II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL 63- Régime sinusoïdal II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL

II.1. Résolution de l’équation 64- Intro II.1. Résolution de l’équation II.1.a. Introduction On va travailler en régime harmonique, c’est à dire avec une seule fréquence fixe f. On génère donc une onde sinusoïdale en régime permanent. On peut revenir à ce modèle de base pour toute autre forme d’onde que l’on peut décomposer en série de Fourier. v(x,t)=V(x).cos(wt+fv(x)) i(x,t) = I(x).cos(wt+fi(x))

séparation des termes en x et en t 65- Complexe II.1. Résolution de l’équation v(x,t)=V(x).cos(wt+f(x)) i(x,t) = I(x).cos(wt+f(x)) fréquence et déphasage amplitude en x notations complexes séparation des termes en x et en t avec propriété : v(x,t)=Real(v(x,t))

II.1.b. Télégraphistes sous forme complexe II.1. Résolution de l’équation II.1.b. Télégraphistes sous forme complexe Equations variationnelles complexes : on note : (constante de propagation)

Impédance caractéristique II.1. Résolution de l’équation Comme précédemment on obtient la somme de 2 ondes, l’onde incidente et l’onde réfléchie On avait Zc Impédance caractéristique de la ligne Constante de propagation

II.1. Résolution de l’équation 68- onde progressive II.1. Résolution de l’équation II.1.c. Onde progressive g est de la forme : a + j b Expression des ondes de propagation module phase

II.1. Résolution de l’équation 69- module phase II.1. Résolution de l’équation De même Expression des ondes de propagation module phase

II.2.a. Caractéristiques de ces ondes II.2. Paramètres fondamentaux II.2.a. Caractéristiques de ces ondes l’onde de tension incidente Soit On pose de forme complexe On a alors En x donné, la tension est une fonction sinusoïdale du temps de périodicité : En t donné, la tension est une fonction sinusoïdale de x de périodicité :

Ondes progressives amorties 71- vitesse de phase II.2. Paramètres fondamentaux Vitesse de phase : Solution de : De même, la tension réfléchie possède la même décroissance exponentielle de l’amplitude suivant x (mais ici du récepteur vers le générateur), les même périodicité en temps et en abscisse, et la même vitesse de phase mais dans le sens inverse. Ondes progressives amorties

Ondes progressives amorties II.2. Paramètres fondamentaux Ondes progressives amorties t0 t2ns t4ns amplitude arbitraire 5 10 15 20 25 30 profondeur (m)

73- constante propagation II.2. Paramètres fondamentaux II.2.b. La constante de propagation Paramètre d’affaiblissement ou atténuation en Nepers par mètre (1dB=0.1151 Np) Paramètre de phase exprimé en radians par mètre (1rad=57.3°) Lignes sans pertes :

74- constantes secondaires II.2. Paramètres fondamentaux II.2.c. Constantes secondaires Tangente de pertes, pertes dans le diélectrique Par analogie, on définit tangente de pertes dans les conducteurs On trouve alors

Impédance caractéristique 75- sans pertes II.3. Cas particuliers II.3.a. Ligne sans pertes Sans pertes R=0 G=0 d=0 j=0 pas d’atténuation x Impédance caractéristique

II.3.b. Ligne faibles pertes II.3. Cas particuliers II.3.b. Ligne faibles pertes R et G faibles d et j sont faibles également revient à : et on trouve alors : pas de dispersion car indépendant de w

Constante de propagation 77- dispersion II.3. Cas particuliers Si G#0 (souvent le cas) Constante de propagation Si BF et G faible: indépendant de w, donc pas de dispersion (amplitude)

II.3.c. Ligne téléphonique II.3. Cas particuliers II.3.c. Ligne téléphonique G négligeable C important L faible LG << RC Lw << R L/R << C/G d << j

dépendant de w, donc dispersion en phase 79- ligne téléphonique II.3. Cas particuliers dépendant de w, donc dispersion en phase

II.3. Cas particuliers II.3.d. Ligne bifilaire m0,s d e,tan(d) D Pertes actives dans le diélectrique négligeables

II.3. Cas particuliers Paramètres primaires L1w W/km R1 f 81- ligne bifilaire II.3. Cas particuliers Paramètres primaires 100k 10k L1w W/km 1k R1 100 10 1 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz f BF :R1>>L1w HF :R1<<L1w

Ligne bifilaire en BF (fréquences vocales) Paramètres primaires : 82- ligne bifilaire BF II.3. Cas particuliers Ligne bifilaire en BF (fréquences vocales) m0,s d e,tan(d) D Paramètres primaires : R1>>L1w faibles pertes diélectriques : d<<j

II.3. Cas particuliers Propagation à 1kHz 49000km/s 1dB/km 556W (-45°) 83- ligne bifilaire BF II.3. Cas particuliers Propagation à 1kHz 49000km/s 1dB/km 556W (-45°) Impédance :

84- distorsion II.3. Cas particuliers Vitesse, impédance et atténuation varient avec la fréquence distorsion d’amplitude et de phase. 0.1 1 10 0.2 0.3 0.4 0.5 f(kHz) Vitesse de phase

II.3. Cas particuliers 10km (0.03ms) 5km 1km 0.1km 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 85- étalement II.3. Cas particuliers Perte de gain (dB) 0.1km Etalement temporel (ms) 1km 0. 6 -10 0. 5 5km 0. 4 10km (0.03ms) -20 0. 3 5km 10km 0.2 -30 0. 1 1km 0.1km f (KHz) f (KHz) 0.1 1 10 0.1 1 10

Condition de Heaviside II.3. Cas particuliers Condition de Heaviside Pour que a soit minimum, il faut : Cela donne la relation : D’où l’on déduit la condition de Heaviside : L G =R C

‘ pupinisation ’, Procédé Pupin (1899) II.3. Cas particuliers Problème : Solution : augmenter artificiellement L (la self linéique) = charger la ligne tout les km ‘ pupinisation ’, Procédé Pupin (1899)

Ligne bifilaire en HF (Ethernet, xDSL) 88- ligne bifilaire HF II.3. Cas particuliers Ligne bifilaire en HF (Ethernet, xDSL) m0,s d e,tan(d) D 2 à 10 W/km Paramètres primaires : Faibles pertes 2 mH/km Zc = 100 W a= 1 à 5 mN/km 5 nF/km vp= 2.8 à 2.9. 108 m/s 10 -5 S/km

89- ligne bifilaire HF II.3. Cas particuliers d dépend de la fréquence, donc la vitesse également!!!! L’affaiblissement dépend de la fréquence !!!! La qualité de la ligne bifilaire en HF dépend surtout de la qualité du diélectrique Conséquences : faibles pertes ohmiques, mais limite vers les HF >10kHz : - l ’atténuation - l ’impédance caractéristique varie (ADSL => filtrage adaptatif)

II.3. Cas particuliers Principe de la technologie ADSL : Utiliser les fréquences inutilisées par la voix. A=asymétrique

II.3. Cas particuliers Modulation DMT sur la bande 26kHz-1.1MHz 1) Division de la bande de fréquences en bandes de 4kHz (256). 2) Chaque sous-bande =4000 canaux de 1Hz. 3) Chaque canal code jusqu’à 8 bits (256 niveaux) 1 2 3 4 5 -1

II.3. Cas particuliers Conclusion 92- portée ADSL II.3. Cas particuliers Conclusion Adapter le nombre de bit par canal en fonction -de l’affaiblissement (donc de la distance parcourue) exemples ADSL 1: - 6km 1,5 Mb/s - 4.8km 2,0 Mb/s - 4km 6,3 Mb/s - 3km 8,5 Mb/s -du bruit tenir compte des parasites dus aux ondes

II.3. Cas particuliers II.3.e. Ligne coaxiale 10 à 70 W/km 280 mH/km Faibles pertes 50 nF/km 10 -5 S/km

Variation des pertes électriques avec la fréquence 94- ligne coaxiale II.3. Cas particuliers Variation des pertes électriques avec la fréquence 6 10 5 10 4 10 L1w W/km 3 10 2 10 R1 10 1 100 1 10 100 1 10 100 Hz kHz MHz f

Hypothèse des faibles pertes 95- ligne coaxiale II.3. Cas particuliers Hypothèse des faibles pertes Zc On note l0=c0/f Si l’hypothèse des faibles pertes est vérifiée, la ligne coaxiale est exempte de distorsion de phase.

II.3. Cas particuliers ad ac Minimisation de ac d2/d1=3,6 d2/d1 96- ligne coaxiale II.3. Cas particuliers Affaiblissement À minimiser en choisissant d1 et d2 ac ad 1 2 3 4 5 6 1.4 1.8 2.2 2.6 Minimisation de ac d2/d1=3,6 d2/d1

Exemple de la télévision II.3. Cas particuliers Exemple de la télévision d2=9.5 d1=2.6 er=1 er=2.3 Zr Zc=75W Zc=50W

II.3. Cas particuliers II.3.f. Vitesse de groupe modulation f -fi f0 fi f0 f0-Df f0+Df cos(2p fi t +F)

99- vitesse de groupe II.3. Cas particuliers Propagation de la porteuse modulée par une sinusoïde notons : Dw=wi, et b(w-Dw)=b0-Db b(w+Dw)=b0+Db L’équation de propagation de l’onde est donnée par : vitesse de phase : vitesse de groupe :

II.3. Cas particuliers Signification de la vitesse de groupe 100- modulation II.3. Cas particuliers Signification de la vitesse de groupe onde se déplaçant à la vitesse w/b paquet d’ondes se déplaçant à la vitesse Dw/Db . 1 noeud est tel que V=I=0 (pas de transfert d’énergie possible) l’énergie se déplace avec la vitesse de l’enveloppe vg= vitesse de propagation de l’énergie