Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Mathématiques SN Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - 3 nouveaux rapports trigonométriques 1 COSÉCANTE : cosec  = sin  1 SÉCANTE : sec  = cos  1 COTANGENTE : cotan  = tan  2

Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - 1 -1 y x Les 3 identités trigonométriques P() = ( , ) cos  x sin  y IDENTITÉ # 1 1 y Par Pythagore :  x2 + y2 = 12 x Donc : cos2 + sin2 = 1

IDENTITÉ # 2 IDENTITÉ # 3 À partir de l’identité #1 : RAPPEL À partir de l’identité #1 : 1 cos2 + sin2 = 1 = sec  cos  cos2 cos2 cos2 1 = cosec  1 + tan2 = sec2 sin  1 = cot  tan  IDENTITÉ # 3 À partir de l’identité #1 : cos2 + sin2 = 1 sin2 sin2 sin2 cot2 + 1 = cosec2

1 1 + = 1 1 1 + = 1 1 1 cos2 sin2 cos2 + sin2 = 1 1 = 1 Ex. #1 : Démontrer + = 1 sec2 cosec2 1 1 + = 1 1 1 cos2 sin2 cos2 + sin2 = 1 1 = 1 Ce symbole signifie que la démonstration est terminée ! On peut aussi écrire CQFD (ce qu’il fallait démontrer). 5

Ex. #2 : Démontrer cos x  tan x = sin x cos x  sin x = sin x cos x Simplifier (1 + tan2x) cos2x (sec2x) cos2x 1 cos2x cos2x 1 6

Ex. #4 : Démontrer tan2x – tan2x sin2x = sin2x tan2x (cos2x) = sin2x sin2 x (cos2x) = sin2x cos2x sin2x = sin2x 7

1 sin x 1 sin x sin x sin x sin x sin x Ex. #5 : Démontrer 1 – sin x = cot x cos x sin x 1 – sin2x = cot x cos x sin x sin x 1 – sin2x = cot x cos x sin x cos2x = cot x cos x sin x cos x cos x = cot x cos x sin x cot x cos x = cot x cos x 8

Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions d’équations à l’aide d’identités trigonométriques Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 1 sin x = 2 (1 – sin2 x) – 1 sin x = 2 – 2 sin2 x – 1 sin x = -2 sin2 x + 1 0 = -2 sin2 x – sin x + 1 9

Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 1 sin x = 2 (1 – sin2 x) – 1 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = -2a2 – a + 1 a1 = 1 2 et a2 = -1 sin x1 = 1 2 et sin x2 = -1 10

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

 Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 3 sin x = 2 (1 – sin2 x) – 3 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = 2a2 + a – 1 a1 = 1 2 et a2 = -1 sin x1 = 1 2 et sin x2 = -1 x1 =  6 et x1 = 5 6 12

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

  Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 3 sin x = 2 (1 – sin2 x) – 3 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = 2a2 + a – 1 a1 = 1 2 et a2 = -1 sin x1 = 1 2 et sin x2 = -1 Période 2 | b | P = x1 =  6 et x1 = 5 6 3 2 et x2 = 2 | 1 | = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n , + 2n  où n    6 5 6 3 2 14

Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Autres identités trigonométriques Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v) 15

Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément sin (u + v) .  4  3 sin ( + ) =  4  3 sin ( )  4 cos ( )  3 + sin ( )  3 cos ( )  4 sin ( ) = 7 12 ( ) 2 ( ) 1 2 + ( ) 3 2 ( ) 2 sin ( ) = 7 12 ( ) 2 4 + ( ) 6 4 sin ( ) = 7 12 + 2 6 4 16

Différence entre u et v    sin (u – v) = sin(u) cos(v) – sin(v) cos(u) cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) tan (u – v) = tan(u) – tan(v) 1 + tan(u) tan(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément cos (u – v) . 3 4 2 3 cos ( – ) = 3 4 2 3 cos ( ) 3 4 cos ( ) 2 3 + sin ( ) 3 4 sin ( ) 2 3 cos ( ) =  12 ( ) - 2 2 ( ) - 1 2 + ( ) 2 ( ) 3 2 cos ( ) =  12 ( ) 2 4 + ( ) 6 4 cos ( ) =  12 + 6 2 4 17