Cours N°3 maths 1ere Année SM Relation d’Equivalence et relation d’Ordre, valeur absolue, raisonnement par récurrence, bornitude

Relation d’Equivalence Elle permet dans un ensemble de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. on pourra ainsi regrouper par paquet des éléments qui se ressemblent (du même type) définissant ainsi la notion de classe d’équivalence. créant aussi de nouveau ensembles regroupant les classes d’équivalence dit ensemble quotient

Exemple de relation d’Equivalence Sur un ensemble de personnes Pour la relation « Avoir le même sexe » il y a deux classes d’équivalence, la classe des hommes et la classe des femmmes. Pour la relation « être né la même année », les classes d’équivalences sont les gens né en 1985, 86 etc.. Pour la relation « avoir un prénom commençant par la même lettre », il y a 36 classes

Définition On dit qu’une relation est une relation d’équivalence si elle est: Réflexive c’est-à-dire ∀𝑥𝜖𝐸, 𝑥ℜ𝑥 Symétrique c’est-à-dire ∀𝑥𝜖𝐸, ∀𝑦𝜖𝐸, 𝑥ℜ𝑦 ⟹𝑦ℜ𝑥 Transitive c’est-à-dire 𝑥ℜ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℜ𝑧 ⟹𝑥ℜ𝑧 Remarque: Dans une relation d’équivalence, deux élément sont dits équivalents et on écrit 𝑥≈𝑦 et la classe d’équivalence est définie par: 𝐶_𝑥={𝑥∈𝐸 𝑡𝑞 𝑥ℜ𝑦}

Exemples de relations d’Equivalence La relation ℜ « être parallèle » est une relation d’équivalence pour l’ensemble des droites du plan. La relation ℜ «être perpendiculaire » pour l’ensemble des droites du plan n’est pas une relation d’équivalence Dans 𝐸=ℕ𝑋ℕ, 𝑎, 𝑏 ℜ 𝑎 ′ , 𝑏′ ⟺𝑎+ 𝑏 ′ = 𝑎 ′ +𝑏 et dans 𝐸=ℤ𝑋 ℤ ∗ , 𝑝, 𝑞 ℜ 𝑝 ′ , 𝑞′ ⟺𝑝𝑞′= 𝑝 ′ 𝑞 Sont des relations d’équivalence

Relation d’ordre Une relation d’ordre sur 𝐸 est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Antisymétrique ⟺ (∀𝑥𝜖𝐸 , ∀𝑦𝜖𝐸, 𝑥ℜ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℜ𝑥 ⟹𝑥=𝑦) et on dit que (𝐸,ℜ) est un ensemble ordonné. Exemple: l’inclusion entre parties d’un ensemble est une relation d’ordre alors que l’inclusion stricte ne l’est pas.

Définition: on qu’un ordre est stricte s’il est transitif et vérifie 𝑥ℜ𝑦⇒𝑥≠𝑦 par exemple les relations ⊂, < forment un ordre stricte car ils sont transitif et vérifient la relation 𝑥ℜ𝑦⇒𝑥≠𝑦

Exercice a faire chez vous Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives? 𝐸=ℕ 𝑒𝑡 𝑥ℜ𝑦⟺𝑥=−𝑦 𝐸=ℝ 𝑒𝑡 𝑥ℜ𝑦⟺ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑦=1 𝐸=ℕ 𝑒𝑡 𝑥ℜ𝑦⟺∃𝑝, 𝑞≥1, 𝑦=𝑝 𝑥 𝑞 (𝑝,𝑞 ∈ℕ) Et dire parmi les relations précédentes quelles celles d’équivalence et d’ordre. On munit ℝ 2 de la relation notée «< » définie par 𝑥, 𝑦 < 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ⟺𝑥≤ 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑦≤𝑦′ montrer que c’est une relation d’ordre dans ℝ 2 Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives? On munit ℝ 2 de la relation notée «< » définie par 𝑥, 𝑦 < 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ⟺𝑥≤ 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑦≤𝑦′ montrer que c’est une relation d’ordre dans ℝ 2

Valeur absolue d’un nombre Soit 𝑥 un nombre réel, on appelle valeur absolue ou fonction valeur absolue de 𝑥, 𝑛𝑜𝑡é|𝑥|, le nombre positif ou nul tq |𝑥|=𝑥 si 𝑥≥0 |𝑥|=−𝑥 si 𝑥<0 Propriétés: 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦 , 𝑥 𝑦 = |𝑥| |𝑦| , 2 𝑥 = 𝑥 , |𝑥+𝑦|≤|𝑥|+|𝑦|

𝑥 >𝑎⟺𝑥>𝑎 𝑜𝑢 𝑥<−𝑎 Fonction valeur absolue 𝑓 𝑥 =|𝑥| 𝑥 ≤𝑎⟺−𝑎≤𝑥≤𝑎 𝑥 >𝑎⟺𝑥>𝑎 𝑜𝑢 𝑥<−𝑎 Fonction valeur absolue 𝑓 𝑥 =|𝑥| Résolution d’inéquations: 𝑥−2 ≤3 son ensemble de solutions est [-1, 5]. (A résoudre chez vous), 𝑥 ≤3, 2𝑥+7 ≤4, 𝑥−2 ≤3, 4.3 ≤ 𝑥−1 ≤9

Raisonnement par Récurrence Exemple: montrer que la suite 𝑢 𝑛 définie par: 𝑢 0 =2 𝑢 𝑛+1 =5 𝑢 𝑛 +4 est à termes positifs Méthode: montrer que le premier terme 𝑢 0 est positif et supposons que les termes 𝑢 𝑝 sont positifs montrons que 𝑢 𝑝+1 est positif

Initialisation: 𝑢 0 =2 donc le 1er terme est positif. Héridité: supposons 𝑢 𝑝 tous positifs et calculons 𝑢 𝑝+1 dans le but de prouver sa positivité 𝑢 𝑝+1 =5 𝑢 𝑝 +4 les 𝑢 𝑝 sont supposés etre positifs donc 5 𝑢 𝑝 +4 et par suite 𝑢 𝑝+1 est positif donc la proposition est vraie

Récurrence 𝑢 0 = 1 2 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 +1 𝑢 𝑛 +2 𝑢 0 = 1 2 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 +1 𝑢 𝑛 +2 L’objectif est de montrer que 0< 𝑢 𝑛 <1, ∀𝑛 Initialisation: 0<𝑢 0 = 1 2 <1, supposons que la propriété est vraie jusqu’à l’ordre 𝑛 et montrons qu’elle est vraie à l’ordre 𝑛+1

𝑢 𝑛+1 =𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑥+2 et il suffit d’étudier cette fonction sur [0, 1], 0<1/2<𝑓(𝑥)<2/3<1 Ex chez vous: 𝑥 ∈ ℝ + , montrer que ∀𝑛, 1+𝑥 𝑛 ≥1+𝑛𝑥 x 0 1 𝑓′ 1 (𝑥+2) 2 >0 𝑓 1 2 2 3

Maximum, Minimum d’un ensemble On travaille dans ℝ, muni de la relation d’ordre ≤, 𝐹 un sous ensemble ou une partie de ℝ, 𝐹 ⊂ ℝ. Un réel 𝑀 est le maximum de 𝐹 signifie que ∀𝑦∈𝐹, 𝑦≤𝑀 𝑒𝑡 𝑀∈𝐹. Un réel 𝑚 est le minimum de 𝐹 signifie que ∀𝑦∈𝐹, 𝑚≤𝑦 𝑒𝑡 𝑀∈𝐹. Remarque le max et le min s’ils existent (ils n’existent pas toujours) sont uniques.

Majorant, Minorant, Maximum, Minimum Majorant et Minorant Définition: un réel 𝑀 est un majorant de 𝐹 signifie que ∀𝑦∈𝐹, 𝑦≤𝑀. un réel 𝑚 est un minorant de 𝐹 signifie que ∀𝑦∈𝐹, 𝑚≤𝑦.

Remarque 𝑀 et 𝑚 s’ils existent, ne sont pas en général des éléments de 𝐹. Exemple : a) l’ensemble ℕ n’est pas majoré mais il est minoré car 0, −0,5, −2 et tous les reels négatifs sont des minorants de ℕ, 0 est aussi un minorant de et c’est le plus grand des minorants de ℕ

Et dans ℝ tout nombre 𝑀 peut être encadré par deux entier consécutifs 𝑛 𝑒𝑡 𝑛+1 / 𝑛≤𝑀≤𝑛+1 Donc ℕ ne peut pas avoir de majorant. Le maximum s’il existe est un majorant de F Le minimum s’il existe est un minorant de F mais la réciproque est fausse.

Borne supérieure et borne inférieure Définition: 𝐴 une partie de ℝ, 𝐵 et 𝑏 sont des réels, on dit que 1) 𝐵 est la borne supérieure de 𝐴 lorsque est le plus petits des majorants. 2) 𝑏 est la borne inférieure de 𝐴 lorsque 𝑏 est le plus grand des minorants Exemple 𝐴=]0, 2], 0 est un minorant de 𝐴 et 2 est un majorant de 𝐴

Théoreme: toute partie de ℝ non vide et majorée admet une borne supérieure et que toute partie de ℝ non vide et minorée admet une borne inférieure . Proposition (caractérisation de la borne supérieure): la borne supérieure de 𝐴 est l’unique réel sup⁡(𝐴) tel que Si 𝑥∈𝐴 alors 𝑥≤sup⁡(𝐴) ∀𝑦≤sup⁡(𝐴), ∃𝑥∈𝐴 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦<𝑥.