Géométrie dynamique au collège Présentation IREM Johnn Adam Xavier Sourice Juin 2008

Pourquoi ce thème? Présent dans les programmes Mise en place du B2i Autre façon de travailler …

Du côté de l’enseignement Officiel, programme – Savoir organiser les conditions pour l’apprentissage avec les TICE Connaître la technologie

Une question se pose … Que nous apportent de plus la géométrie dynamique par rapport à un cours traditionnel en classe au crayon, papier et calculatrice?

Dans l’immédiat… Des élèves plus motivés L’attention, la concentration Une plus grande précision dans la réalisation des dessins Une plus grande variété de dessins Plusieurs dessins en un, on peut bouger les points … Conjecturer Des lieux géométriques De la magie Des figures tracées en boucle Soutien personnalisé Des animations Nécessité de rigueur Vérifier, auto-correction et ré-essayer Autonomie Du doute, du sens, un besoin de démontrer

Un usage des TICE, de quelle manière? En classe, c’est le professeur qui fait En salle multimédia, c’est l’élève qui fait

C’est le professeur qui fait Souvent le cas Plus facile à gérer Une « habitude » instaurée dans les collèges Pour illustrer Pour gagner du temps Pour montrer le fonctionnement d’un logiciel

C’est l’élève qui fait Travail autour des activités proposées – Élève passif, – Elève actif – fait des mathématiques

Ce qui se fait ordinairement, des exemples Illustrer en classe, certaines propriétés, avec le vidéoprojecteur – Points concourants des droites remarquables dans un triangle – Triangle inscrit dans un demi-cercle – … Proposer des activités plus ou moins guidées où l’élève constate une propriété – Médiatrice d’un segment – Triangle inscrit dans un demi-cercle – … Où est la place de l’activité de l’élève?

Dynamisme et déplacement Utilisation du déplacement pour : – Constater/illustrer – Conjecturer – Valider/invalider

Dynamisme et déplacement Or les élèves : – Ne déplacent pas la figure – Limitent fortement les déplacements – Interprètent mal leurs déplacements – Essayent de fixer les points

Dynamisme et déplacement Le déplacement n’est pas évident, il s’agit d’un instrument à construire chez les élèves.

Comparons … Autour du triangle inscrit dans un demi cercle. 2 activités à comparer

Activité 1

Figures robustes Autour de l’activité 1 La figure est liée par la propriété, – Ici on a un diamètre, un cercle déjà dessiné, et un triangle inscrit sur le cercle tâches de l’élève : – observer et formuler la propriété

… et si l’on explorait « Autour des figures molles », D’après des travaux de Colette Laborde et Sophie Soury-Lavergne

Activité 2

Figures molles Autour de l’activité 2 La figure est incomplète Tâches de l’élève : – L’élève déplace, recherche une position particulière, explore – L’élève observe et formule, une ou plusieurs propriétés, pas seulement le théorème visé

Figures molles Le théorème voulu apparaît à un moment donné, c’est local, le cercle est la frontière – la raison pour laquelle l’angle est droit est rendue accessible, la propriété gagne en signification pour l’élève L’accent est mis sur la relation entre la condition « M appartient au cercle » et la conséquence « l’angle est droit »

Construction molle « Une construction où toutes les conditions du théorème ou bien toutes les contraintes de la figure ne sont pas respectées, elles peuvent l’être momentanément par l’action de l’utilisateur » Sophie Soury-Lavergne Le déplacement fait partie de la construction

Des idées essentielles Faire apparaître les invariants Une notion de déplacement primordiale, Inciter au mouvement Le lien Cause/Conséquence apparaît dans une vraie chronologie L’élève est le maître de la situation Une consigne plus ouverte Relâcher des contraintes, ramollir une figure

Un autre point de vue Les lieux mous – Bernard Capponi Autour du triangle inscrit dans un demi cercle – suite -

Activité 3

Des découvertes Autour de la médiatrice d’un segment : Propriété d’équidistance.

Construis un segment [AB]. Place tous les points plus proches de A que de B. Activité 4

La prise de risque

Construction de la médiatrice d’un segment

Une ligne inattendue

J’ai compris et j’en fais moins

Une autre notion est apparue

Une abstraction

Vers la démonstration Autour des diagonales d’un parallélogramme

Activité 5 Construis un quadrilatère ABCD. Comment doivent être les diagonales de ce quadrilatère pour qu’il soit un parallélogramme?

Une réponse d’élève… Quand les diagonales de croisent au milieu, on obtient toujours un parallélogramme.

commentaires Les élèves déplacent Un démarrage très lent Les élèves ressentent qu’il y a un début et une fin, une cause qui aboutit à une conséquence Des commentaires en classe lorsqu’on voit cette propriété et la réciproque : « ce n’est pas tout à fait la même chose, ce n’est pas dans le même sens » On y gagne pour structurer la démonstration