Fonctions Booléennes primaires A. Objectifs de la séquence: à l'issue de la séquence, il faut être capable de: Identifier sur un schéma structurel les portes logiques primaires et en déduire les différentes équations booléennes liées aux grandeurs d’entrées. Etablir , à partir des chronogrammes relatifs aux grandeurs d’entrées les chronogrammes relatifs aux grandeurs de sorties.

B) ETUDE DE LA FONCTION SECONDAIRE CADENCEUR 1) Schéma structurel

En logique positive Le « 1 » correspond à la présence d’information C) ELARGISSEMENT DE L’ETUDE 1) RAPPEL VARIABLE BINAIRE On nomme variable binaire tout phénomène qui ne peut prendre que 2 états: Par convention on représente l’un des états d’une variable binaire par le chiffre « 1 » alors que l’état opposé (ou complémentaire) est symbolisé par le chiffre « 0 » En logique positive Le « 1 » correspond à la présence d’information Le « 0 » correspond à l’absence d’information

Du point de vue des contacts on choisit habituellement: L’état « 1 » lorsqu’il y a action sur le contact L’état « 0 » lorsqu’il n’y a pas action sur le contact pas d’action sur a  a=0 a est au repos la lampe est éteinte L=0 Action sur a  a=1 a est actionné la lampe s’allume L=1 Pas d’action sur au repos la lampe est allumée L=1 Action sur est actionné la lampe est éteinte L=0

Equation logique a 2) OPERATEURS LOGIQUES 2.1) Fonction ‘NON’ On associe à une variable binaire quelconque a son complément Symbolisation: Table de vérité a 1 Equation logique

S=a.b a b s Equation logique: 2.2) Fonction ‘ET’ On désire qu’une lampe s’allume lors de l’action simultanée sur 2 contacts a et b Schéma électrique Symbolisation Table de vérité a b s 1 Propriétés Equation logique: S=a.b

a b s S=a+b Equation logique 2.3) Fonction ‘OU’ On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b soit par action simultanée sur les 2 contacts. Schéma électrique Symbolisation: Table de vérité a b s 1 Propriétés Equation logique S=a+b

a b S S=a b 2.4) Fonction ‘OU’ exclusif On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b mais pas lors de l’action simultanée des 2 contacts. Schéma électrique Symbolisation: Table de vérité a b S 1 Equation logique S=a b

a b S Equation logique 2.5) Fonction ‘NAND’ Schéma électrique 1 Symbolisation: Table de vérité a b S 1 Equation logique

a b S Equation logique 2.6) Fonction ‘NOR’ Schéma électrique 1 Symbolisation: Table de vérité a b S 1 Equation logique

3) Exercices a) REALISATION d’une NON à partir d’une NAND b) REALISER UN ET à partir d’une NAND c) REALISER UN OU à partir d’une NAND d) REALISER une NON à partir d’une NOR e) REALISER une ET à partir d’une NOR f) REALISER une OU à partir d’une NOR

4)Autres propriétés de l’algèbre de BOOLE Redondance: Distributivité: a.(b+c)= a.b +a.c Relation de DE MORGAN Exemples

D) RETOUR A L’OBJET TECHNIQUE ETUDIE Compléter les chronogrammes ci-dessous: Automatique Manuel

E) EXERCICES 1) EXERCICE 1 Que se passe-t-il au temps t1?.

2) EXERCICE N°2

F) SCHEMA LOGIQUE: 1) GENERALITES Un schéma logique est la représentation graphique de l'équation logique. On distingue 3 types de schémas logiques (Logigrammes) Uniquement avec des opérateurs NON, ET,OU Uniquement des opérateurs NAND Uniquement des opérateurs NOR

2) Avec des opérateurs de type ET, OU, NON Pour transposer une équation en schéma logique avec des opérateurs il faut: Déterminer le nombre d'opérateurs ET . Pour cela, il suffit de compter le nombre de groupes de produits logiques et de déduire le nombres d'entrées nécessaires sur chaque opérateur. Déterminer le nombre d'opérateurs OU. Pour cela, il faut compter le nombre de groupes de sommes logiques et déduire le nombre d'entrées nécessaires sur chaque opérateur. Relier les différents opérateurs entre eux. Exemple: Nombre d'opérateurs NON 3 (3 groupes de produits logiques) ces opérateurs doivent posséder 3 entrées. Nombre d'opérateurs ET 1 (1 somme logique) cet opérateur doit posséder 3 entrées. Nombre d'opérateurs OU

3) Avec des portes NON ET uniquement

4) Avec portes NON OU uniquement

Exemple:Variables d'entrées A et B G) TABLEAU DE KARNAUGH Ce tableau reprend les indications de la table de vérité pour les mettre sous une autre forme. Le nombre de cases est égale au nombre de lignes de la table de vérité. Chaque ligne et chaque colonne correspond à un état d'une ou plusieurs variables d'entrées. Exemple:Variables d'entrées A et B Exemple:Variables d'entrées A et B et C

Remarque:Chaque ligne et chaque colonne est numérotée avec l'état que peuvent prendre les variables d'entrées. Attention: Entre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'état exemple: Soit 4 variables A,B,C,D la case (a) correspond à A,B,C,D=0 la case (b) correspond à A,B,C,D=1 la case (c) correspond à A,C=1 et B,D=0

soit la table de vérité suivante: G-1) TRANSPOSITION DE LA TABLE DE VERITE DANS LE TABLEAU DE KARNAUGH soit la table de vérité suivante: C B A S (a) (b) 1 (c) (d) (e) (f) (g) (h) Le tableau de karnaugh qui lui correspond,possède huit cases.

G-2) SIMPLIFICATION DES EQUATIONS 1. Regroupement des cases Pour simplifier l'équation,il suffit de regrouper les cases qui possèdent le même état de la variable de sortie dans les conditions suivantes: Les cases regroupées doivent être adjacentes . Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....) les cases possédant le même état de la variable de sortie doivent être utilisées. Le regroupement doit être le plus grand possible. Une case peut très bien appartenir à plusieurs regroupements.

Exemple du tableau de KARNAUGH précédent: B.C A.B A.C 1 regroupement 2 regroupement 3 regroupement 2) Equation de chaque regroupement. Chaque regroupement donne le produit logique des variables d'entrée qui n'ont pas changées d'état. L'ensemble de ces regroupements est une somme logique Regroupement de l'état 1 de la variable de sortie S S=...............+................+................

3. Cas particuliers Lors d'un tableau à n variables, si les 2n cas ne sont pas tous décrits, il subsistera alors des cas que l'on qualifiera d'indifférents . Ils seront symbolisés par la variable x dans le tableau de Karnaugh on pourra selon les besoins les remplacer individuellement par des 1 ou des 0.

H) EXERCICE:REALISATION D'UN DECODEUR BCD→7SEGMENT

En utilisant KARNAUGH pour chaque segment, à commander,trouver le logigramme correspondant pour chaque segment. Le réaliser à l'aide de portes NAND à 2 entrées.