Exemple 2 PGCD(210;126) Exercice 1 PGCD(1085;837) Exercice 2 Les billes Exercice 3 Le patchwork Exercice 4 Nombres premiers entre eux Exercice 5 Vrai ou Faux ? 1. 2. 3. Exercice 6 La collection Exercice 7 Le coffret de CD Exercice 8 Les palindromes

Déterminer le PGCD de 210 et 126 avec l’algorithme des différences. Exercice Déterminer le PGCD de 210 et 126 avec l’algorithme des différences. a - b Plus grand a Plus petit b 210 126 84 126 84 42 84 42 42 42 42 Donc PGCD (210 ; 126) = 42

Exercice 1 Déterminer le PGCD de 1085 et 837 par la méthode de votre choix. - Algorithme des différences - Algorithme d’Euclide

a - b Plus grand a Plus petit b 1085 837 248 837 248 589 589 248 341 341 248 93 248 93 155 155 93 62 93 62 31 62 31 31 31 31 Donc PGCD (1085 ; 837)= 31

PGCD de 1085 et 837 Reste Plus grand a Plus petit b 1085 837 248 837 248 93 248 93 62 93 62 31 62 31 Donc PGCD (1085 ; 837) = 31

Exercice 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires Exercice 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets tels que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ; tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, 108 billes rouges et 135 billes noires. Il faut que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Le nombre de paquets doit être un diviseur de 108.

tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, 108 billes rouges et 135 billes noires. Il faut que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Le nombre de paquets doit être un diviseur de 135.

Le nombre de paquets doit être un diviseur commun à 108 et 135. 108 billes rouges et 135 billes noires. Le nombre de paquets doit être un diviseur commun à 108 et 135. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ? Il faut que le diviseur commun à 108 et 135 soit le plus grand possible : c’est PGCD (108 ; 135)

Déterminons le PGCD(108 ; 135) avec l’algorithme des différences : Plus grand a Plus petit b a - b 108 81 54 27 Donc PGCD (108 ; 135) = 27 Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets.

Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans 108 billes rouges et 135 billes noires. Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? Nombre de billes rouges par paquet : 108  27 = 4 Nombre de billes noires par paquet : 135  27 = 5

Exercice 3 Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents. Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm. 1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche.

Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents. Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm. 2. Combien de carrés devra-t-elle utiliser ?

1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche. 210 cm 135 cm

210 cm 135 cm Pour que les carrés soient tous entiers, il faut que le côté soit un diviseur de la longueur 210 cm et de la largeur 135 cm.

De plus, il faut que le côté des carrés soit le plus grand possible. 210 cm 135 cm De plus, il faut que le côté des carrés soit le plus grand possible. On cherche donc le plus grand diviseur commun de 210 et 135.

La dimension de chaque carré devra être 15 cm. Déterminons le PGCD de 210 et 135 avec l’algorithme d’Euclide. 210 Plus grand a Plus petit b Reste 135 75 60 15 Donc PGCD (210 ; 135) = 15 La dimension de chaque carré devra être 15 cm.

2. Combien de carrés devra-t-elle utiliser ? 210  15 = 14 Il y aura 14 carrés sur la longueur. 135  15 = 9 Il y aura 9 carrés sur la largeur. 14 × 9 = 126 Elle devra utiliser 126 carrés.

Exercice 4 1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 2. Rendre irréductible la fraction la fraction . 682 496

1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? 682 et 496 sont divisibles par 2 donc ils ne sont pas premiers entre eux. 2. Rendre irréductible la fraction la fraction . 682 496 Pour rendre irréductible la fraction on la simplifie par le PGCD de 682 et 496.

Recherche du PGCD de 682 et 496 682 a - b 496 310 186 124 62 Plus grand a Plus petit b a - b 496 310 186 124 62 Donc PGCD (682 ; 496) = 62

2. Rendre irréductible la fraction la 682 496 682 496 62  11 11 = = 62  8 8

Exercice 5 Vrai ou Faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. 1. est un nombre décimal. 2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. 3 25

1. est un nombre décimal. 3 25 VRAI 3 25 = 0,12 La partie décimale de 0,12 contient un nombre fini de chiffres après la virgule donc 3 25 est un nombre décimal.

2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 570 et 795 sont divisibles par 5 donc ils ne sont pas premiers entre eux. FAUX

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. - Preuve arithmétique - Preuve algébrique

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 1er cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 0 …0 + ….0 = …0 Donc la somme est aussi un multiple de 5.

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 2ème cas : avec un multiples de 5 se terminant par 0 et l’autre par 5. …0 + ….5 = …5 Donc la somme est aussi un multiple de 5.

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 3ème cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 5. …5 + ….5 = …0 (avec une retenue) Donc la somme est aussi un multiple de 5. VRAI

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve algébrique : Un multiple de 5 s’écrit sous la forme : 5 × … 1er multiple de 5 : 5 × a = 5a 2ème multiple de 5 : 5 × b = 5b Somme des 2 multiples de 5 : 5a + 5b

3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve algébrique : Somme des 2 multiples de 5 : 5a + 5b Pour montrer que la somme est un multiple de 5, on factorise par 5 : 5a + 5b = 5 × (a + b) La somme est bien un multiple de 5. VRAI

Exercice 6 La collection Otto, le fils de M. Coland, collectionne les autocollants. Il demande à ses copains de deviner combien il en possède et leur donne les informations suivantes : - Mon nombre d’autocollants est inférieur à 100 ;

- Mon nombre d’autocollants est impair ; Mon nombre d’autocollants est divisible par 9  ; Si je les mettais par paquets de 5, il m’en resterait 3. A vous de trouver combien Otto possède d'autocollants. Expliquez la réponse.

- Mon nombre d’autocollants est inférieur à 100 ; On cherche un nombre de deux chiffres : … … - Mon nombre d’autocollants est impair ; Le chiffre des unités est : 1; 3 ; 5 ; 7 ou 9. …1 - …3 - …5 - …7 - …9

…1 - …3 - …5 - …7 - …9 Mon nombre d’autocollants est divisible par 9 ; La somme des chiffres doit être divisible par 9  : …1 - …3 - …5 - …7 - …9 8 6 4 2 - …9 9

81 - 63 - 45 - 27 – 9 - 99 Si je les mettais par paquets de 5, il m’en resterait 3. 81 = 16 × 5 + 1 63 = 12 × 5 + 3 45 = 9 × 5 + 0 27 = 5 × 5 + 2 Donc Otto Colland possède 63 autocollants. 9 = 1 × 5 + 4 99 = 19 × 5 + 4

Exercice 7 Le coffret de CD Pour les fêtes de fin d’année, la maison de disque “ Cool music ” veut lancer un coffret de CD d’artistes variés. Pour approvisionner tous les magasins, la maison de disque livrera ses coffrets dans des caisses de 80 cm de longueur, 60 cm de largeur, 40 cm de hauteur.

La maison de disque veut réaliser des coffrets cubiques, les plus grands possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse. Quelle doit être l’arête de ces coffrets et combien de tels coffrets pourra-t-on placer dans chaque caisse ?

80 cm 60 cm 40 cm Arête Les coffrets doivent remplir entièrement la caisse. Donc l’arête d’un coffret doit être un diviseur de la longueur, de la largeur et de la hauteur de la caisse.

80 cm 60 cm 40 cm Arête Les coffrets doivent être les plus grands possibles donc il faut trouver le plus grand diviseur commun à 80, 60 et 40. Il faut donc calculer PGCD (80 ; 60 ; 40) avec la méthode de votre choix.

Diviseurs de 80 : 1–2–4–5–8–10–16–20–40–80 Diviseurs de 60 : 1–2–3–4–5–6–10–12–15–20–30–60 Diviseurs de 80 : 1–2–4–5–8–10–20–40 Diviseurs communs à 20, 60 et 80 : 1–2–4–5–8–10–20 Donc PGCD (80 ; 60 ; 40) = 20

80  20 = 4 coffrets sur la longueur 60  20 = 3 coffrets sur la largeur 40  20 = 2 coffrets sur la hauteur 4 × 3 × 2 = 24 On pourra placer 24 coffrets dans chaque caisse.

Exercice 8 Les palindromes Les nombres 272 ou 19 591 sont des palindromes. Cela signifie qu’en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre. Déterminer tous les palindromes des nombres de 4 chiffres divisibles par 9.

Solutions : 1881 2772 3663 4554 5445 6336 7227 8117