Compétences attendues : M5 - DYNAMIQUE Compétences attendues : Déterminer l’accélération d’un solide. Déterminer les actions mécaniques qui agissent sur le solide en mouvement Programme S.T.I. : Principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement

Mise en évidence du principe Expérience 1 : Soit une patineuse de masse m faisant la "toupie" (rotation d'axe fixe) Comparer la vitesse de rotation de la patineuse dans les deux cas. Que constatez-vous ? La vitesse dépend de la répartition de la matière autour de l’axe de rotation. Cette grandeur s’appelle le moment d’inertie noté IG

Moment d’inertie IG représente le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation du système isolé (c’est la répartition de la matière autour de l’axe de rotation) . Il est exprimé en kg.m2 Volume Moment d’inertie représentation Cylindre plein IG = ½ m.R2 Cylindre creux IG = ½ m.(R2+r2) Rayon R Rayon R Rayon r

Mise en évidence du principe Expérience 2 : trois roues indépendantes de masse et de rayon différents (IG différents) sont guidées par des roulements identiques. On néglige toutes résistances passives. vélo voiture tracteur Sur quelle grandeur physique faut-il agir pour que les trois roues aient la même accélération w’ ? Le couple moteur Cm

Principe fondamental de la dynamique de rotation Le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation. La somme des moments qui agissent sur le solide S, est égale au moment d’inertie du solide IG multipliée par son accélération angulaire w’ . NEWTON 1642 - 1727 Autour de l’axe de rotation : Cm – Cr = IG x w ’ Rappel de cinématique : w ’ = (w-wo)/t ou w ’ =(w2-w02)/2(q-q0) Le solide est équilibré en translation donc la somme des forces est nulle

Application : démarrage à vide d’une perceuse Le couple de démarrage d’une perceuse est de 0,1 N.m. Sa vitesse de rotation en régime permanent est de 3000 tr/mn. Le moment d'inertie des parties tournantes est de 10-4 kg.m2 . 1/ Calculer l'accélération angulaire au moment du démarrage. PFD : Cm – Cr = IGx . w’ w’ = ( Cm – Cr ) / IGx w’ = ( 0,1 – 0 ) / 10-4 = 103 rd/s2

Application : démarrage d’un moteur Soit l’ensemble S en liaison pivot d’axe Ax. L’ensemble de la chaîne cinématique est modélisé par un volant plein de rayon R= 150 mm et de masse m= 50 kg. L’inventaire des actions mécaniques extérieures à S est définit comme suit : * un couple moteur au démarrage de 5 Nm * un couple résistant de 0,2 Nm * Le poids de l’ensemble tournant de 500N * l’ action de guidage en A de 0 sur S

1/Modéliser les Actions mécaniques extérieures au solide S tournant :

Frottements négligés Cf = 0,2Nm PFD Cm - Cr IGX=1/2.m.R2 2/ Calculer la durée de l’accélération pour que le moteur atteigne la vitesse de 1500 tr/mn : 2-1/ en négligeant les frottements   2-2/ en considérant que tous les frottements se réduisent à un couple de frottement Cf = 0,2 Nm. Frottements négligés Cf = 0,2Nm PFD Cm - Cr IGX=1/2.m.R2 w’= (Cm-Cr)/IGX t = (w-w0) / w’ Cm – Cr = IGX . w’ 5Nm 4,8Nm ½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2 8,89 rd/s2 8,53 rd/s2 (1500.2P/60)/8,89 (1500.2P/60)/8,53 = 17,67s = 18,41s

Application : Freinage du moteur L’arrêt d’un arbre moteur tournant à 1500 tr/mn s’effectue en 1 seconde. Déterminer le couple de freinage assurant l’arrêt de moteur. Frottements négligés Cf = 0,2Nm PFD IGX=1/2.m.R2 w’ = (w-w0) / t Cm-Cr Cfreinage=Cr-Cf Cm – Cr = IGX . w’ ½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2 (-1500.2P/60)/1 = - 157,08 rd/s2 - 88,36 Nm 88,36 Nm 88,16 Nm

Exercice 4 : Etude d’un frein Soit le frein schématisé ci-dessous. 4.1. Déterminer le couple de freinage du moteur : C = n . N . f . rm - n : nombre de couples de surfaces frottantes (ici, 1 paire) - N : force normale aux surfaces frottantes. - f : coefficient de frottement entre les surfaces frottantes. - rm : rayon moyen du disque. rm≈(R+r)/2 Données : N=1500N, f=0,2, R=150mm, r=115mm. C = 1500 x 0,2 x (150+115)/2 = 39750 mmN C = 39,75 mN

4.2. Déterminer la décélération du moteur. On prendra une inertie du rotor J=1,6 Kg.m2. PFD : Cm – Cr = J . w’ 0 – 39,75 = 1,6 . w’ w’ = – 39,75 / 1,6 = - 24,84 rd/s2 4.3. Pour une fréquence de rotation nominale de 300tr/min, déterminer le temps de freinage. w0 = 2p N / 60 = 2p x 300 / 60 = 31,4 rd/s t = (w – w0) / w’ = - 31,4 / - 24,84 = 1,26 s

Exercice 5 : Choix d’un moteur Un malaxeur chargé de mélanger des produits est entraîné par un moteur électrique. La vitesse de rotation de ce moteur est égale à 140 tr/min. 5.1- Calculer, en rad/s, la vitesse angulaire du moteur électrique. w = 2p N / 60 = 2p x 140 / 60 = 14,66 rd/s 5.2- Le malaxeur est assimilé à un volant d'inertie en forme de jante de masse m égale à 40 kg et de diamètre D égal à 50 cm. a/ Calculer, en kg.m2, le moment d'inertie J1 de la jante. J1 = ½ .m . R2 = ½ x 40 x 0,252 = 1,25 kg.m2

JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2 PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ b/ Pour un moment d'inertie du moteur J2 égal à 2 kg.m2, déduire le moment d'inertie total JT correspondant à la chaîne cinématique « jante + moteur ». JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2 c/ En appliquant le principe fondamental de la dynamique en rotation, calculer, en N.m, le moment M du couple de la chaîne cinématique lors de la phase de démarrage. On prendra w’ = 2,1 rad/s2. PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ M = 3,25 x 2,1 = 6,825 N.m

PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ Cm = (JT x w’ ) + Cr 5.3- Le moment du couple résistant du malaxeur est estimé à 5 N.m. a/ Calculer le moment du couple moteur de ce moteur électrique lors de la phase de démarrage. PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ Cm = (JT x w’ ) + Cr Cm = M + Cr = 6,825 + 5 = 11,825 N.m b/ Parmi les 3 propositions ci-dessous, quel est le moteur le plus approprié Moteur A : 10 N.m Moteur B : 15 N.m Moteur C : 20 N.m Moteur B : 15 N.m > Cm=11,825N.m

Exercice 6 : Etude de poulies Cas n°1 Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est  l'accélération angulaire de la poulie ? PFD : Cm – Cr = J . w’ => w’ = Cm – Cr / J cas 1 : w’ = mg . R / ½ . M . R2 w’ = 2mg / M R = 2x2x10/ 5x0,2 = 40 rd/s2 cas 2 : w’ = 2(-m2+m1)g / M R = -2x1x10/ 5x0,2 = -20 rd/s2 cas 3 : w’ = (-m2 r + m1 R)g / Jp = (-3x0,1+2x0,2)x10/0,3=3,3 rd/s2

Exercice 6 : Etude de poulies Cas n°1 Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est  l'accélération linéaire de la masse m ? At = R. w’ Cas n°1 : At = R. w’ = 0,2x40 = 8 m/s2 Cas n°2 : At = R. w’ = 0,2x20 = 4 m/s2 Cas n°3: At = R. w’ = 0,2x3,3 = 0,66 m/s2

Exercice 6 : Etude de poulies Cas n°1 Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est la tension dans la corde reliant la masse m à la poulie, celle reliant la masse m1 à la poulie et celle reliant la masse m2 à la poulie ? Cas n°1 : T = m . g = 2 x 10 = 20 N Cas n°2 et n°3 : T1 = m1 . g = 2 x 10 = 20 N T2 = m2 . g = 3 x 10 = 30 N

Exercice 7 : solide en liaison pivot On considère un ensemble S en liaison pivot d’axe (A,x). A B C P G x y O AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4 I(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2 * Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une linéaire annulaire d’axe Bx. * Le poids est modélisable en G par : * Le couple moteur est modélisable en C par :

1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R des actions mécaniques extérieures agissant sur S. *Transfert des torseurs au point A :

* PFD : * Équations : * Résolution :

2/ Déterminer l’accélération angulaire q’’ du mouvement de S/R et en déduire la nature du mouvement. 3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de régime N = 1500 tr / mn.