Ajouts et retraits dans un arbre de connexion Nicolas Thibault et Christian Laforest, Équipe OPAL Laboratoire IBISC (regroupement LaMI et LSC), Évry 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 1 /

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 2 / 14 Introduction Incrémenter une structure couvrante Objectif Un réseau sous-jacent Des participants dévoilés au fur et à mesure  problème online Données

À chaque étape, la structure couvrante doit être un arbre : contrainte arbre.  faciliter la gestion des communications Chaque arbre doit être inclus dans l’arbre précédent : contrainte emboîtement.  ne pas perturber les communications en cours  ne pas reconstruire l’arbre (coûteux) 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 3 / 14 Contraintes structurelles du modèle Sans reconstruction Contraintes Minimiser la distance moyenne entre les membres du groupe dans l’arbre. Objectif Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contraintes structurelles Évaluation Résultats

i le nombre de sommets ajoutés M 0  M 1  …  M i  … les groupes successifs T i l’arbre couvrant M i construit à la i ème étape C G (M) = Σ d G (u,v) la somme des distances entre les sommets du groupe M u,v  M 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 4 / 14 Évaluation de la qualité Notations Soit T i * un arbre optimal. Un algorithme a un rapport de compétitivité c si  i, C T i (M i )  c. C T i * (M i ) Évaluation d’un algorithme Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contraintes structurelles Évaluation Résultats

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 5 / 14 Résultats obtenus Tout algorithme qui respecte les contraintes arbre et emboîtement a un rapport de compétitivité en Ω(i).  la contrainte arbre ou emboîtement doit être relâchée. Borne inférieure sur le rapport de compétitivité Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse r est un médian de M si Σ d G (u,r) = min  Σ d G (u,v) : v  M  u  M u  M L’algorithme médian-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en un médian r 0 du groupe de départ M 0.  médian-ajout respecte les contraintes arbres et emboîtement.  mais a un rapport de compétitivité en O(i). Borne supérieure sur le rapport de compétitivité Contraintes structurelles Évaluation Résultats

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 6 / 14 Définition du modèle Avec reconstructions Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Contrainte arbre Contrainte qualité : les arbres T i doivent vérifier  i, C T i (M i )  c. C T i * (M i ) où c est une constante  Objectif : minimiser les perturbations dues au relâchement de la contrainte emboîtement Modèle avec reconstructions Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contrainte arbre Contrainte emboîtement  Objectif : minimiser la distance moyenne entre les membres du groupe Modèle sans reconstruction (rappel)

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 7 / 14 Étape critique On veut minimiser le nombre d’étapes critiques, c’est-à-dire le nombre d’étapes nécessitant de casser une ou plusieurs arêtes de l’arbre courant. Quantité à minimiser Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Exemple : l’étape i est critique l’arbre T i -1 uiui l’arbre T i Une étape critique génère d’importants changements de routes entre les membres dans l’arbre.  perturbe les communications en cours  coûteux Motivations

L’algorithme médian-reconstruction Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Reconstruit totalement l’arbre à chaque fois que la taille du groupe double. Entre deux reconstructions, connecte le nouveau membre par un plus court chemin au médian du groupe de la dernière reconstruction. L’algorithme Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Théorème : médian-reconstruction respecte la contrainte qualité avec c = 12. Preuve : majorations reposant fortement sur la définition d’un médian Qualité de l’arbre construit Théorème : médian-reconstruction implique O(log i) étapes critiques. Preuve : Taille du i ème groupe : i = 2 R  R = log 2 (i) Évaluation 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 8 /

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 9 / 14 Limites du modèle avec reconstructions Est-ce que O(log i) étapes critiques est un bon résultat ? Question Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Théorème : Pour toute constante de qualité c fixée, il existe un graphe et une séquence d’ajouts tels que tout algorithme respectant les contraintes arbre et qualité implique  (log i) étapes critiques. Réponse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 10 / 14 Limites du modèle avec reconstructions Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse c+1 C T (M)  (c+1)2 2j C T* (M)  2 2j 2j2j 2 j+1 c+1 C T (M)  (c+1)2 2j+2c C T* (M)  2 2j+2c 2 j+(c+1) 2 j+1+(c+1 ) c+1 C T (M)  (c+1)2 2j+4c C T* (M)  2 2j+4c 2 j+2(c+1) 2 j+1+2(c+1) c+1 C T (M)  (c+1)2 2j+6c C T* (M)  2 2j+6c 2 j+3(c+1) 2 j+1+3(c+1) c+1 C T (M)  (c+1)2 2j+2Rc C T* (M)  2 2j+2Rc 2 j+R(c+1) 2 j+1+R(c+1) | M | = i  2 j+2+R(c+1)  2 (c+1)+2+R(c+1) = a 2 bR (a,b constants) R   (log i) | M | = i  2 j+2+R(c+1)  2 (c+1)+2+R(c+1) = a 2 bR (a,b constants) R   (log i) | M | = i  2 j+2+R(c+1)  2 (c+1)+2+R(c+1)  a2 bR (a,b constants) R   (log i) | M | = i  2 j+2+R(c+1)  2 (c+1)+2+R(c+1)  a2 bR (a,b constants) R   (log i) Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites

Variantes du problème présenté Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 11 / 14 Variantes Résultats Perspectives Pour le critère somme des distances, pour le problème ajout de sommets Sans reconstruction : borne inférieure et supérieure en  (i) et O(i) sur le rapport de compétitivité Avec reconstructions : borne inférieure et supérieure en  (log i) et O(log i) sur le nombre d’étapes critiques Résultats présentés Deux critères : la somme des distances et la distance maximum (diamètre du groupe) Trois versions du problème : ajouts seuls, retraits seuls, ajouts et retraits mêlés Variantes étudiées

Résultats obtenus Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 12 / 14 Somme des distances ajouts  (i) et O(i)  (log i) et O(log i) Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) retraits  (i)  (log i) et O(i) ajouts et retraits  (i)  (i) et O(i) Diamètre ajouts 2 0 Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) retraits  (i)  (log i) et O(log i) ajouts et retraits  (i)  (i) et O(i) Variantes Résultats Perspectives

Autres résultats et perspectives Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse 8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 13 / 14 Variantes Résultats Perspectives Nombre de changements élémentaires moyens par étape constant pour l’ajout, avec comme critère la somme des distances et le retraits, avec comme critère le diamètre. Autres résultats pour le modèle avec reconstructions Relâcher les contraintes du problème pour identifier les difficultés Obtenir des résultats autres que dans le pire cas. Perspectives

8 èmes journées Graphes et Algorithmes p. 14 / 14 Questions ?

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. Nœud de liaison : u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : u  M u est de degré supérieur ou égal à 3 Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison T c associé à T en remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de degré 2 par une arête. ou

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. Nœud de liaison : u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : u  M u est de degré supérieur ou égal à 3 Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison T c associé à T en remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de degré 2 par une arête. Exemple : ou Un graphe G et un sous-groupe M

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. Nœud de liaison : u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : u  M u est de degré supérieur ou égal à 3 Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison T c associé à T en remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de degré 2 par une arête. Exemple : ou Un arbre T couvrant M

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. Nœud de liaison : u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : u  M u est de degré supérieur ou égal à 3 Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison T c associé à T en remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de degré 2 par une arête. Exemple : ou Les nœuds de Liaison de T

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. Nœud de liaison : u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : u  M u est de degré supérieur ou égal à 3 Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison T c associé à T en remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de degré 2 par une arête. Exemple : ou L’arbre de liaison T c associé à T

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k.

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k. Exemple : T c k-1

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k. Exemple : T c k-1 ukuk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k. Exemple : T c k-1 ukuk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k. Exemple : TckTck ukuk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, est considéré comme un changement élémentaire : Ajouter une arête dans T c k-1 Retirer une arête dans T c k-1 Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(T k c ) le nombre de changements élémentaires à l’étape k. Exemple : #EC(T k c )= 1+3 = 4 TckTck ukuk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Critères à minimiser (1) On veut minimiser le nombre de changements élémentaires moyen par étape #ECM(T 0 c,…, T i c ) définit par : Motivations : Chaque changement élémentaire a un coût réseau (en temps, en argent) pour l’opérateur.

Médian-reconstruction : Évaluation (reconstructions) Théorème : Médian-reconstruction implique au plus 20 changements élémentaires moyens par étapes. Preuve : Repose sur les arguments suivants : Une étape où l’arbre n’est pas reconstruit implique au plus 4 changements élémentaires dans l’arbre de liaison. Un arbre de liaison couvrant un groupe M a au plus 2| M | sommets. Le nombre de changements élémentaires maximum dans un tel arbre est donc 4| M |. Les étapes de reconstructions sont suffisamment peu nombreuses ( O(log i) ) pour donner un nombre de changements moyen par étape constant.