Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 1 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes Nicolas Ferrary, Mémoire DEA Sous la direction de Dominique Feillet et Philippe Michelon

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 2 Plan Contexte industriel Etat de lart Problème et modélisation Résolution Résultats Conclusion et perspectives

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 3 Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage Processus de montage –Graphe de montage moteur 1 moteur 3 sellerie 2sellerie 4 Sous caisse mécanique 3sellerie 6mécanique 1 poste de conduite mécanique 4sellerie 8 porte

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 4 Contexte industriel / Description de latelier Il possède une entrée et une sortie Nous allons trouver lensemble des tronçons présents dans le graphe de montage dans latelier La caisse se déplace grâce à un convoyeur sur la chaîne principale Manutention dans latelier : –Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec une flotte de véhicules de manutention sur un réseau dallées –Lapprovisionnement se fait à partir dun graphe de manutention

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 5 Le problème Atelier B x ByBy Entrée Sortie

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 6 Etat de l'art Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de manière à minimiser les flux, les encombrements, … Exemple : aéroports, hôpitaux, … Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: –« relationship chart » Max z = Σ Σ r ij x ij r ij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j x ij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon –« from-to chart » Min z = Σ Σ f ij c ij d ij f ij : flux entre la zone i et j ; d ij : distance entre i et j c ij : coût en unité de flux et de distance entre i et j

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 7 Etat de l'art Représentation graphique –Discrète (ensemble des positions déterminé par une grille) –Continue (infinité de solution) Optimisation dun agencement : –Représentation topologique –Représentation par graphe dadjacence –Représentation par arbres de découpes –Problème daffectation quadratique –Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE)

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 8 Etat de l'art / Synthèse Beaucoup de travaux dans la littérature Travaux présentés sont : –soit très génériques ne prennent pas en compte certains aspects de notre problème –soit très spécifiques ils sont difficiles à réutiliser dans d'autres contextes que celui spécifié Pas de travaux avec de la Programmation par Contraintes

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 9 Définition du problème Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en : –suivant le graphe de montage et de manutention –gérant lentrée et la sortie de la chaîne sur latelier –créant un réseau dallées pour lapprovisionnement –diminuant le nombres de coudes de la chaîne principale Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à lopposée sur les largeurs et donc 4 orientations (,,, ) Magasins : carrés, pas dentrées ni de sorties donc pas dorientations

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 10 Spécificités du modèle Modélisation avec la Programmation Par Contrainte Evaluation : «from-to» chart Représentation graphique discrète Gestion du réseau dallées avec un rajout dune demi-allée pour chacune des zones Calcul des distances par la méthode Manhattan : permet de prendre en compte le réseau dallées surface représentant la zone

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 11 Données du problème B x, B y : longueur et largeur du bâtiment x s, y s : abscisse et ordonnée de la sortie de latelier x e, y e : abscisse et ordonnée de lentrée de latelier L i, l i : longueur et largeur de chaque tronçon et magasin (Li=li) M : ensemble des magasins T : ensemble des tronçons a ij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) f ij : flux entre 2 zones c ij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre 2 zones

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 12 Variables du modèle x i, y i : ( 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone h i, v i : {L i, l i } : taille de la zone i en abscisse et ordonnée e i h, e i v : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur) Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention) –Distance de manutention (magasin i et tronçon j) d ij = |x i - x j | + |y i - y j | –Distance de production d ij = |(x i - e i h h i /2) - (x j - a ij e j h h j /2)| + |(y i - e i v v i /2) - (y j - a ij e j v v j /2)|

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 13 Fonction objectif Manutention : flux Magasins - Tronçons Production : flux Tronçons - Tronçons –L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage –d ls = |(x l - e l h.h l /2) -x s | + |(y l - e l v. vl /2) – y s | Min z = Σ Σ f ij c ij d ij + Σ Σ f ij c ij d ij + f ls c ls d ls i M j T i T j T

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 14 Contraintes Positionnement dans l'atelier –h i /2 x i B x -h i /2 et v i /2 y i B y -v i /2 ( i M T) Dimensions et orientation des tronçons –si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et versa : h i + v i = L i + l i ( i T) –orientation verticale ou horizontale : e i h =0 e i v !=0 ( i T) –entrée du coté de la largeur : e i h !=0 => h i =L i et e i v !=0 => v i =L i ( i T) Non superposition des zones –si superposition horizontale alors non superposition verticale : |x i -x j | < (h i +h j )/2 |y i -y j | (v i +v j )/2 –si superposition verticale alors non superposition horizontale

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 15 Approches de résolution Modèle présenté testé est peu efficace en terme de pertinence des solutions et en temps dexécution partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: –Placement de la chaîne principale Car coûts très élevés pour un écart entre 2 tronçons par rapport au reste des autres coûts de production et manutention –Placement des chaînes secondaires –Placement des magasins Nous gardons lensemble des solutions optimales pour la chaîne principale, puis nous gardons les meilleurs couples chaîne principale-chaîne secondaires Le placement des magasins se fait après avoir placer tous les tronçons car il peuvent alimenter des tronçons de la chaîne principale et aussi des chaînes secondaires

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 16 Placement de la chaîne principale Ajout de contrainte pour diminuer le nombre de possibilités : –Borne sur lécart entre 2 tronçons : d ij l i /2 + l j /2+ i,j T (chaîne principale et successifs) d ls (écart entre le dernier et la sortie de latelier) avec l : indice du dernier tronçon et s : sortie de latelier –Collage du premier tronçon à lentrée de latelier –Si les tronçons i et j ont le même sens et sont successifs, alors ils seront collés (d ij = 0) –Si les tronçons i et j sont perpendiculaires, alors la sortie de i aura soit la même abscisse soit la même ordonnée que la position darrivée (entrée, centre ou sortie) de i sur j –Arrêt de la recherche si la solution courante a plus de coudes que la meilleure solution déjà trouvée

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 17 Placement de la chaîne principale Lordre des variables dans notre arbre suit lordre des tronçons dans la chaîne principale, avec pour chacun des tronçons les variables dorientation en premier et abscisse et ordonnée ensuite On prouve la solution optimale avec une première recherche et on trouve toutes les solutions ayant ce résultat dans une deuxième recherche On a maintenant lensemble des positions possibles pour la chaîne principale, nous pouvons passer au placement des chaînes secondaires

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 18 Placement des chaînes secondaires Nous allons prendre en compte toutes les positions de la chaîne principales une à une Pour diminuer la combinatoire de ce problème nous avons rajouté quelques contraintes supplémentaires pour compacter les chaînes secondaires : –Si i et j dans la même chaîne et le même sens alors d ij = 0 –Si i et j parallèles alors d ij (l i +l j )/2 –Si i et j sont perpendiculaire alors d ij = l i/2 ou d ij = l j/2

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 19 Placement des chaînes secondaires Nous avons 2 approches pour lordre des variable dans larbre de recherche : –Pour ces 2 approches, nous avons lordre inverse des tronçons de chacune des chaînes, et les variables pour chaque tronçon sont comme pour la chaîne principale –Si une chaîne i se jette dans une chaîne j, elle se trouvera après la chaîne j dans lordre des chaînes 1) Les chaînes sont classées par ordre croissant de leur nombre de tronçons 2) Par ordre décroissant Nous lançons ces 2 recherches en parallèle, on trouve un premier optimum qui sert de borne supérieure pour le reste de la recherche (optimum qui peut être amélioré sur une autre position de la chaîne principale)

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 20 Placement des magasins Nous allons travailler avec lensemble de positions des tronçons résultants des 2 approches précédentes Ce problème se rapproche dun problème daffectation des positions pour les magasins Création dune grille dans latelier pour donner des emplacements aux cases des magasins –Le pas de la gille 5 mètres (trop grand nombre de variables avec un pas de 1 mètre) Modèle de résolution en PLNE avec variables binaires x ik où x ik = 1 si la case pivot du magasin i est en k, 0 sinon

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 21 Placement des magasins / B x /5B y /5 | Min z = f ij c ij d ijk x ik | i M j T k=1 | sujet à : | -xik = 0 ( i M, | k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de latelier) < B x /5B y /5 | - x ik =1 ( i M) | k=1 | - x ij 1(1 k B x B y ) | i M l L | (où L est lensemble des case tel que k soit occupée si le magasin i est en l) | \ x ik {0,1} ( i M) (1 k B x B y )

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 22 Résultats Désignation atelier Chaîne principale Chaînes secondaires Magasins Nb Reso TempsNb ResoTemps B x =120,B y =30 T=10,M=2 1100,1640,08 B x =120,B y =30 T=10,M=5 4221,9580,98 B x =160,B y =80 T=15,M= ,31 B x =300,B y =100 T=21,M= B x =300,B y =100 T=21,M=

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 23 Exemple de résultat B x = 160 B y = 80 Entrée (0,50) Sortie (160,30 )

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 24 Conclusion et Perspectives La rapidité a été privilégiée pour rendre possible une utilisation de cette résolution en milieu industriel Résolution rapide du problème avec des solutions relativement pertinentes vu les solutions obtenues Pour le placement des tronçons : –Donner plus de liberté aux tronçons, Travail sur le modèle de placement des magasins par : –Réduction du pas de la grille de latelier –Magasins rectangulaire –Recherche locale sur la solution actuelle

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 25 Etat de l'art / Optimisation Représentation topologique –Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et recherche locale (ex : CRAFT) Graphes d'adjacences –Graphe dont les nœuds représentent une zone et les arêtes les relations d'adjacences entre les zones Arbre de découpe (slicing tree) –Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 26 Le problème Atelier B x ByBy Entrée (x e, y e ) Sortie (x s, y s )

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 27 Etat de l'art / Optimisation Problème d'affectation quadratique –Affecter à chaque zone une et une seule position Min z = Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjl fij : flux entre les zones i et j cij : coût entre les zones i et j dlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) –Variables pour les coins de chacune des zones, pour les informations entre deux zones (flux, coût, localisation) m m m m i=1 j=1 k=1l=1

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 28 Le problème Atelier B x ByBy Entrée (x e, y e ) Sortie (x s, y s )

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 29 Résultats Désignation atelier Chaîne principale Chaînes secondaires Magasins Nb Reso TempsNb ResoTemps B x =120,B y =30 T=10,M=2 1100,1640,08 B x =120,B y =30 T=10,M=5 4221,9580,98 B x =160,B y =80 T=15,M= ,31 B x =300,B y =100 T=21,M= B x =300,B y =100 T=21,M=

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 30 B x = 160 B y = 80 Exemple de résultat Entrée (0,50) Sortie (160,30 )

Nicolas Ferrary Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 31 Exemple de résultat B x = 120 B y = 50Entrée (0,30) Sortie (120,20 )