La transformée de Fourier discrète dans le numérique Des algorithmes de base aux déploiements à grande échelle Maurice Bellanger CNAM Formation BTS systèmes numériques Télécom Paris Tech - 03/06/2015

L’ère numérique Les débuts 1964: 1ère liaison numérique téléphonique (Système à 24 voies et 1.544 Mbit/s installé par ATT) 1964: égaliseur numérique adaptatif (B.Lucky, laboratoires Bell) 1965: algorithme de transformée de Fourier rapide ( J.Cooley, J.Tuckey, laboratoire IBM)

Transformée de Fourier discrète Objet: calcul d’une transformée de Fourier par ordinateur Définition: Hypothèses: Séquence x(n) périodique de période N Séquence y(n) périodique de période N Signaux analogiques: double échantillonnage - en temps, pas: unité - en fréquence, pas: 1/N

Algorithme FFT Transformée de Fourier rapide – fast Fourier transform Algorithme initié au 18ème sciècle (Clairaut), décrit au 19ème (Gauss), redécouvert en 1965 par Cooley-Tuckey Présentation matricielle

Algorithme FFT Décimation temporelle: données paires: X2P ; impaires: X2P+1 itération T2 nombre de multiplications complexes: ( N=1024 ; M = 4608 )

Premières applications Instrumentation (Analyseur de spectre Hewlett-Packard en 1970, …..) Secteur militaire: RADAR, SONAR Télécommunications (conversion entre multiplex analogique et numérique: transmultiplexeur – 1980)

Déploiements à grande échelle Deux secteurs Le multimédia - télévision numérique (DVB, TNT) - photo numérique - audio numérique (MP3) Les systèmes de communications - raccordement d’abonné à haut débit (ADSL, VDSL) - réseaux locaux (WiFi) - réseaux radiomobiles cellulaires 3G et 4G

Compression d’image Objectif: comprimer par un facteur 50 pour stockage (photo) et transmission (télévision) ( Norme UIT-R de 1982 pour TV numérique: 216 Mbit/s Pour la compétitivité avec l’analogique: < 8 Mbit/s ) Principe: élimination de redondance par analyse de Fourier ( une image se représente par quelques composantes spectrales ) Technique: DCT – discrete cosine transform

DCT Pourquoi la DCT: discontinuités en bordure des séquences (engendrent des composantes sur l’ensemble du spectre) DFT: Définition: A N temps DFT A N temps 2N DCT

L’action de normalisation Un visionnaire de la société numérique: Leonardo Chiariglione (Turin) Lancement: 1987 JPEG: joint picture expert group – images fixes ( DCT 8x8) MPEG: moving picture expert group - télévision standard et haute définition (DCT, détection de mouvement, codage) - audio – MP3 (Banc de 32 filtres pour composantes, FFT-512 pour modèle psychoacoustique) Logiciels associés

OFDM - principe OFDM: orthogonal frequency division multiplexing Signal émis Sortie du récepteur condition de restitution: orthogonalité des sous-porteuses iFFT FFT data canal

OFDM - principe Signal émis: - durée du symbole: NT - N échantillons par symbole, fréquence d’échantillonnage: fe=1/T - N sous-porteuses espacées en fréquence de Δf=1/NT Problèmes: - synchronisation du récepteur - réponse impulsionnelle du canal interférences entre les sous-porteuses (perte d’orthogonalité) et les symboles (chevauchement) symbol P symbol P-1 symbol P+1 ...... h(t) t

OFDM – préfixe cyclique Introduction d’un temps de garde > durée de la réponse du canal Retard τ (décalage entre les symboles reçus et la fenêtre temporelle du récepteur) x(n) x(n-τ) entrée FFT égalisation par sous-porteuse: ej2πkτ/N

Propriétés de l’OFDM Modulation multiporteuse - simplicité de réalisation et efficacité spectrale - égalisation à un coefficient par sous-porteuse - nombre de bits optimum/adaptatif par sous-porteuse - flexibilité d’utilisation Impact du préfixe cyclique - simple et efficace - réduction du débit ( jusqu’à 25%) - synchronisation des données à émettre

Applications sur câble ADSL: asymmetric digital subscriber line - raccordement d’abonné à haut débit sur paire téléphonique ( égalisation bande de fréquence utilisée 1 MHz) - débit maximum 6 Mbit/s (descendant) et 600 kbit/s (montant) - FFT 512 ; sous-porteuses espacées de 4 kHz - débit par sous-porteuse adaptatif CPL/PLC: courants porteurs en ligne - communication par le réseau électrique (dans l’habitat) - FFT 3072 - bande de 28 MHz – débit jusqu’à 200 Mbit/s

Applications en radio Radiodiffusion sonore (DAB) - proposition OFDM par France Télécom en 1987 Télévision numérique terrestre: TNT (1995) - FFT 2048/8192 - possibilité de réseau à fréquence unique Réseaux numériques radio locaux: WiFi (2000) - FFT 64 Réseaux mobiles cellulaires 3G/4G (2011) - FFT 128/1024 Réseaux mobiles 5G ? (>2020)

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