Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
Radian et longueur d’arc 1 -1 y x Radian et longueur d’arc A Dans tout cercle de rayon « r », on détermine la longueur d’un arc AB de la façon suivante : r m AB = x r B Exemples : Dans un cercle de rayon 6 cm, quelle est la mesure de l’arc intercepté par un angle au centre de 1,5 rad ? m AB = 1,5 x 6 m AB = 9 cm
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 - 4 b) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 - 4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 - 4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad Réponse : ( , ) - 2 2 2 10 3 d) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 - 4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad Réponse : ( , ) - 2 2 2 10 3 d) rad Réponse : ( , ) -1 2 - 3 2
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 - 2 f) rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 - 2 f) rad Réponse : ( , ) - 1 g) - 5 rad
y x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6 4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )
Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 - 2 f) rad Réponse : ( , ) - 1 g) - 5 rad Réponse : ( , ) - 1 11 8 11 8 11 8 h) rad Réponse : ( , ) cos sin ( - 0,3827 , - 0,9239 )
Les 3 identités trigonométriques IDENTITÉ # 1 Par Pythagore : -1 y x Les 3 identités trigonométriques P() = ( , ) cos x sin y IDENTITÉ # 1 1 y Par Pythagore : x2 + y2 = 12 x Donc : cos2 + sin2 = 1
IDENTITÉ # 2 IDENTITÉ # 3 À partir de l’identité #1 : cos2 + sin2 = 1 RAPPEL cos2 cos2 cos2 1 1 + tan2 = sec2 = sec cos 1 = cosec sin IDENTITÉ # 3 1 = cot tan À partir de l’identité #1 : cos2 + sin2 = 1 sin2 sin2 sin2 cot2 + 1 = cosec2
1 1 + = 1 1 1 + = 1 1 1 cos2 sin2 cos2 + sin2 = 1 1 = 1 Ex. #1 : Démontrer + = 1 sec2 cosec2 1 1 + = 1 1 1 cos2 sin2 cos2 + sin2 = 1 1 = 1 Ce symbole signifie que la démonstration est terminée ! On peut aussi écrire CQFD (ce qu’il fallait démontrer). 21
Ex. #2 : Démontrer cos x tan x = sin x cos x sin x = sin x cos x Simplifier (1 + tan2x) cos2x (sec2x) cos2x 1 cos2x cos2x 1 22
Ex. #4 : Démontrer tan2x – tan2x sin2x = sin2x tan2x (cos2x) = sin2x sin2 x (cos2x) = sin2x cos2x sin2x = sin2x 23
1 sin x 1 sin x sin x sin x sin x sin x Ex. #5 : Démontrer 1 – sin x = cot x cos x sin x 1 – sin2x = cot x cos x sin x sin x 1 – sin2x = cot x cos x sin x cos2x = cot x cos x sin x cos x cos x = cot x cos x sin x cot x cos x = cot x cos x 24
Autres identités Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément sin ( + ) . 4 3 4 3 25
Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément sin (u + v) . 4 3 sin ( + ) = 4 3 sin ( ) 4 cos ( ) 3 + sin ( ) 3 cos ( ) 4 sin ( ) = 7 12 ( ) 2 ( ) 1 2 + ( ) 3 2 ( ) 2 sin ( ) = 7 12 ( ) 2 4 + ( ) 6 4 sin ( ) = 7 12 + 2 6 4 26
Différence entre u et v sin (u – v) = sin(u) cos(v) – sin(v) cos(u) cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément cos (u – v) . 3 4 2 3 cos ( – ) = 3 4 2 3 cos ( ) 3 4 cos ( ) 2 3 + sin ( ) 3 4 sin ( ) 2 3 cos ( ) = 12 ( ) - 2 2 ( ) - 1 2 + ( ) 2 ( ) 3 2 cos ( ) = 12 ( ) 2 4 + ( ) 6 4 cos ( ) = 12 + 6 2 4 27
cos (- ) = cos - y P() = ( , ) cos x x -1 1 P(- ) = ( , ) 28
cos (- ) = cos = Exemple : - - - - Donc : 3 1 -1 y = 3 1 -1 y x P( ) = ( , ) 3 cos 1 2 3 3 1 2 x - 3 P( ) = ( , ) - 3 cos 1 2 - 3 Donc : cos 3 = cos - 3 29
sin (- ) = - sin - y P() = ( , ) sin y x -1 1 - y 30
sin (- ) = - sin = Exemple : 3 3 - - 3 Donc : - 3 - - = 3 1 -1 y x P( ) = ( , ) 3 sin 3 2 3 3 2 y 3 - 3 - 3 2 - y Donc : - 3 2 P( ) = ( , ) - 3 sin - 3 sin - 3 = - sin 3 31