Enseignement des mathématiques et difficultés d’apprentissage Les nombres et le calcul à l’école primaire C. Ouvrier-Buffet cecile.ob@wanadoo.fr http://perso.wanadoo.fr/cecile.ob

Situation d’apprentissage ? Une situation favorisant des déséquilibres (Piaget), des rétroactions Dans un modèle ternaire (le savoir, l’élève et le maître) (Vygotsky) Où l’erreur est vue comme la manifestation d’un obstacle, d’une conception erronée (Bachelard) Les erreurs ne sont pas dues au hasard : elles sont reproductibles, persistantes, mais pas forcément explicitables … -> Importance des phases de formulation (Vygotsky)

Le concept de nombre Deux aspects Différentes représentations ordinal (ordre) cardinal (pour désigner une quantité) Différentes représentations Dans différentes situations Désignation Rangement et comparaison Dénombrement Calcul

Situation fondamentale en MS Construire une collection Désignation d’une collection, des éléments de cette collection (trésor) Marquage Codage et décodage Tri (tri de graines) Énumération (allumettes) Dénombrement (cuillers-yaourts / voitures-garages) Situations additives (trésor par exemple)

Situations additives Le jeu des « boîtes noires » Le jeu du trésor

Aspects mathématiques Addition Opération (somme) Aspect cardinal A et B ensembles finis disjoints card (AB) = card(A)+card(B) A B Aspect ordinal (surcomptage) l’entier a+b est celui obtenu en comptant b fois 1 après a a a+b

Aspects mathématiques Soustraction Opération (différence) Ensembliste (B inclus dans A) card (pas dans B) = card(A) – card(B) A B Décomptage : on enlève b fois 1 à partir de a Equation : d = a-b d est tel que a = d+b

Propriétés Associativité de l’addition Commutativité de l’addition 12 + 10 + 8 = (12 + 10 ) + 8 = 12 + (10 + 8) Commutativité de l’addition 15 + 32 = 32 + 15 Existence d’un élément neutre (zéro) pour l’addition La soustraction n’est ni associative, ni commutative

Évaluations en CE2 73% 30,5% 29,2%

Classification des problèmes additifs Vergnaud Composition de mesures

Classification des problèmes additifs Transformation d’état

Classification des problèmes additifs Comparaison (une relation lie deux mesures) Comparer 2 états. 2 types de pb de comparaison car la question peut porter sur : - l’un des deux états (cf. ci-dessus) ou - la relation entre les deux états (combien X a-t-il de ± que Y ?)

Classification des problèmes additifs Composition de transformations

Classification des problèmes additifs Autres

Classification des problèmes additifs Des erreurs liées : Au type de problème À la place de la question 73% 30,5%

Évaluations en CE2 (suite) Question a) 50 – 20 b) 40 – 8 c) 45 – 9 d) 3 x 30 e) 2 x 400 Résultats 82 % 48 % 37 % 56 % 71 %

Évaluations en CE2 (suite) Questions comprenant 2 x 5 Plus loin : 5 x 2 Résultats 70 % 39,7 % Commutativité de la multiplication non maîtrisée

Évaluations en CE2 (suite) Questions La moitié de 30 est La moitié de 24 est Résultats 37,7 % 42,86 %