Distance Terre-Lune Taille de la Lune Benoît Dasset Georges Comte Michel Ramponi Gérard Trouillot

Problème : Comment Aristarque de Samos ( III ème siècle avant J-C) a-t-il mesuré le rayon de la Lune et la distance Terre - Lune ? Pré requis: Théorème de Thalès Conversion degré -radian

Observation : la Lune peut éclipser exactement le Soleil Représenter cet évènement : Faites un schéma vu de profil illustrant ce fait. Sur ce schéma devront figurer dans l’ordre et de gauche à droite : le Soleil la Lune et son cône d’ombre la Terre

Problème : quelle est la longueur du cône d’ombre de la Lune? TERRE O LUNE Réponse : La longueur du cône d’ombre de la Lune est égale à la distance Terre-Lune OS que l’on notera par la suite x. OS = X SOLEIL

On appelle r le rayon de la Lune et R le rayon de la Terre. Explications : le Soleil est beaucoup plus éloigné de la Terre que la Lune. Les rayons qui proviennent du bord supérieur du Soleil et qui viennent frapper la Terre et la Lune sont donc parallèles entre eux. Il en est de même des rayons qui proviennent du bord inférieur. Terre Lune K L O x S C On appelle r le rayon de la Lune et R le rayon de la Terre. Question: Exprimer la longueur du cône d’ombre de la Terre L =CK en fonction de x, r et R?

Réponse : En posant :

Information : la Lune progresse par rapport aux étoiles d’une fois son diamètre apparent en 1 heure. Ainsi, la Lune éclipsée demeure totalement immergée dans le cône d’ombre de la Terre pendant 2 heures dans le cas des éclipses les plus longues.

Question : exprimer la section MN du cône d’ombre de la Terre en fonction de r ?

Réponse : MN = 6 r

Question : déterminer en fonction de L, x et R la section MN du cône d’ombre de la Terre en appliquant le théorème de Thalès

Réponse :

Raisonnement intermédiaire : Égaler les 2 expressions de MN trouvées précédemment. En se rappelant que l’on a posé a = R / r et que L = x.a (diapo 6) ,montrer que a vérifie la relation: 2 ( a – 1 ) = 6

Résultats définitifs : Connaissant le rayon de la Terre R = 6400 km, trouver le rayon r de la Lune. La Lune est vue depuis la Terre sous un angle d’ un demi degré soit 1 /114 rad, calculer la distance Terre-Lune notée x.

Réponses : r = R / a ~ 1600 km X= 3200 .114 ~364000 km