Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 10 Les algorithmes de recherche Les structures arborescentes Département d’informatique et de génie logiciel Édition septembre 2009

Les algorithmes de recherche  Les algorithmes de recherche  La recherche séquentielle  La recherche dichotomique  Complexité des algorithmes de recherche  Recherche dichotomique et arborescence

La recherche séquentielle  recherche(3)=1 comparaison  recherche(10)=11 comparaisons  recherche(12)=7 comparaisons  recherche(13)=11 comparaisons  meilleur cas=O(1)  pire cas=O(n)  en moyenne= O(n/2)  absences=O(n) Données pas triées

La recherche séquentielle  recherche(1)=1 comparaison  recherche(14)=11 comparaisons  recherche(8)=6 comparaisons  recherche(13)=11 comparaisons  meilleur cas=O(1)  pire cas=O(n)  en moyenne= O(n/2)  absences=O(n/2) Données triées

La recherche séquentielle données non triées :  données présentes : O(n/2)  données absentes : O(n) données triées :  données présentes : O(n/2)  données absentes : O(n/2) coût pour trier et maintenir triées !

Modèles d’implantation tableau : liste chaînée :

La recherche binaire  implantation en tableau = accès direct à n’importe quel élément  en regardant tout de suite au milieu, on peut éliminer la moitié des données

La recherche binaire

La recherche binaire

La recherche binaire

La recherche binaire

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 10 ?

La recherche binaire : 9.5 ?

La recherche binaire : 9.5 ?

La recherche binaire : 9.5 ? n n/2 n/4 n/8

Algorithme récursif  Récursion x  tab[debut..fin] si x = tab[milieu] (condition d’arrêt) si x < tab[milieu] et x  tab[debut..milieu-1] si x > tab[milieu] et x  tab[milieu+1..fin]  Conditions d’arrêt x  tab[debut..fin] si debut > fin x  tab[debut..fin] si x = tab[milieu]  Convergence

Template int rechercheBinRec(T * tab, const T& val, int debut, int fin) {int milieu; /*A: tab est correctement initialisé*/ if (debut > fin) return -1; else { milieu= (debut + fin)/2; if( val == tab[milieu]) return milieu; else { if( val < tab[milieu]) return(rechercheBinRec(tab,val,debut, milieu-1)); else return(rechercheBinRec(tab,val,milieu+1,fin)); } Algorithme récursif

Il vaut bien mieux implanter cet algorithme de manière itérative, car la fonction se rappelle jusqu'à trouver la position désirée, puis seulement on effectue les dépilages, alors que l'on n'a plus besoin des états intermédiaires qui ont été mémorisés par la récursivité puisque le problème est résolu. Remarque sur les algorithmes récursifs

Tableau comparatif recherche séquentielle : (données triées) données présentes : O(n/2) données absentes : O(n/2) recherche binaire : (données triées) données présentes : O(log n) données absentes : O(log n)

Modèles d’implantation tableau : liste chaînée ?

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Structures pointées

Arbre binaire !

Arbre = index

Les structures d’arbres  Définitions  Parcours d’arbres  Arbres binaires complets ou feuillus  Description en terme de type abstrait et implantation  Dans un tableau  Par chaînage dynamique

Définitions Un arbre orienté (appelé parfois arbre enraciné) est un graphe acyclique orienté qui vérifie les conditions suivantes:  Il existe exactement un noeud qui n'a pas de ‘ prédécesseur ’. Ce noeud s'appelle la racine et l'ordre d'entrée de la racine est 0.  Tous les noeuds, sauf la racine, n'ont qu'un ‘ prédécesseur ’ et ils ont tous un ordre d'entrée égal à 1.  Il existe un chemin unique de la racine à chaque noeud. A M B V R O N P Q S T

Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud.  Hauteur d’un nœud  Hauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille.  Niveau ou profondeur d’un nœud  Niveau ou profondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine.  Forêt  Forêt : Un ensemble d’arbres. A M B V R O N P Q S T

Terminologie des arbres  Un arbre est soit vide ou possède une racine à laquelle est rattaché zéro ou plusieurs sous-arbres non vides. T1T1 T2T2 Racine Racine de T 1 Racine de T 2 ==> structures récursives

Terminologie des arbres  Le nombre de sous-arbres associés à un noeud (nombre de descendants directs) est appelé le degré du noeud. Le degré d'un arbre correspond au degré le plus élevé de ses noeuds. Une chaîne (liste linéaire) est un arbre de degré 1. b an ir e z  Le sous-arbre de racine i est l’arbre composé des descendants de i, enraciné en i On appelle aussi ce sous-arbre : fils de b

tableau liste chaînée Une liste est un arbre de degré

Arbre binaire racine sous-arbre de gauchesous-arbre de droite nœuds internes feuilles Un arbre de degré 2 est appelé arbre binaire.

Arbres n-aire racine nœuds internes feuilles... Un arbre de degré n est appelé arbre n-aire.

Les arbres ordonnés  Un arbre ordonné est un arbre où la position respective des sous-arbres reflète une relation d'ordre.  Exemple: l’arbre de Huffman pour la compression de données

Les arbres ordonnés  Les opérandes sont placées dans les nœuds feuilles, les opérateurs binaires dans les autres nœuds.  L’évaluation d’un arbre arithmétique se fait en appliquant l’opérateur à sa racine au résultat des sous-arbres de gauche et de droite. Exemple : arbre arithmétique

Arbres partiellement ordonnés: le monceau  La valeur de la clé d’un parent est plus grande (ou égale) à celle de ses 2 fils  L’arbre est complet: tous les nœuds sont présents sauf éventuellement dans le dernier niveau. Si c’est le cas, le remplissage des nœuds dans ce niveau doit se faire de gauche à droite.

Les arbres de tri Un arbre binaire de tri ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) :  Toutes les clés de valeur inférieure ou égale à celle de la racine sont stockées dans le descendant gauche de la racine.  Toutes les clés de valeur strictement supérieure à celle de la racine sont stockées dans le descendant droit de la racine.  Tout ajout, toute suppression de nœud doit maintenir cette propriété vraie O 45 gauche 48 droit Ajout de la valeur 49 : Remarque : Tout ajout se fait par une feuille. Ajoute de la valeur

Les arbres de recherche  Un arbre de tri est également dit de recherche à condition d’être équilibré.  Un arbre équilibré est un arbre organisé de telle manière à ce que sa profondeur soit minimale. La recherche d'un élément dans un arbre est alors logarithmique.  Critères HB[k] (height-balanced(k) tree) HB[1] HB[2]  Les arbres équilibrés sont dits arbres AVL (du nom de leurs inventeurs Adel'son -Vel'skii Landis en 1962).  Un arbre binaire est dit équilibré lorsque la différence entre les hauteurs des fils gauche et droit de tout noeud ne peut excéder 1 en valeur absolue (si HB[1] ):|hauteur (sous-arbre droit) - hauteur (sous-arbre gauche)|  1)  Cette différence de hauteur est appelée facteur d’équilibre.

Arbres AVL - exemples Un arbre AVL Après l’ajout de 1, ce n’est plus un arbre AVL Ces noeuds violent la condition

Arbres de recherche et algorithmique Les arbres binaires de recherche présentent deux avantages :  tri efficace car les valeurs sont maintenues ordonnées  recherche efficace par dichotomie, beaucoup plus efficace que la recherche linéaire dans une liste. template class Arbre {... bool rechercher (const X& E); // est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon... }

Arbres de recherche et algorithmique bool rechercher (const X& E); // est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon si vide => retourner faux sinon si (E = valeur racine) => retourner vrai sinon si (E<valeur racine) => retourner rechercher dans sous-arbre gauche sinon retourner rechercher dans sous-arbre droit fsi fsi fsi Si n est le nombre de nœuds et si l ’arbre est équilibré alors la complexité de l ’algorithme de recherche dichotomique est de l ’ordre de log 2 (n). Exemple : n=1024 => complexité ~ 10

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T Ø B Dans le parcours préordre, les descendants d’un nœud sont traités après lui:

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M B 2 3 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M B 2 3 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T B

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T B 2 3 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T B 2 3 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T,B B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T,B B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T,B,... B 23 1

Visite arborescente priorité au père (pré-ordre) 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k A M R O N P Q T R,M,A,T,B,N,O,P,Q B 23 1

Utilité d’un pré-ordre / * log * n 1n 1 n ( (1/n) * (log(n+1)) ) - (3*n) - * / 1 n log + n 1 * 3 n Jan Lukasiewicz

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T Ø B 12 3 Dans le parcours post-ordre, les descendants d’un nœud sont traités avant lui:

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T Ø B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T Ø B 1 2 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T Ø B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A B 1 2 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A,B B 1 2 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A,B,M B 1 2 3

Visite arborescente priorité au fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A,B,M B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A,B,M,... B 12 3

Visite arborescente priorité aux fils (post-ordre) 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ; A M R O N P Q T T,A,B,M,O,P,Q,N,R B 12 3

Utilité d’un post-ordre / * log * n 1n 1 n ( (1/n) * (log(n+1)) ) - (3*n) 1 n / n 1 + log * 3 n * - Jan Lukasiewicz

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T B Dans le parcours en ordre, un descendant est traité avant le nœud, l’autre est traité après lui:

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T Ø B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M,B B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M,B,R B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M,B,R,O B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M,B,R,O,N B

Visite arborescente ordre symétrique (en-ordre) 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 ) A M R O N Q T A,T,M,B,R,O,N,Q B

Utilité de l’ordre symétrique / * log * n 1n 1 n ( (1/n) * (log(n+1)) ) - (3*n) (((1/n) * (log(n+1))) - (3*n)) 1 / n * log n * n

Utilité de l’ordre symétrique 1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,

Parcours par niveau  L’algorithme utilise une file.  Il s’agit d’un parcours par largeur (contagion) tel que discuté dans le cours. Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant. / * log * n 1n 1 n - * * / log 3 n 1 n + n 1

Adressage hiérarchique opérations facilitées : comparaison rapide de nœuds, trouver le parent commun, positionne le nœud dans l’arbre Il s’agit d’adresser chaque nœud par une chaîne de caractères. La racine a comme adresse  1 , son fils gauche  1.1 , son fils droit  1.2 . Tout fils gauche a comme adresse l’adresse de son parent qu’on concatène 1, on concatène 2 pour les fils droits.

Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants : symétrique:A,B,D,E,L,P,S,O pré-ordre :O,S,P,L,E,D,B,A Exercice

Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants : symétrique:D,L,P,S,E,A,O,B pré-ordre :P,D,L,O,A,S,E,B

Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

Implantation en tableau

Implantation en tableau

Implantation en tableau appariement :  la racine est à l’indice 1  sous-arbre de gauche est à 2*i  sous-arbre de droite est à 2*i + 1  parent de l’élément d’indice i est à  i/2   frère de droite est à i+1 (si i pair et i+1 ≤ N)  frère de gauche est à i-1 (si i impair et i ≠ 1)

Implantation en tableau

Implantation en tableau

Implantation en tableau

Implantation en tableau Avantages :  simplicité d’implantation  aucun espace perdu pour les pointeurs  espace pour insérer un nœud déjà disponible  parcours par niveau facilité  parcours des feuilles facilité

Implantation en tableau Désavantages :  espace perdu pour les trous  trouvez des cas où il y aura plusieurs trous !  on doit prévoir le pire cas en espace, ou réallouer le tableau et le recopier  besoin d’une sentinelle pour signifier l’absence de données (ou utilisation d’un booléen)  trouvez le pire cas !

Implantation en tableau Désavantages  pire cas Arbre dégénéré vers la droite

Arbre feuillu ou complet  Arbre complet: Un arbre de degré n est dit complet lorsque tous ses niveaux, à l’exception du dernier, possède un nombre maximal de nœuds. Le dernier niveau, quant à lui, est partiellement rempli de gauche à droite, sans trou. Arbre de degré 3 complet Arbre binaire complet  indice du premier élément du niveau k ?  nombre de feuilles ?  nombre de nœuds internes ?  nombre de nœuds ?  hauteur ?

Arbre binaire feuillu ou complet  indice du premier élément du niveau k ?  nombre de feuilles maximum = (n + 1) / 2  nombre de nœuds maximum = 2 p – 1, p= nombre de niveaux  hauteur = log((n + 1)/ 2)

La classe Arbre (binaire) template class Arbre { public: // … private: T * tab; // ou vector v int cpt; // Nombre d'éléments dans le tableau, inutile si vector }; Implantation par tableau ou vector

Implantation en tableau et visite arborescente template void Arbre :: auxAffiche(int i) { if (i<0) throw invalid_argument(  Affiche:….  ); if ( i < cpt) {auxAffiche(2*i + 1); /* traitement*/ if(tab[i]!=-1) std::cout << tab[i] <<   ; auxAffiche(2*i+2); } template void Arbre ::affiche() { auxAffiche(0);} Visite suivant la priorité symétrique

Implantation en vector et visite arborescente template void Arbre ::auxAffiche(int i) { if (i<0) throw invalid_argument(  Affiche:….  ); if ( i < v.size()) { affiche(2*i + 1); /* traitement*/ if(v[i]!=-1) std::cout << v[i] <<   ; auxAffiche(2*i+2); } Visite suivant la priorité symétrique

Implantation en tableau (2) compaction des niveaux  en conservant explicitement l’indice des enfants de gauche et de droite d’un nœud élément d’information indice du sous-arbre de gauche indice du sous-arbre de droite

Implantation en tableau (2) Avantages :  aucun trou !  pas besoin d’une sentinelle Désavantages :  espace additionnel pour l’information de contrôle (c.-à-d. les indices des éléments enfants d’un nœud)  revient à gérer une mémoire utilisée comme le tas («heap»)  problèmes d’ajouts ? d’enlèvements ? Exercice  Définissez les attributs privés (modèle d’implantation) en tenant compte de cette version dans l’implantation.

La classe Arbre (binaire) template class Arbre { public: //..Les méthodes publiques (i.e. les opérateurs) private: // classe Noeud class Noeud { public: E data; Noeud *gauche; Noeud *droite; int card; int hauteur; Noeud( const E&d ): gauche(0),data( d ),droite(0),hauteur(0) { } }; // Les membres données Noeud * racine;//racine de l'arbre long cpt;// Nombre de noeuds dans l'arbre // Les membres méthodes privés //... };... data Implantation par chaînage

Puisque chaque nœud possède au maximum deux nœuds fils, on maintient un pointeur sur chacun d’eux. Avantages:  La taille de l’arbre est dynamique.  Facile d’opérer sur des pointeurs. Inconvénients:  On doit éviter les fuites de mémoire et les doubles références.  On ne peut parcourir l’arbre que de la racine vers les feuilles.

Implantation par chaînage et visite arborescente template void Arbre :: auxParcoursSymetrique(Nœud* arb, E *res, int &ind) { if (arb==0) return; else { auxParcoursSymetrique(arb->gauche, res, ind); /* traitement*/ res[ind] = arb->info; ind ++; auxParcoursSymetrique(arb->droite, res, ind); } Exercice Redéfinissez le prototype et la définition de la méthode auxParcoursSymetrique() dans le cas de l’utilisation d’un vector au lieu d’un tableau pour recueillir le résultat de la visite.