Chapitre 4b La représentation des nombres

Chapitre 4 : La représentation des nombres Introduction 1 - Notion de mot 2 – La représentation des entiers négatifs 2.1 - Entiers signés 2.2 - Représentation en complément 2.2.1 - Complément restreint (à un) 2.2.2 - Complément vrai (à deux) 2.3 - Nombres en forme décimale codée binaire (DCB) 3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.1 – Les nombres en virgule fixe 3.1.1 – Du décimal vers une autre base 3.1.2 – D’une base (autre que le décimal) vers le décimal 3.2 – Les nombres en virgule flottante 3.2.1 – Représenter un nombre en virgule flottante 3.2.2 – Retrouver la valeur décimale d’un nombre représenté en virgule flottante

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.1 – Les nombres en virgule fixe Conclusion La représentation en virgule fixe occupe cependant une place importante quand on utilise de grands nombres et on lui préférera alors une autre forme de représentation dite en virgule flottante.

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante On associe à un nombre en virgule flottante deux jeux de valeurs : Le premier représente les chiffres significatifs du nombre, c’est la mantisse Le second indique la puissance à laquelle la base est élevée, c’est la caractéristique ou l’exposant Ainsi, lorsqu’on écrit en décimal 12 E 8 - 12 est la mantisse - 8 est l’exposant (souvent repéré par la lettre E) L’ensemble est équivalent à 12 x 108 (10 étant la base) ou encore à 1 200 000 000.

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) La manière la plus évidente, et la plus concise, pour représenter un nombre en virgule flottante est donc d’employer une mantisse et un exposant signés. Exemples : -123,45 = -0,12345 E 3 = -0,12345 x 10+3 0,0000678 = +0,678 E -4 = +0,678 x 10-4

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) Cependant, on utilise en règle générale un exposant décalé au lieu de l’exposant simple de façon à éviter de traiter des exposants négatifs (à condition bien sûr que le décalage choisi soit suffisamment grand). Par exemple, si on considérait un décalage de 5 (ce qui revient à l’addition systématique de 5 à l’exposant réel), on aurait : -123,45  - 0,12345 E +3 (exposant positif)  On y ajoute le décalage de 5  (+3 + 5) = +8  Ce qui donne : - 0,12345 E +8 +0,0000678  + 0,678 E - 4 (exposant négatif)  On y ajoute le décalage de 5  (- 4 + 5) = +1  Ce qui donne : + 0,678 E +1

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) On peut noter qu’à priori une représentation en virgule flottante n’est pas nécessairement unique. Ex. : 0,1295 x 102 = 0,01295 x 103 = 0,0001295 x 105 Solution : une forme normalisée afin que la représentation ne varie pas d’un matériel à l’autre. Un nombre normalisé, en virgule flottante est un nombre dans lequel : - le chiffre à droite de la marque décimale n’est pas un zéro, - le chiffre à gauche de la marque décimale est un zéro. Ex. : 129,50 0,01295 x 104 0,1295 x 103 1,295 x 102

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) On peut trouver, en fonction des organismes de normalisation ou des constructeurs, plusieurs normes de représentation des nombres en virgule flottante (IEEE, DEC, IBM, …). Nous allons étudier la norme IEEE (Institute of Electronical and Electronics Engineers)

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) La standard IEEE définit trois formats de représentations de nombres en virgule flottante : - La simple précision sur 32 bits (E : 8bits ; SM : 1 bit ; M : 23bits) - La double précision sur 64 bits (E : 11 bits ; SM : 1 bit ; M : 52 bits) - La précision étendue sur 80 bits (E : 15 bits ; SM : 1 bit ; M : 64 bits) 1 bit 8 bits 23 bits Signe Exposant Mantisse

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) 3.2.1 – Représenter un nombre en virgule flottante Prenons un exemple, on veut représenter en virgule flottante (10,50)10 La base utilisée dans cette norme est la base 16, il faut donc dans un premier temps transcrire (10,50)10 en base 16, ce qui donne (A,8)16 (10A et 0,5 x 16 = 8) (1010,1)2 Ensuite, il faut normaliser (décaler la virgule vers la gauche de façon à trouver une forme normalisée), ce qui donne donc : 1.0101 E2 +3

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2.1 – Représenter un nombre en virgule flottante (suite) Dans la norme IEEE, l’exposant est codé en décalage par rapport à l’exposant de référence, à savoir (127)10 On a donc : Exposant de référence + Décalage = Exposant décalé Ici, (127)10 + (3)10 = (130)10 soit (10000010)2 Le signe du nombre étant positif, le bit représentatif du signe sera positionné à zéro. Il y a un bit caché (la partie entière)

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2.1 – Représenter un nombre en virgule flottante (suite) Ce qui donne au final 100 0001 0 Exposant décalé (130)10 (10000010)2 010 1000 Mantisse 0101 Signe positif 0000 0000 Exposant et Signe (7 + 1) = 8 bits Mantisse 24 bits (10,50)10 = ( )16 4 1 2 8

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) 3.2.2 – Retrouver la valeur décimale d’un nb représenté en virgule flottante Exemple : Le nombre (41 b1 00 00)16 Il faut tout d’abord retrouver la forme binaire 0100 0001 1011 0001 0000 0000 0000 0000 ( )16 4 1 B 1 Signe +Exposant Mantisse Ensuite, on déduit le signe, l’exposant et la mantisse Signe : le bit est à zéro, donc c’est un nombre positif Exposant : (10000011)2 = (131)10 donc (4)10 qui est le décalage de base (l’exposant est E -127) Mantisse : (1,0110001)2

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2.2 – Retrouver la valeur décimale d’un nb représenté en virgule flottante Comme l’exposant que nous avons trouvé ici est +4, on sait que l’on peut alors « dénormalisé » en repoussant la virgule de 4 chiffres vers la droite ce qui nous donne donc : (10110,001)2 Puis, on convertit ce nombre en décimal (base 10) Soit (1 x 161) + (6 x 160) = (22)10 (2 x 16-1) = (0.125)10 d’où (22,125)10

3 – La représentation des nombres fractionnaires 3.2 – Les nombres en virgule flottante (suite) Ce type de stockage, sous une forme en virgule flottante, permet de coder de grands nombres Ainsi, on peut stocker des nombres allant de 10+76,8 environ à 10-75,6 environ. C’est ce type de stockage qui minimise la place occupée sur les supports.

Nombres entiers positifs Conversion directe décimal  binaire, octal, hexadécimal Nombres entiers négatifs Entiers signés (bit de signe) Complément restreint (à 1) Complément vrai (à 2) Décimale Codée Binaire (DCB) NUMERIQUES DONNEES Nombres fractionnaires Virgule fixe Virgule flottante ( Exposant, mantisse, …) NON NUMERIQUES Codage par tables ASCII / ANSI 7 bits EBCDIC 8 bits UNICODE 16 bits