Chapitre 7 Les équations différentielles d’ordre 1 Calcul Avancé Chapitre 7 Les équations différentielles d’ordre 1 Section 1

Les équations différentielles Définition Une équation différentielle est une équation entre une fonction, ses dérivées et la variable indépendante. Ordre et degré L’ordre d’une équation différentielle selon une fonction y(x) est l’ordre le plus élevé de la dérivée de cette fonction qui figure dans l’équation; Le degré d’une équation différentielle est la puissance à laquelle se trouve cette dérivée Solutions Les fonctions solutions sont définies à une constante près (ordre 1) ou à deux constantes près (ordre 2); Elles se représentent par des familles de fonctions La connaissance des conditions initiales permet d,avoir une solution unique

Les équations différentielles Les courbes orthogonales à une famille de courbes Établir l’équation différentielle de la famille en la dérivant (éliminer la constante); Remplacer y’ par -1/y’ pour obtenir l’équation différentielle de la famille orthogonale; Résoudre la nouvelle équation pour obtenir la famille orthogonale; Définir des courbes pour des valeurs de la constante d’intégration;

Les équations différentielles Comment résoudre une catégorie d’équation? En ramenant cette catégorie nouvelle à une catégorie connue pour laquelle on connaît une méthode; Comment ramener une catégorie nouvelle à une catégorie connue? Par changement de variable; Par un facteur intégrant; Si cela est impossible? Par une méthode numérique approximative (Euler);

Les équations différentielles Les équations à variables séparables Forme: P(y)dy=Q(x)dx; Méthode Séparer les variables de chaque coté du signe = Intégrer les deux côtés, chacun par rapport à sa variable Simplifier et mettre la solution sous forme explicite si possible

Les équations différentielles Les équations homogènes de degré n Forme: Méthode par changement de variable Remplacer y par ux Remplacer dy par udx+xdu Reprendre la méthode des variables séparables Revenir en x et en y, sous forme explicite, si possible

Les équations différentielles Les équations linéaires Forme: y’+P(x)y=Q(x) Méthode par facteur intégrant Multiplier chaque coté par le facteur intégrant Intégrer chaque coté, (différentielle totale à gauche) Mettre la solution sous forme explicite, si possible

Les équations différentielles Les équations exactes Forme: une équation différentielle P(x,y)dy+Q(x,y)dx=0 est exacte s’il existe f telle que df=P(x,y)dy+Q(x,y)dx=0 Méthode par intégration Mise en forme et vérification Intégrer P(x,y) par rapport à x ou Q(x,y) par rapport à y pour obtenir f Pour évaluer la constante d’intégration dériver par rapport à l’autre variable Comparer et conclure

Les équations différentielles Les équations de Bernouilli Forme: y’+M(x)y=N(x)yn Méthode par changement de variables Mise en forme et vérification Division par yn Changement de variable Z=y1-n Résolution d’une équation différentielle linéaire