Correction problème 1

Question 1 : Représenter le modèle équivalent du circuit. + - G R r R

Question 2 : Déterminer l’intensité du courant dans le circuit en fonction de E, r et R. Loi d’additivité des tensions Or : Loi d’Ohm Donc : Soit : I

Question 3 : Exprimer la puissance fournie par le générateur en fonction de R, r et E Conservation de l’énergie électrique Or : Effet Joule De plus : + - G Donc : R

Question 4 : Quelle valeur de R en fonction de r rend cette puissance maximale ? La valeur de R pour laquelle cette fonction atteint son maximum est celle qui annule la dérivée de cette fonction. Calculons la dérivée de cette fonction par rapport à R : une très petite variation de la fonction En physique, la dérivée se note par rapport à une très petite variation de la variable. Donc : Soit : Donc la puissance est maximale pour

Question 4 (suite) : Quelle valeur de R en fonction de r rend cette puissance maximale ? S’annule donc pour Soit : Donc Lorsqu’un générateur alimente un dipôle résistif, la puissance délivrée par le générateur est maximale lorsque la résistance du dipôle est égale à la résistance interne du générateur. Donc la puissance est maximale pour

Complément Tracé de en fonction de

Généralisation Le calcul de la résistance équivalente d’un ensemble de récepteurs permet de choisir le générateur optimal pour les alimenter. C’est l’adaptation de résistance : la résistance interne du générateur choisi est alors égale à la résistance équivalente de l’ensemble des récepteurs.

Correction problème 2

Question 1 : Ecrire le bilan de puissance du circuit + M G - R D’après la conservation de l’énergie électrique : Or : Donc :

Question 2 : En déduire l’équation vérifiée par l’intensité du courant lorsque le tramway est à 10 km du générateur. Car le générateur est supposé idéal et sa résistance interne est par conséquent nulle. Or : Et : Effet Joule Donc : Soit :

Question 3 : calculer la valeur de l’intensité. Soit : Donc : On calcule le discriminant : Car on ne conserve que la solution compatible avec les données du problème : une intensité de l’ordre de 2000 A donnerait des puissances de l’ordre du million de W, incompatible avec les puissances nécessaires... Donc : I = 14 A

Question 4 : une expression littérale sera donnée après une discussion sur le discriminant de l’équation. Donc : L’équation vérifiée par l’intensité est donc : km Le discriminant est positif ou nul si : Dans ce cas :

km Question 5 : Comment varie cette intensité en fonction de d ? On étudie la fonction : Définie pour : Le calcul de sa dérivée par rapport à d aboutit à un résultat trop complexe pour avoir rapidement son sens de variation : Donc : Le signe de cette dérivée est difficile à obtenir en fonction de d. On va donc tracer la courbe I(d) directement.

L’intensité augmente donc lorsque la distance parcourue augmente L’intensité augmente donc lorsque la distance parcourue augmente. Cette augmentation s’accélère au voisinage de la valeur limite de 340 km.