Nicolas Bourbaki

Fonction "On dit qu'un graphe F est un graphe fonctionnel si, pour tout x, il existe au plus un objet correspondant à x par F. On dit qu'une correspondance f = (F, A, B) est une fonction si son graphe F est un graphe fonctionnel, et si son ensemble de départ A est égal à son ensemble de définition pr1 F.

Fonction Autrement dit, une correspondance f = (F, A, B) est une fonction si, pour tout x appartenant à l'ensemble de départ A de f, la relation (x, y) : F est fonctionnelle en y ; l'objet unique correspondant à x par f s'appelle la valeur de f pour l'élément x de A, et se désigne par f(x) ou fx (ou F(x) ou Fx). Si f est une fonction, F son graphe et x un élément de l'ensemble de définition de f, la relation y= f(x) est donc équivalente à (x, y) : F.

Image Remarque. - Il faut prendre garde aux confusions que risque d'entraîner l'emploi simultané de la notation f(x) et de la notation f(X) (synonyme de f <X >) introduite dans la déf. 3 Définition 3 Soient G un graphe et X un ensemble. L'ensemble des objets qui correspondent par G à des éléments de X s'appelle l'image de X par G et se désigne par G<X> ou G(X). Soient G = (G, A, B) une correspondance, et X une partie de A. L'ensemble G<X> se note encore G <X> ou Y(X) et s'appelle l'image de X par G.

Fonction Remarques - 1) D'une manière précise, G<X> désigne l'ensemble {y | ( $x) (x : X et (x, y) : G)}. (...) 2) Les notations G(X) et G (X) peuvent parfois conduire à des confusions avec des notations introduites ultérieurement. Soit G un graphe. Comme la relation (x, y) : G entraîne y : pr2 G, on a G<X> pr2 d G pour tout ensemble X; comme (x, y) : G entraîne x : pr1 G, on a G<pr1 G> = pr2 G. On a G< > = i, puisque x /: i est un théorème. Si X d pr1 G et X /= i , on a G<X> /= i .

Application Soient A et B deux ensemble ; on appelle application de A dans B une fonction f dont l'ensemble de départ (égal à l'ensemble de définition) est égal à A et dont l'ensemble d'arrivée est égal à B; on dit aussi qu'une telle fonction est définie dans A et prend ses valeurs dans B. Au lieu de dire "soit f une application de A dans B", on emploiera souvent les phrases suivantes ; "soit une application f: A --> B" ou même "soit f: A --> B". Pour faciliter la lecture d'un raisonnement où interviennent plusieurs applications, on fera usage de diagrammes tels que

Diagramme C g i f A B E f j D F est une application de A dans B f B A

Diagramme où un groupe de signes tel que A -f--> B doit s'interpréter comme signifiant que f est une application de A dans B. On dit encore qu'une fonction f définie dans A transforme x en f(x) (pour tout x : A), ou que f(x) est le transformé de x par f, ou (par abus de langage) l'image de x par f. (...) Nous emploierons souvent, dans la suite de ce Traité, le mot "fonction" à la place de "graphe fonctionnel".