Les Systèmes – Les Filtres A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de l’Information Module – Les Systèmes Audiovisuels et les Systèmes de Transmission Systèmes

Plan du module Semestre 1 Semestre 2 Principes des Filtres Signaux Sonores et Oreille Signaux Vidéo (analogiques) et Œil Semestre 2 Supports de stockage, normes et standards en Audiovisuel (analogique) Données Informatiques Techniques de Transmission Systèmes

Définition d’un système Un système (S) est une « boîte noire » à laquelle peut être appliqué un signal e (en entrée) et qui restitue alors (en sortie) un signal s généralement différent. Exemples : câble, modem, filtres, répéteurs… Signal d’entrée Signal de sortie Câble = boîte noire Systèmes

Les filtres Un filtre est un système qui respecte les propriétés suivantes : Si un signal sinusoïdal « e » est appliqué en entrée d’un filtre , alors en sortie le filtre donne forcément un signal sinusoïdal de même fréquence en sortie. Par contre, L’amplitude du signal sinusoïdal de sortie n’est pas forcément égale celle du signal d’entrée La phase initiale du signal sinusoïdal de sortie n’est pas forcément égale à celle du signal sinusoïdal d’entrée. Filtre Systèmes

Le filtre idéal Un filtre est caractérisé par deux courbes La courbe de réponse en fréquence, qui représente la valeur de Smax/Emax en fonction de la fréquence. La courbe de déphasage, qui représente la valeur de  = s-e en fonction de la fréquence. On distingue 4 catégories de filtres, qui expriment la manière dont sont traités les signaux sinusoïdaux d’entrée suivant leur fréquence Filtre passe-bas Filtre passe-haut Filtre passe-bande Filtre coupe-bande Systèmes

Le filtre passe-bas idéal Fc f Smax/Emax Réponse en fréquence Le filtre passe-bas « laisse passer » les basses fréquences et « coupe » les hautes fréquences. La fréquence Fc est appelée fréquence de coupure. L’intervalle de fréquences [ 0 ; Fc ] est appelé bande passante du système. C’est la bande de fréquences (= intervalle de fréquences) pour laquelle le système laisse passer les signaux sinusoïdaux. L’intervalle [ Fc ; +[ est la bande coupée. A est appelé le gain du filtre dans la bande passante. Il s’exprime généralement en décibels : AdB = 20 log10(A) (voir suite du cours) Fc f  Déphasage Systèmes

Exemple 0,5 1000 f (Hz) Smax/Emax Réponse en fréquence 1000 f (Hz)  1000 f (Hz) Smax/Emax Réponse en fréquence 1000 f (Hz)  Déphasage -/2 On applique à l’entrée du système les signaux ci-dessous. e1(t) = 10.cos(2..100.t)  s1(t) = 5.cos(2..100.t) e2(t) = 3  s2(t) = 1,5 e3(t) = sin(2..5.106.t)  s3(t) = 0 Systèmes

Le filtre passe-haut idéal Fc f Smax/Emax Réponse en fréquence  Déphasage Le filtre passe-haut « laisse passer » les hautes fréquences et « coupe » les basses fréquences. La fréquence Fc est appelée fréquence de coupure. L’intervalle de fréquences [ Fc ; +[ est la bande passante du système. L’intervalle [ 0 ; Fc ] est la bande coupée. A est le gain du filtre dans la bande passante. Systèmes

Le filtre passe-bande idéal Fc1 f Smax/Emax Réponse en fréquence  Déphasage Fc2 Le filtre passe-bande « laisse passer » une bande de fréquences. Les fréquences Fc1 et Fc2 sont les fréquences de coupure du filtre. L’intervalle de fréquences [ Fc1 ; Fc2 ] est la bande passante du système. Les intervalles [ 0 ; Fc1[ et [ Fc2 ; +[ sont les bandes coupées. A est le gain du filtre dans la bande passante. Systèmes

Le filtre coupe-bande idéal Smax/Emax  Le filtre coupe-bande « coupe » une bande de fréquences. Les fréquences Fc1 et Fc2 sont les fréquences de coupure du filtre. Les intervalles [ 0 ; Fc1[ et [ Fc2 ; +[ sont les bandes passantes du système. L’intervalle de fréquences [ Fc1 ; Fc2 ] est la bande coupée . A est le gain du filtre dans la bande passante. A Fc1 Fc2 f Fc1 Fc2 f Réponse en fréquence Déphasage Systèmes

Quelques exemples de filtres courants Filtres « biologiques » L’oreille humaine ne perçoit que les ondes sonores comprises entre 20 Hz et 20 KHz. L’œil ne voit que les ondes lumineuses comprises dans « le spectre visible », entre 4*1014 et 7,5*1014 Hz ( longueur d’onde comprise entre 400 et 700 nm). Filtres en télécommunications : tous les supports de transmission sont des filtres Paire torsadée : elle laisse passer approximativement tous les signaux sinusoïdaux de fréquence inférieure à 1,1 MHz. Fibre optique : elle laisse passer approximativement tous les signaux sinusoïdaux de fréquence inférieure à quelques GHz (dépend du type de fibre). Sur le RTC, seuls les signaux sinusoïdaux de fréquences comprises entre 300 et 3400 Hz passent. Question : quelle est la nature de chacun de ces filtres ? Systèmes

Filtres et signaux non sinusoïdaux Toutes les propriétés vues ci-dessus ne s’appliquent qu’à des signaux sinusoïdaux. Pour étudier l’effet d’un filtre sur un signal non sinusoïdal, il faut étudier l’effet du filtre sur chacune des composantes sinusoïdales (harmoniques) de sa décomposition en série de Fourier. Systèmes

Effets du filtrage : exemple (1) Voici la réponse en fréquence idéalisée d’une paire torsadée (filtre téléphonique). On suppose qu’elle n’introduit pas de déphasage. 1 106 f (Hz) Smax/Emax Réponse en fréquence On met en entrée de la paire un signal carré de fréquence 300kHz, qui transporte un message binaire : 1 0 1 0 1 … Sn 0,5 300 900 1500 Spectre amplitude 0,64 0,21 0,13 0,09 2100 f(kHz) t e 3,33µs 1 Systèmes

Effets du filtrage : exemple (2) Voici le spectre du signal en sortie de la paire : 95% de la puissance moyenne du signal est passée. On retrouve la forme temporelle d’un signal carré déformé. Le message binaire est encore lisible. Sn 0,5 300 900 1500 0,64 0,21 2100 f(kHz) e(t) s(t) 1 T t Systèmes

Effets du filtrage : exemple (3) On met maintenant en entrée un signal carré de fréquence 1,5 MHz. En sortie, on obtient : Sn 0,5 1,5 4,5 7,5 0,64 0,21 0,13 0,09 13,5 f(kHz) t e 0,67µs 1 Sn 1,5 4,5 7,5 13,5 f(kHz) t s 0,67µs 0,5 1 e 0,5  L’information binaire est perdue !

Exemple du filtrage d’un morceau de musique Nous verrons dans le cours sur les signaux sonores que le sons aigus sont créés par des ondes sonores de haute fréquence, alors que les sons graves sont créés par des ondes sonores de basse fréquence. Question : expliquez les résultats entendus Morceau filtré par un filtre passe-bas de fréquence de coupure 2000 Hz Morceau filtré par un filtre passe-haut de fréquence de coupure 150 Hz Morceau de musique non filtré Systèmes

Le filtre réel En pratique, il est impossible de réaliser un filtre idéal. L’allure des courbes caractéristiques d’un filtre réel est la suivante : On définit la fréquence de coupure comme la fréquence à laquelle Smax/Emax vaut une valeur préétablie. En général, on choisit Smax/Emax = 0,707, ce qui correspond à la division par 2 de la puissance du signal en sortie du filtre. Smax/Emax A 0,707A  f Fc f Systèmes

Problèmes de distorsion Réponse en fréquence d’un filtre passe-bas réel : Systèmes

Problèmes de distorsion Courbe de déphasage du même filtre Systèmes

Problèmes de distorsion Entrée du filtre : signal carré de fréquence 50Hz L’amplitude de tous les harmoniques ne sont pas amplifiés de la même manière : le signal résultant est déformé. Les harmoniques du signal ne sont pas tous déphasés de la même manière : le signal résultant est décalé temporellement. t entrée sortie

Exemple : filtrage d’un morceau de musique L’amplificateur idéal fait subir le même traitement à tous les harmoniques du signal (même gain, même déphasage), contrairement à l’amplificateur idéal. Morceau filtré par un amplificateur idéal Morceau filtré par un amplificateur non idéal Morceau de musique non filtré Systèmes

Gain d’un filtre Le comportement d’un système, en fonction des fréquences, est défini par Le graphe du déphasage en fonction de f ET Le graphe de Smax/Emax en fonction de f = la réponse en fréquence, ou le graphe de G = 10.log(Ps/Pe) en fonction de f. Pe désigne la puissance moyenne du signal sinusoïdal en entrée du filtre ; Ps celle du signal sinusoïdal en sortie. G est appelé gain du système. Ses valeurs numériques sont données en décibel (dB). Exercice : Montrez que le gain s’exprime aussi par la formule G = 10.log(Ps/Pe) = 20.log(Smax/Emax) Systèmes

Remarque : l’atténuation Quand Ps<Pe, le gain en décibel est négatif. On préfère alors parler d’atténuation : Att = 10.log(Pe/Ps) en dB. L’atténuation est une grandeur positive. Systèmes

Comparaison Réponse en fréquence - Gain Rappel : Exercice A quel gain correspond une division de la puissance d’entrée par 2, 10, 100 en sortie du filtre? A quel gain correspond une réponse en fréquence de 0,707 ? En déduire l’origine de la dénomination « bande passante à –3dB ». x log(x) Smax/Emax G (en dB) 1  - ∞ Systèmes

Gain d’un filtre idéal – Exemple du filtre passe-bas Smax/Emax Réponse en fréquence 1 f (Hz) 1 000 20.log(Smax/Emax) Gain 1 000 f (Hz) Exercice : Tracez le gain d’un filtre passe-bande et d’un filtre passe-haut. Systèmes

Echelles logarithmiques Une échelle linéaire est inutilisable pour représenter de grandes plages de fréquences sur l’axe des abscisses : on préfère le graduer en log(f). Construction d’une échelle logarithmique pour représenter l’intervalle [1 ; 100] MHz. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 30 40 50 60 70 80 90 100 20 f log(f) Systèmes Une décade

Exemple « Transfert » = gain d’une paire torsadée Echelle logarithmique de 10kHz à 10MHz Systèmes

Un système concret : l’égaliseur en fréquence Dispositif électronique qui filtre le signal sonore d’entrée en plusieurs sous bandes permet d’augmenter (amplificateur) ou de diminuer l’amplitude des signaux sinusoïdaux dans chaque sous bande. Amplification Atténuation Systèmes