Mathématiques et Radiosité M. Leblond Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Laboratoire d’Informatique du Littoral Université du Littoral Côte d’Opale

Cadre de mes travaux Thèse de mathématiques (juin 2001) : « Propriétés des matrices de la radiosité. Application à la résolution du système de la radiosité. » Deux domaines : mathématiques appliquées : M. Prévost du LMPA informatique graphique : C. Renaud du LIL Articles : « H-selfadjoint matrices. Application to radiosity. » M. Leblond Numerical Linear Algebra with Applications (janvier 2002). « Hybridization techniques for fast radiosity solvers » M. Leblond, F. Rousselle, C. Renaud CGI 2000 Genève. Proceedings in IEEE Computer Society 28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : la radiosité classique Modèle simplifié d'illumination globale (Goral 1984) : Simulation de tous les échanges d'énergie dans un milieu fermé Émission et réflexion sont les seuls phénomènes physiques pris en compte Énergie rayonnant de la surface d'un objet est diffuse 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : la radiosité classique Discrétisation de la scène en n facettes  système linéaire (90 % du temps) résolution (10% du temps)  base de données  illumination 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : le système de la radiosité Φ = I - RF est la matrice des interactions R = diag(1,…,n) avec i la réflectance de la ième facette F est la matrice des facteurs de forme b est le vecteur des exitances énergétiques x est le vecteur inconnu des radiosités x, b et R dépendent de la longueur d'onde F ne dépend pas la longueur d'onde. Elle est uniquement déterminée par la géométrie de la scène Résolution des systèmes pour plusieurs longueurs d'onde 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) temps de calcul très long de F 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) temps de calcul très long de F très grande quantité de mémoire pour stocker F 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) temps de calcul très long de F très grande quantité de mémoire pour stocker F Les algorithmes de radiosité progressive (Cohen 1988) : à chaque itération une seule ligne de F est calculée La radiosité hiérarchique (Hanrahan 1991) : discrétisation dynamique de la scène réduction importante du nombre de facteurs de forme à calculer 28 janvier 2002 GdR ALP

Introduction : nos motivations 23 juin 2000 Introduction : nos motivations Faire le point sur les propriétés des matrices de la radiosité Identifier des algorithmes efficaces pour résoudre le système de la radiosité quand F peut être stockée Applications possibles des résultats : accélération de la méthode Group Accelerated Shooting Method (F. Rousselle et C. Renaud EGRW’99) accélération des simulations de transferts radiatifs : (ex : simulation de la croissance des plantes) Préparer des travaux de recherche futurs 28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Matrices H-hermitiennes : introduction Soit Pour La prémultiplication de par H, s.d.p., donne symétrique Généralisation au cas complexe 28 janvier 2002 GdR ALP

Matrices H-hermitienne : espace H-hermitien Soit H une matrice hermitienne définie positive : Produit scalaire H-hermitien : H-norme vectorielle : H-norme matricielle : Ensemble H-orthonormal, M matrice H-orthonormale 28 janvier 2002 GdR ALP

Matrices H-hermitiennes : définitions et théorème La H-adjointe de , notée , est définie par : Définitions : M est H-auto-adjointe ou H-hermitienne  Théorème fondamental : M est H-hermitienne  Ψ=HM hermitienne  Θ=H½M H-½ est hermitienne  M est diagonalisable par une matrice H-orthonormale P et ses valeurs propres sont réelles : 28 janvier 2002 GdR ALP

Matrices H-hermitiennes : propriétés Théorème : extension du théorème de Courant-Fischer Proposition : soit M H-hermitienne Si M est inversible où plus grande et plus petite valeur propre de Corollaire : M H-hermitienne  28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Propriétés des matrices de la radiosité F,  = I-RF,  = H  et  = H½  H-½ sont irréductibles  symétrique   est H-symétrique   est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles  et  symétriques  diagonalisables à valeurs propres réelles ,  et  sont des M-matrices (éléments hors diagonaux  0, régulière, inverse non négative) 28 janvier 2002 GdR ALP

Propriétés des matrices de la radiosité (suite)  et  M-matrices symétriques   et  matrices de Stieltjes   et  symétriques définies positives conditionnement : En général, en radiosité : cond2 (Θ)  cond2(Ψ) 28 janvier 2002 GdR ALP

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Les algorithmes de relaxation 23 juin 2000 Les algorithmes de relaxation Les approximations xk de la solution x* sont définies par : xk+1 = Gxk + c G est appelée matrice d’itération Jacobi : G = J relaxations successives (SR) et SOR ( > 1) : G = L Gauss-Seidel (GS) : G = L1 Convergence  (G) < 1. (G) rayon spectral de G Plus (G) est proche de 0, plus rapide est la convergence (nombre d’itérations) 28 janvier 2002 GdR ALP

Les algorithmes de relaxation : application à la radiosité  est une M-matrice  [Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences (Berman et Plemmons 1994)] (L1)  (J) < 1 Gauss-Seidel converge plus vite que Jacobi (L1)  M faible réflectance  convergence rapide de GS 0 <   1  (L1 )  (L ) < 1 GS converge plus vite que toute méthode SR avec 0 <  < 1 parmi les méthodes SR seule une méthode SOR ( > 1) peut améliorer la vitesse de convergence de GS  est une matrice de Stieltjes  (théorème d’Ostrowski) méthode SOR avec 1<   2 converge 28 janvier 2002 GdR ALP

Méthode du gradient conjugué (GC) Préconditionnements du système de la radiosité : H  x = H b   x = c H½  H-½x= H½b   z = H½ b avec z = H-½x  et  s.d.p.  GC peut être utilisée (GC et GC ) Rappel : plus le 2-conditionnement de la matrice du système est grand plus lente est la convergence de GC cond2( ) cond2( )  GC est plus lente que GC peu sensible aux fortes réflectances  GC moins affectée que GS par de fortes réflectances 28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Hybridation : la méthode (C. Brezinski et M. Redivo Zaglia (1994)) Soit et deux suites convergeant vers Leurs résidus sont notés Soit k  R . Nous construisons une nouvelle suite : But : minimiser la norme euclidienne du résidu Le bon choix : 28 janvier 2002 GdR ALP

Hybridation : propriétés 28 janvier 2002 GdR ALP

Les algorithmes d'hybridation Choisir deux méthodes itératives et hybrider leurs itérés durée d'une itération de la méthode hybride = temps de calcul des itérés des deux méthodes + temps de calcul de l'hybride Soit T1, T2 les temps de convergence des méthodes 1 et 2 et soit T celui de la méthode hybride Peut-on avoir T < min(T1, T2) ? Difficile ! 28 janvier 2002 GdR ALP

Hybridation : cas 1 Soit {xk} une suite produite par une méthode itérative (par exemple GS) L'hybridation à l'étape k est réalisée avec 28 janvier 2002 GdR ALP

Hybridation : cas 2 Choisir une méthode itérative (par exemple GS) À l'étape k : calculer xk avec cette méthode à partir de zk-1, l'hybridé obtenu à l'étape k-1 hybrider 28 janvier 2002 GdR ALP

Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : 23 juin 2000 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : Matrices H-hermitiennes Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : Méthodes itératives de résolution Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives 28 janvier 2002 GdR ALP

Résultats expérimentaux : scènes tests Scène (a) 480 ou 8544 facettes Scène (b) 680 facettes 28 janvier 2002 GdR ALP

Résultats expérimentaux : courbes Scène (a) 480 facettes Processeur 300 Mhz, 2 Mo de mémoire cache, 2 Go de Ram Critère d'arrêt : 28 janvier 2002 GdR ALP

Résultats expérimentaux : courbes Scène (b) 680 facettes 28 janvier 2002 GdR ALP

Résultats expérimentaux : courbes Scène (a) 8544 facettes Scène (b) 680 facettes 28 janvier 2002 GdR ALP

Conclusion Comparaison de la convergence des méthodes : Perspectives : mathématiquement Gauss-Seidel est meilleure que Jacobi la vitesse de convergence de GS est liée à la réflectance maximale au contraire GC (GC) semble bien adaptée aux scènes ayant une réflectance moyenne importante et de nombreuses occultations SOR est meilleure que GS. Mais trouver le paramètre de relaxation optimal est coûteux HGS1, HGS2 et GC sont de bonnes alternatives à SOR Perspectives : chercher une formule analytique pour le paramètre optimal de SOR appliquer l’hybridation aux méthodes de radiosité progressive entreprendre des travaux similaires dans le cadre de la radiosité non classique. 28 janvier 2002 GdR ALP

Je vous remercie de votre attention 28 janvier 2002 GdR ALP