorées. Continuité et tableaux de variation. Etude de la fonction exponentielle (existence en utilisant des suites adjacentes). Primitives. Introduction et étude la fonction logarithme népérien. Fonctions exponentielles et puissances entières. Fonction racine n-ième. Croissance comparée. Intégration.

Etude de l’équation y’ = y L’existence d’une fonction  vérifiant ’ =  et  (0) = 1 est admise. Propriété 1 :  est strictement positive. (on considère la fonction F définie par F(x) =  (x)  (-x) F’ est nulle, donc F est constante et vaut ((0))2 = 1 de plus  (-x) = 1 /  (x) )

Propriété 2 : Soient deux réels a et  Propriété 2 : Soient deux réels a et  . Il existe une unique solution de l’équation f ‘ =  f vérifiant f(0) = a. (si f(x) = a  ( x), f est une solution et si g est une autre solution, on pose F(x) = g(x)  (- x) et on montre que F’ = 0. Comme F(0) = a, pour tout x, F(x) = a d’où g(x) = a /  (- x) = a  ( x) = f(x))

Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1 Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une constante  telle que f vérifie f ‘ =  f (ii) Pour tous réels a et b : f(a+b) = f(a) f(b) ((i) implique (ii) en montrant que g et h définies par g(x) = f(a+x) et h(x) = f(a)f(x) sont égales (ii) implique (i) en dérivant par rapport à x dans l’égalité f(a+x) = f(a)f(x) puis en prenant x = 0)

Notation Par récurrence et en utilisant la propriété 3, on montre que pour tout entier n (négatif ou positif) et pour tout réel a :  (an) = ((((((a))n On convient de noter  (1) = e, d’où  (n) = en Par prolongement à R,,, pour tout réel x,  (x) = ex

Existence de la fonction exponentielle Théorème: L’équation y’ = y admet une solution prenant la valeur 1 en 0. (après avoir montré que pour tout entier naturel n et pour tout réel x > -1, (1+x)n  1 + nx , on démontre que, pour tout réel x, les suites (un(x)) et (vn(x)) définies par : un(x) = (1 + x/n)n et vn(x) = (1x/n)-n sont adjacentes. La limite commune définit une fonction solution)

Croissance comparée Terminale ES On positionnera à l’aide d’un grapheur les courbes représentatives de x  ex et de x  lnx par rapport à celles de x  xn. Terminales S et ES On établira la limite en + de ex/x et de lnx/x ; on en déduira la limite en  de xex ; on aboutira aux règles opératoires : à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x et les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x.

Remarques « on établira » : une démonstration est attendue. « on aboutira »  et « l’emporte sur » : on va expliciter le terme « l’emporte », faire la distinction entre : « la courbe d’une des fonctions passe au dessus de la courbe de l’autre fonction » et « la limite du quotient des fonctions est infinie ».

Tableur et (ou) grapheur Avec les fonctions x  xn et x  ex ou Avec les fonctions x  x et x  lnx Permet de visualiser la position relative des courbes, ou le signe de la différence, puis le comportement du quotient, pour arriver à la notion de limite.

Démonstrations - Un travail utilisant plusieurs notions d’analyse (étude de fonctions, théorème des valeurs intermédiaires) permet de d’étudier le signe de xn  ex. - Un autre travail permet de démontrer les résultats concernant les limites à l’infini des quotients.

Remarque Il est nécessaire de faire en sorte que, lorsqu’un élève écrit la règle opératoire : « à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x et les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x », il sache bien que cela correspond à une notion de limite infinie. Une démonstration des résultats semble donc importante.

Programme S On étudiera les fonctions x  exp(-kx) et x  exp(-kx2) , avec k  0 et on illustrera leur décroissance rapide.  Ces fonctions sont très utilisées en probabilité et en statistique, en théorie du signal, etc

Pistes de réflexion « on illustrera » : qu’entend on exactement par ce mot ? Est-ce la décroissance rapide des fonctions x  exp(-kx) et x  exp(-kx2) qu’on doit faire apparaître et alors la rapidité doit-elle être mesurée par rapport à quelque chose ou doit-on faire appel aux autres sciences pour montrer où interviennent ces décroissances rapides ?

Conclusion Cette partie du programme peut être traitée en plusieurs étapes, au fur et à mesure de l’introduction des fonctions et des résultats d’analyse. Elle est l’occasion : - de préciser du vocabulaire comme « l’emporte sur » - d’alterner les activités de visualisation (tableur, grapheur) avec le travail de démonstration.