IN302 – Chapitre 3 Plus courts chemins

Existence De à : pas de chemin pas de plus court chemin

Existence pas de chemin pas de plus court chemin De à :

Existence chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin : (1,2,3,4) De à :

Existence chemin : (3,4,6,5) longueur : De à :

Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur :

Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur :

Existence De à : PAS DE PLUS COURT CHEMIN

Graphe des plus courts chemins

En rouge : x est la longueur dun plus court chemin du sommet i=0 au sommet x

Graphe des plus courts chemins Comment caractériser, grâce aux valeurs de les arcs qui font partie de plus courts chemins dans (E,, l ) à partir de i ?

Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : y x l (u)

Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : y x l (u)

Graphe des plus courts chemins c est un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : c est un chemin dans (E, )

Arborescence des plus courts chemins (E,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E,, l ) de racine i si : (E,A) est une arborescence de racine i, et E = {x E, x } (E,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E,, l )

Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

APCC (relative au sommet 1)

Arborescence des plus courts chemins = APMin ? APMin

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=

Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de i ?

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6 Partir de i ?

Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

Algorithme de Bellman

Algorithme de Bellman : exemple i =

π0π0 π1π1 k i =

π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

π0π0 0 π1π1 0 7 k 1 0 i =

π0π0 0 π1π1 0 7 k 1 0 i =

π0π0 0 π1π k 1 0 i =

π0π0 0 π1π1 078 k

π0π0 0 π1π1 078 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(, 7+2,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) = 9

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(, 7+1,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(, 7+1, +3) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (5) = min(, 7+1, +3) = 8

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8, -2,

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8, -2, 0+8) =

π0π0 0 π1π1 078 π2π2 889 k X 2 (3) = min(8, -2, 0+8) = 8

π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (4) = min(, +2, 7+4) = 11

π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (2) = min(7, 0+7, 8+2) = 7

π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (1) = min(0) = 0

π0π0 0 π1π1 078 π2π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 0 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 0 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 07 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 07 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 076 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 076 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 8 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π5 k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

Résultat

Plus court chemin de 1 à 3 ?

Exécuter Bellman (i = 1)

Algorithme Circuit-Niveaux

N 0 i 0 E0E0

N 0 i 0 x E0E0

N 0 i 0 x 1 E0E0

N 0 i 0 x 1 E0E0 1 2

N 1 i 0 E0E0 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y

N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y E1E1 2 2

N 0 i 0 E0E0 x 1 y E1E1 21 2

N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 2

N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 2

N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 x 3 2

N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y 2 2

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y 2 0 E2E2 3 2

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E2 35 2

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

Ni E0E0 0 E1E1 1 x 3 y 2 0 E2E2 32 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 4 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 4 1 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 45 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 456 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 x 2 y 456 E3E3 4 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 x 2 y 456 E3E3 43 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6 y 4

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6 y 4 0

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 42 E3E3 53 E4E4 2 x 6 y 4 E4E4

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5 0

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5 E4E4 6

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 45 E4E4 4

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4 y 7

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4 y 7 1

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 5

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7 0

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7 E5E5

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 x 45 y 7 E5E5 7

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 x 45 y 7 E5E5 75

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 75

Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 75

E0E0 E1E1 E2E2 E3E3 E4E4 E5E5 Résultat