Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 1 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits Cours/TD d'une heure, en demi promo, avril 2007 Jean-Paul Stromboni Questions clés de cette séance : pourquoi avons-nous besoin de filtres dans ce cours comment décrire laction dun filtre sur un signal quelle est laction dun filtre sur le spectre dun signal comment relier équation dun filtre et réponse harmonique peut-on déduire léquation dun filtre de la réponse fréquentielle souhaitée ? … Le filtre suivant est il causal ?Quelle est la fonction de transfert du filtre : Que réalise selon vous le filtre ?Quelle est la réponse impulsion- nelle de Ce filtre est il IIR ou FIR ?Comment trouver la réponse harmonique du filtre précédent ? Celui là est il stable ?Que vaut le gain statique de Savez vous déjà répondre à ces questions ?

Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 2 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Pourquoi avons nous présenté la notion de spectre ? Parce le principe de compression que nous étudions dans ce cours procède en découpant le spectre du signal à compresser Comment calculer le spectre dun signal ? En utilisant la transformée de Fourier discrète (TFD) : on note xn le signal à compresser (on le note en donnant son n ième échantillon), nous avons vu que le spectre de xn vaut : Comment dailleurs les ordinateurs calculent ils le spectre ? Ils utilisent lalgorithme de FFT qui calcule seulement N points du spectre également espacés sur laxe des fréquences Et pourquoi avons-nous besoin de filtres ? Parce que pour découper le spectre dun signal en bandes de fréquences, on utilise des filtres si possible rectangulaires Comment programmer un filtre ? Pour filtrer un signal dentrée noté xn, il faut calculer les valeurs successives du signal filtré noté ici yn, en utilisant une équation aux différences (EaD), de la forme générale : Léquation ci-dessus est dite non-récursive si les ak sont nuls le filtre est alors à réponse impulsionnelle finie (FIR), de durée MTe, la longueur de filtre est le nombre de termes du second membre, ici M.

Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 3 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Quelle est laction dun filtre sur le spectre du signal filtré ? Un filtre multiplie le spectre du signal dentrée par sa réponse harmonique, le résultat obtenu est le spectre du signal filtré : est donc la réponse harmonique du filtre, cest une quantité complexe fonction de la fréquence f. Exercice : comment concevoir un jeu de filtres qui découpent le spectre dun signal xn en quatre bandes égales, entre 0 et fe/2 Comment déduire la fonction de transfert en z dun filtre à partir de son équation aux différences ? On utilise la transformée en z dont voici la définition ci-dessous (z est une variable complexe dont la valeur nest pas précisée): On fait la transformée en z de léquation aux différences en appliquant la règle suivante pour les décalage dindices : si alors Léquation du filtre se transforme en produit de la forme : Y(z)=H(z)X(z), H(z) est la fonction de transfert en z du filtre. Exercices : calcul de fonctions de transfert en z, calcul de transformées en z simples (impulsion, échelon)

Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 4 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Comment obtenir la réponse harmonique dun filtre à partir de son équation aux différences ? On passe de Tz à TFD par un simple changement de variables : Préciser le changement de variable : Avec ce changement de variables, la relation précédemment établie Y(z)=H(z)X(z) devient : Doù la réponse à la question posée : En exercice : on pourra donner lexpression de la réponse harmonique de plusieurs filtres

Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 5 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Comment trouver léquation dun filtre dont on donne la réponse harmonique ? On utilise la TFD inverse On développe le produit de convolution yn On voit que yn est la sortie dune équation aux différences non récursive Il y a cependant des conditions de mise en œuvre, pour pouvoir programmer ce filtre : 1.Le nombre de termes hn non nuls doit rester fini, on ne pourra pas calculer une infinité de termes 2.Les valeurs de hn doivent rester réelles, il suffit pour cela que la réponse harmonique choisie soit une fonction paire de la fréquence. En conclusion, et à ces deux contraintes près : exercice: calculer hn pour les filtres suivants:

Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés. Page 6 Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Comment calculer la réponse harmonique à partir de la réponse impulsionnelle hn ? Si xn est une impulsion, on a Et yn est la réponse impulsionnelle du filtre Or, le spectre de xn vaut Le spectre du signal filtré yn vaut donc Conclusion : la réponse harmonique dun filtre est la transformée de Fourier de sa réponse impulsionnelle Exercices : péciser lexpression de la réponse harmonique des filtres non récursifs